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第13章　三角形中的边角关系、命题与证明
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列命题中,属于真命题的是(　　)
A.同位角相等 B.一个角的补角大于这个角
C.直角三角形的两锐角互余 D.如果|a|=|b|,那么a=b
2.如图1所示,为估计池塘两岸A,B间的距离,一名同学在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16 m,PB=12 m,那么A,B间的距离不可能是(　　)
A.15 m B.18 m C.26 m D.30 m

图1
3.如图2所示,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中,不正确的是(　　)

图2
A.BE是△ABD的中线 B.BD是△BCE的角平分线
C.∠1=∠2=∠3 D.BC是△ABE的高
4.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶8,则这个三角形一定是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
5.等腰三角形的两边长分别为25 cm和13 cm,则它的周长是(　　)
A.63 cm B.51 cm
C.63 cm或51 cm D.以上都不正确
6.如图3,下列哪种说法不正确(　　)

图3
A.∠B+∠ACB<180° B.∠AHE>∠B
C.∠B>∠ACD D.∠HEC>∠B
7.△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+2ab=c+2bc,则这个三角形是(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
8.如图4,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,CE为外角∠ACD的平分线,BO的延长线交CE于点E,记∠BAC=∠1,∠BEC=∠2.有以下结论:①∠1=2∠2;②∠BOC=3∠2;③∠BOC=90°+∠1;④∠BOC=90°+∠2.其中正确的是 (　　)

图4
A.①②③ B.①③④ C.①④ D.①②④
二、填空题(每小题4分,共20分)
9.将命题“直角都相等”的逆命题写成“如果……那么……”的形式:　　　　　　　　　　　　　,这个逆命题为　　　　(填“真”或“假”)命题.?
10.如图5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在CB边上的点A'处,折痕为CD,则∠A'DB=　　　　°.

图5
?11.已知一个等腰三角形的底边长为5 cm,一腰上的中线把其周长分成差为1 cm的两部分,则其腰长为　　　　　　.?
12.如图6,平面镜A与B之间的夹角为110°,光线经平面镜A反射到平面镜B上,再反射出去.若∠1=∠2,则∠1的度数为　　　　.?

图6
13.在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,点D在AB边上,连接CD,若△ACD为直角三角形,则∠BCD的度数为　　　　.?
三、解答题(共48分)
14.(8分)作图:如图7,已知△ABC.
(1)作出点A到直线BC的距离AD;
(2)作出点B到直线AC的距离BE;
(3)已知BC=6,AD=3,AC=12,那么2BE=　　　.?

图7
15.(8分)分析下面所举反例是否正确,若不正确,请改正.
(1)若|x|=|y|,则x=y.
反例:取x=3,y=3,则|x|=|y|,所以此命题是假命题;
(2)两个锐角的和一定是钝角.
反例:取∠1=30°,∠2=100°,则∠1+∠2=130°,不符合命题的结论,所以此命题是假命题;
(3)若|a|=a,则a>0.
反例:取a=0,符合命题的条件,但a=0不符合命题的结论a>0,所以此命题是假命题.






16.(10分)如图8,已知AD⊥BC于点D,EF⊥BC于点F,∠3=∠C,点G,E分别在AB,AC上,试说明:∠1=∠2.请将以下不完整的推理过程补充完整.
解:∵AD⊥BC,EF⊥BC,(已知)
∴∠ADC=∠EFC=90°,(垂直的定义)
……

图8


17.(10分)如图9所示,AD,BC相交于点O,AE,CE分别平分∠BAO,∠DCO,则∠B,∠E,∠D三个角之间有什么关系?请探究说明.

图9





18.(12分)如图10(a)所示的图形,像我们常见的学习用品——圆规,我们不妨把这样的图形叫做“规形图”.
(1)观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A,∠ABD,∠ACD之间的关系,并证明.
(2)请你直接利用以上的结论,解决以下两个问题:
①如图(b),把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY,XZ分别恰好经过点B,C.若∠A=50°,则∠ABX+∠ACX=　　　　°;?
②如图(c),BG平分∠ABD,CG平分∠ACD.若∠BAC=50°,∠CDB=140°,求∠BGC的度数.

