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第10讲-函数的图象
考情分析
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
知识梳理
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.
[微点提醒]
记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
经典例题
考点一　作函数的图象
【例1】
作出下列函数的图象：
(1)y＝；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝x2－2|x|－1.
【解析】　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.
规律方法　作函数图象的一般方法
(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
考点二　函数图象的辨识
【例2】
(1)(一题多解)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)
(2)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为(　　)
【解析】　　(1)法一　易知g(x)＝x＋为奇函数，故y＝1＋x＋的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x∈(0，1)时，y>0，排除A；当x＝π时，y＝1＋π，排除B，选项D满足.
法二　当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin
1＝2＋sin
1>2，排除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，排除B，而D满足.
(2)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项A，B；
当x≥0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，
所以f′(0)＝－1<0，f′(2)＝8－e2>0，
所以函数f(x)在(0，2)上有解，
故函数f(x)在[0，2]上不单调，排除C，故选D.
规律方法　1.抓住函数的性质，定性分析：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
考点三　函数图象的应用　
【例3－1】
已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
【解析】　　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得
f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是减少的.
【例3－2】
已知函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)＝log2(x＋1)”，则不等式f(x)≥g(x)的解集是(　　)
A.{x|－1B.{x|－1≤x≤1}
C.{x|－1D.{x|－1【解析】　令g(x)＝y＝log2(x＋1)，
作出函数g(x)图象如图，
由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1【例3－3】已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
【解析】　　在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象.
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.
规律方法　1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)[方法技巧]
1.识图
对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.
2.用图
借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.
3.图象变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f，可避免出错.
4.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.
5.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.
课时作业
1．函数（为常数，，为自然对数的底数）的图象可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，排除A选项；
当时，，则，排除D选项；
因为，所以，根据指数函数的性质，对于，，
因为，故，排除C选项.
2．匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点，水面半径，此时水面高度，如图：
由垂直于圆锥轴的截面性质知，，即，则注入水的体积为，
令水匀速注入的速度为，则注水时间为t时的水的体积为，
于是得，
而都是常数，即是常数，
所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是，，，函数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，
A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.
故选：A
3．已知函数，则其大致图象是下列图中的（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
因为定义域为，
又，
所以函数是偶函数，故排除AD，
结合选项BD，只需求解函数与直线在时交点的横坐标，
令，，解得即，
当时，，
所以函数与直线在时的第一个交点的横坐标为，
结合函数图象可知，选项C符合题意，
故选：C.
4．函数的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
易知，而，所以函数为奇函数，
这样可排除A，B选项，由，可知选项D符合题意.
故选：D.
5．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（
）
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
【答案】C
【详解】
A项为奇函数，排除，
B项，当，，排除
D项时
，排除
故选：C
6．已知函数，则下列图象错误的是（
）
A．的图象：
B．的图象：
C．的图象：
D．的图象：
【答案】C
【详解】
先作出的图象，如图所示，
所以A正确；
对于B，的图象是由的图象向右平移一个单位得到，故B正确；
对于C，当时，的图象与的图象相同，且函数的图象关于轴对称，故C错误；
对于D，的图象与的图象关于轴对称而得到，故D正确.
故选：C.
7．函数在上的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，故函数为偶函数，
又，排除B，
，排除D，
，可排除C.
故选：A.
8．函数的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
当时，，所以，故排除B和C；
又，所以函数的图象关于直线对称，排除D.
9．函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
由图象得函数的定义域为，排除；
由，排除D；
由时,，排除B．
10．已知函数．
（1）在图中的坐标系中画出的图象；
（2）若的最小值为，当正数，满足，证明：．
【详解】
解：（1），其图象如图所示
（2）由（1）可知，，
所以，，，
因为，所以，
而，则，
即有，当且仅当时，取等号．
所以．
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第10讲-函数的图象
考情分析
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
知识梳理
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.
[微点提醒]
记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
经典例题
考点一　作函数的图象
【例1】
作出下列函数的图象：
(1)y＝；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝x2－2|x|－1.
【解析】　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.
规律方法　作函数图象的一般方法
(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
考点二　函数图象的辨识
【例2】
(1)(一题多解)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)
(2)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为(　　)
【解析】　　(1)法一　易知g(x)＝x＋为奇函数，故y＝1＋x＋的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x∈(0，1)时，y>0，排除A；当x＝π时，y＝1＋π，排除B，选项D满足.
法二　当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin
1＝2＋sin
1>2，排除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，排除B，而D满足.
(2)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项A，B；
当x≥0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，
所以f′(0)＝－1<0，f′(2)＝8－e2>0，
所以函数f(x)在(0，2)上有解，
故函数f(x)在[0，2]上不单调，排除C，故选D.
规律方法　1.抓住函数的性质，定性分析：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
考点三　函数图象的应用　
【例3－1】
已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
【解析】　　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得
f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是减少的.
【例3－2】
已知函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)＝log2(x＋1)”，则不等式f(x)≥g(x)的解集是(　　)
A.{x|－1B.{x|－1≤x≤1}
C.{x|－1D.{x|－1【解析】　令g(x)＝y＝log2(x＋1)，
作出函数g(x)图象如图，
由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1【例3－3】已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
【解析】　　在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象.
当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.
规律方法　1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)[方法技巧]
1.识图
对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.
2.用图
借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.
3.图象变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f，可避免出错.
4.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.
5.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.
课时作业
1．函数（为常数，，为自然对数的底数）的图象可能为（
）
A．
B．
C．
D．
2．匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数，则其大致图象是下列图中的（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
5．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（
）
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
6．已知函数，则下列图象错误的是（
）
A．的图象：
B．的图象：
C．的图象：
D．的图象：
7．函数在上的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
8．函数的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
9．函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数．
（1）在图中的坐标系中画出的图象；
（2）若的最小值为，当正数，满足，证明：．
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