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专题02
因式分解重难点突破
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．
知识结构思维导图
学法指导与考点梳理
1、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：
(立方和公式)
(立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．
2、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
1．分组后能提取公因式
2．分组后能直接运用公式
3、十字相乘法
1．型的因式分解
2．一般二次三项式型的因式分解
重难点题型突破
重难点题型突破01
公式法
例1．（1）因式分解：（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用平方差公式因式分解即可．
【详解】
解：，
故选：A．
【点睛】
本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
（2）．下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据完全平方式的结构a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的形式，即可作出判断．
【详解】
解：A、不是完全平方式，故不符合题意；
B、，是完全平方式，故符合题意；
C、不是完全平方式，故不符合题意；
D、不是完全平方式，故不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了完全平方式的结构，正确理解结构是判断的关键．
【变式训练1-1】．若，则的值等于________．
【答案】2
【分析】
由可得，利用完全平方公式把所求代数式因式分解，把整体代入即可得答案．
【详解】
∵，
∴，
∴==2，
故答案为：2
【点睛】
本题考查利用完全平方公式求代数式的值，熟练掌握完全平方公式，运用整体代入的思想是解题关键．
【变式训练1-2】．分解因式：____________．
【答案】
【分析】
先提公因式，再运用完全平方公式．
【详解】
解：原式＝2（m2-6m+9）
＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
【变式训练1-3】．因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解；
（2）利用平方差公式进行因式分解；
（3）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解；
（4）先利用平方差公式进行因式分解，然后再利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】
解：（1）
=
=
（2）
（3）
（4）
．
【点睛】
本题考查提公因式和公式法分解因式，掌握提取公因式的技巧和平方差公式，完全平方公式的公式结构准确计算是解题关键．
重难点题型突破02
分组分解法
例2．多项式因式分解为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先提取公因式，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可
【详解】
解：
故答案选：A．
【点睛】
本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．
【变式训练2-1】分解因式：______．
【答案】．
【分析】
观察所给多项式有公因式a，先提出公因式，剩余的三项可利用完全平方公式继续分解．
【详解】
解：原式，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，有公因式要先提公因式，再考虑运用公式法分解，注意一定要分解到无法分解为止．
【变式训练2-2】．分解因式：____；分式方程：解为_____．
【答案】
x＝1
【分析】
（1）先提取公因式，然后按照完全平方公式分解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）去分母得：x2?x?2＋x＝x2?2x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故答案为：；x＝1．
【点睛】
此题考查了因式分解，解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
重难点题型突破03
十字相乘法
例3．若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则之值为何？（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
首先利用十字交乘法将因式分解，继而求得，的值．
【详解】
解：利用十字交乘法将因式分解，
可得：．
，，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查十字相乘法分解因式的知识．注意型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数分解成两个因数，的积，把常数项分解成两个因数，的积，并使正好是一次项，那么可以直接写成结果：．
【变式训练3-1】．因式分解，其中都为整数，则的最大值是______．
【答案】
【分析】
根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可．
【详解】
解：∵(x＋p)(x＋q)=
x2＋(p+q)x+pq=
x2＋mx-6
∴p+q=m，pq=-6，
∴pq=1×=
×6=
×3=2×
=
，
∴m=
或5或1或
，
∴m的最大值为5，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用．
【变式训练3-2】．我们知道部分二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，如：
∴原式
部分二次四项式也可以用十字相乘法进行因式分解，如：
∴原式
用十字相乘法分解下列各式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）直接利用题目提供的方法进行因式分解即可；
（2）直接利用题目提供的方法进行因式分解即可；
（3）将原式变形为，再利用十字相乘法分解．
【详解】
解：（1）
∴
=；
（2）
∴
=；
（3）
=
=
=
【点睛】
本题考查十字相乘法分解因式，理解和掌握十字相乘法是正确进行因式分解的关键．
重难点题型突破04
其它因式分解的方法
例4．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=(??
)
A．24
B．25
C．26
D．28
【答案】A
【分析】
由题意m，n，p，q是四个互不相同的正整数，又因为（6-m）（6-n）（6-p）（6-q）=4，因为4=-1×2×（-2）×1，然后对应求解出m、n、p、q，从而求解．
【详解】
解：∵m，n，p，q互不相同的是正整数，
又（6-m）（6-n）（6-p）（6-q）=4，
∵4=1×4=2×2，
∴4=-1×2×（-2）×1，
∴（6-m）（6-n）（6-p）（6-q）=-1×2×（-2）×1，
∴可设6-m=-1，6-n=2，6-p=-2，6-q=1，
∴m=7，n=4，p=8，q=5，
∴m+n+p+q=7+4+8+5=24，
故选A．
【点睛】
此题是一道竞赛题，难度较大，不能硬解，要学会分析，把4进行分解因式，此题主要考查多项式的乘积，是一道好题．
【变式训练4-1】．分解因式
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）利用完全平方公式进行分解因式；
（2）先提公因式再利用平方差公式分解因式；
（3）先提公因式再利用十字相乘法进行分解因式．
【详解】
解：（1）
（2）
；
（3）
．
【点睛】
本题考查分解因式，涉及提公因式、平方差公式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式训练4-2】．因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）根据提取公因法，即可得到答案；
（2）先提取公因式，再合并同类项，再提取公因数，即可得到答案；
（3）先提取公因式，再利用平方差公式，即可得到答案；
（4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式，即可分解因式．
【详解】
（1）原式=；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【点睛】
本题主要考查分解因式，熟练掌握提取公因式法，平方差公式以及完全平方公式，是解题的关键．
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精品试卷·第
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专题02
因式分解重难点突破
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．
知识结构思维导图
学法指导与考点梳理
1、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：
(立方和公式)
(立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．
2、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
1．分组后能提取公因式
2．分组后能直接运用公式
3、十字相乘法
1．型的因式分解
2．一般二次三项式型的因式分解
重难点题型突破
重难点题型突破01
公式法
例1．（1）因式分解：（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-1】．若，则的值等于________．
【变式训练1-2】．分解因式：____________．
【变式训练1-3】．因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
重难点题型突破02
分组分解法
例2．多项式因式分解为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】分解因式：______．
【变式训练2-2】．分解因式：____；分式方程：解为_____．
重难点题型突破03
十字相乘法
例3．若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则之值为何？（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】．因式分解，其中都为整数，则的最大值是______．
【变式训练3-2】．我们知道部分二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，如：
∴原式
部分二次四项式也可以用十字相乘法进行因式分解，如：
∴原式
用十字相乘法分解下列各式：
（1）
（2）
（3）
重难点题型突破04
其它因式分解的方法
例4．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=(??
)
A．24
B．25
C．26
D．28
【变式训练4-1】．分解因式
（1）
（2）
（3）
【变式训练4-2】．因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
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