　　　　　图10
答案
1.C　[解析] A项,两条不平行直线被第三条直线所截,同位角不相等,原命题是假命题;
B项,一个角的补角不一定大于这个角,如钝角的补角小于这个角,原命题是假命题;
C项,直角三角形的两锐角互余,是真命题;
D项,如果|a|=|b|,那么a=b或a=-b,原命题是假命题.
故选C.
2.D　[解析] 由三角形三边关系,知4 m3.C
4.D　[解析] ∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶8,
∴设∠A=3α,∠B=4α,∠C=8α.
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴3α+4α+8α=180°.
∴α=12°,∴∠C=8α=96°,
即这个三角形一定是钝角三角形.故选D.
5.C　[解析] 分两种情况:三角形的三边长可能是25 cm,25 cm,13 cm,也可能是25 cm,13 cm,13 cm.
6.C　[解析] ∵在△ABC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠B+∠ACB<180°,A选项说法正确,不符合题意;
∵∠AHE是△BHD的一个外角,
∴∠AHE>∠B,B选项说法正确,不符合题意;
∵∠ACD是△ACB的一个外角,
∴∠B<∠ACD,C选项说法错误,符合题意;
∵∠HEC>∠ACD,∠ACD>∠B,
∴∠HEC>∠B,D选项说法正确,不符合题意.
故选C.
7.B
8.C　[解析] ∵CE为外角∠ACD的平分线,BE平分∠ABC,
∴∠DCE=12∠ACD,∠DBE=12∠ABC.
又∵∠DCE是△BCE的外角,
∴∠2=∠DCE-∠DBE=12(∠ACD-∠ABC)=12∠1,故①正确;
∵BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-12(∠ABC+∠ACB)
=180°-12(180°-∠1)
=90°+12∠1
=90 °+∠2,故②,③错误,④正确.
9.如果两个角相等,那么这两个角是直角　假
10.10　[解析] 由题意,得∠CA'D=∠A=50°,∠B=40°.
∵∠CA'D=∠B+∠A'DB,
∴∠A'DB=∠CA'D-∠B=10°.
11.6 cm或4 cm　[解析] 分腰长与腰长的一半的和比腰长的一半与底边长的和大或小两种情况讨论求解即可.
12.35°　[解析] 如图.由反射角等于入射角可得∠1=∠3,∠2=∠4.
∵∠1=∠2,
∴∠3=∠4.
∵∠AOB=110°,∠AOB+∠3+∠4=180°,
∴∠3+∠4=70°,
∴∠3=35°,
即∠1=35°.
13.60°或10°　[解析] 分两种情况:
①如图(a),当∠ADC=90°时,
∵∠B=30°,
∴∠BCD=90°-30°=60°;
②如图(b),当∠ACD=90°时,
∵∠A=50°,∠B=30°,
∴∠ACB=180°-30°-50°=100°,
∴∠BCD=100°-90°=10°.
综上,∠BCD的度数为60°或10°.
14.解:(1)线段AD如图所示.
(2)线段BE如图所示.
(3)∵S△ABC=12BC·AD=12AC·BE,
∴BE=BC·ADAC=32,
∴2BE=3.
15.解:(1)所举反例不正确.改正:不唯一,如取x=3,y=-3,则|x|=|y|成立,符合命题的条件,但x=y不成立,不符合命题的结论,所以此命题是假命题.
(2)所举反例不正确.改正:不唯一,如∠1=30°,∠2=50°,符合命题的条件,但∠1+∠2=80°,不是钝角,不符合命题的结论,所以此命题是假命题.
(3)本题所举反例是正确的.
[点评] 正确理解和掌握已经学习的各种公理、定理等,是判断命题真假的关键.判断一个命题是假命题,只要举出一个反例即可说明.
16.解:∵AD⊥BC,EF⊥BC,(已知)
∴∠ADC=∠EFC=90°,(垂直的定义)
∴AD∥EF,(同位角相等,两直线平行)
∴∠1=∠CAD.(两直线平行,同位角相等)
∵∠3=∠C,(已知)
∴DG∥AC,(同位角相等,两直线平行)
∴∠2=∠CAD,(两直线平行,内错角相等)
∴∠1=∠2.(等量代换)
17.解:由题意,得∠B+∠BAE=∠E+∠BCE,①
∠D+∠ECD=∠E+∠EAD.②
①+②,得∠B+∠D+∠BAE+∠ECD=2∠E+∠EAD+∠BCE.
又∵AE,CE分别平分∠BAO,∠DCO,
∴∠BAE=∠EAD,∠BCE=∠ECD.
∴∠B+∠D=2∠E.
18.解:(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明:如图,连接BC.
∵∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠BCD=180°,
∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°-∠DBC-∠BCD.
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°,
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD,
∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.
(2)①由(1)的结论易得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC.
又∵∠A=50°,∠BXC=90°,
∴∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°.
故答案为40.
②由(1)的结论易得∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.
∵∠BAC=50°,∠CDB=140°,
∴∠ABD+∠ACD=140°-50°=90°,
∴∠BGC=12(∠ABD+∠ACD)+∠A=12×90°+50°=95°.

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