资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题01
数与式的计算
在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．
知识结构思维导图
学法指导与考点梳理
考点1
乘法公式
（1）平方差公式
；
（2）完全平方公式
．
（3）立方和公式
；
（4）立方差公式
；
（5）三数和平方公式
；
（6）两数和立方公式
；
（7）两数差立方公式
．
考点2
根式
式子叫做二次根式，其性质如下：
(1)
(2)
(3)
(4)
重难点题型突破
一、乘法公式
【公式1】
【公式2】(立方和公式)
【公式3】(立方差公式)
例1．（1）若且，则_____．
【答案】
【分析】
根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴==，
故答案为：
【点睛】
本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
（2）．计算的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先乘以2?1，再依次根据平方差公式进行计算即可．
【详解】
＝（2?1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（22018＋1）
＝（22?1）（22＋1）（24＋1）…（22018＋1）
＝（24?1）（24＋1）…（22018＋1）
＝（22018-1）（22018＋1）
＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生运用公式进行计算的能力，注意：（a＋b）（a?b）＝a2?b2，难度适中．
【变式训练1-1】．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
分别根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则进行计算即可判断求解．
【详解】
解：A.
，原选项计算错误，不合题意；
B.
，原选项计算正确，符合题意；
C.
，原选项计算错误，不合题意；
D.
，原选项计算错误，不合题意．
故选：B
【点睛】
本题考查了整式的乘法运算，乘法公式等知识，熟知乘法公式和整式的乘法法则是解题关键．
例2、（1）计算：
【解析】原式=
（2）计算：
【解析】原式=
【变式训练2-1】．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．
（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．
【变式训练2-2】．已知，求的值．
【解析】
原式=
【变式训练2-3】．已知，求的值．
【解析】
原式=
①
②，把②代入①得原式=
二、根式
式子叫做二次根式，其性质如下：
(1)
(2)
(3)
(4)
例3．（1）将化为最简二次根式，其结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据二次根式的化简方法即可得．
【详解】
解：原式，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．
（2）．计算：（
）
A．
B．－2
C．
D．
【答案】A
【分析】
将化简，然后根据乘法法则运算即可．
【详解】
解：
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键．
【变式训练3-1】．给出下列结论：①在3和4之间；②中的取值范围是；③的平方根是3；④；⑤．其中正确的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【分析】
根据估算出的大小、二次根式的意义、算术平方根、无理数比较大小方法，即可解答．
【详解】
解：①，
，
故①错误；
②因为二次根式中的取值范围是，故②正确；
③，9的平方根是，故③错误；
④，故④错误；
⑤∵，，
∴，即，故⑤错误；
综上所述：正确的有②，共1个，
故选：．
【点睛】
本题考查了故算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算平方法比较无理数大小．
例4．如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（
）．
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】
先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得出m≤2，再由式子的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．
【详解】
解：解不等式得x＞m，
解不等式得x＞2，
∵不等式组解集为x＞2，
∴m≤2，
∵式子的值是整数，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m的个数是3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
【变式训练4-1】．先阅读，再解答:由
可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是
_______；
(2)化去式子分母中的根号：
_____．（直接写结果）
(3)
（填或）
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017.
【分析】
（1）根据有理化因式的定义求解；
（2）利用分母有理化计算；
（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到；
，然后进行大小比较；
（4）先根据规律化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．
【详解】
解：（1）-1的有理化因式是+1；
（2）；
（3），，
∵
∴>
∴<；
（4）原式=
=
=2018-1
=2017．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
三、分式
当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1)
利用除法法则；(2)
利用分式的基本性质．
例5．化简分式过程中开始出现错误的步骤是（
）
…………①
………②
…………③
…………④
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】B
【分析】
利用异分母的分式的加减法则，可找出错误的步骤．
【详解】
解：
，
．
即从②开始错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础
【变式训练5-1】．对于实数，规定，例如，，那么计算的结果是______．
【答案】．
【分析】
根据条件中的运算规律，可得到，从而有，然后将原式利用加法交换律和结合律进行变形，将f(x)与的项结合在一起，从而可得出结果．
【详解】
解：∵，
∵，∴，
∴．
∴
=
=1×2019+
=．
故答案为：．
【点睛】
本题属于规律探究题，运用归纳得出的结论将所求式子进行变形，再求值是解题的关键．
【变式训练5-2】．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（
），我们把（
）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知，求的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知，∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函数的最小值．
【答案】（1），；（2），；（3），
【分析】
（1）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（2）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（3）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可.
【详解】
解：（1）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（2）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（3）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为6.
【点睛】
本题是对二次根式和不等式的综合考查，读懂题意，准确变形是解决本题
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题01
数与式的计算
在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．
知识结构思维导图
学法指导与考点梳理
考点1
乘法公式
（1）平方差公式
；
（2）完全平方公式
．
（3）立方和公式
；
（4）立方差公式
；
（5）三数和平方公式
；
（6）两数和立方公式
；
（7）两数差立方公式
．
考点2
根式
式子叫做二次根式，其性质如下：
(1)
(2)
(3)
(4)
重难点题型突破
一、乘法公式
【公式1】
【公式2】(立方和公式)
【公式3】(立方差公式)
例1．（1）若且，则_____．
（2）．计算的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-1】．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
例2、（1）计算：
（2）计算：
【变式训练2-1】．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【变式训练2-2】．已知，求的值．
【变式训练2-3】．已知，求的值．
二、根式
式子叫做二次根式，其性质如下：
(1)
(2)
(3)
(4)
例3．（1）将化为最简二次根式，其结果是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．计算：（
）
A．
B．－2
C．
D．
【变式训练3-1】．给出下列结论：①在3和4之间；②中的取值范围是；③的平方根是3；④；⑤．其中正确的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
例4．如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（
）．
A．5
B．4
C．3
D．2
【变式训练4-1】．先阅读，再解答:由
可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是
_______；
(2)化去式子分母中的根号：
_____．（直接写结果）
(3)
（填或）
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
三、分式
当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1)
利用除法法则；(2)
利用分式的基本性质．
例5．化简分式过程中开始出现错误的步骤是（
）
…………①
………②
…………③
…………④
A．①
B．②
C．③
D．④
【变式训练5-1】．对于实数，规定，例如，，那么计算的结果是______．
【变式训练5-2】．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（
），我们把（
）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知，求的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知，∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函数的最小值．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