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专题03
一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．
知识结构思维导图
学法指导与考点梳理
1、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程，用配方法将其变形为：
(1)
当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
(2)
当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
(3)
当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：
2、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的两个根为：
所以：，
定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：
重难点题型突破
例1．（1）一元二次方程根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【答案】C
【分析】
先将一元二次方程化成一般形式，再利用根的判别式即可得．
【详解】
解：将一元二次方程化成一般形式为，
此方程根的判别式为，
则此方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
（2）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可得．
【详解】
A、方程的根的判别式为，则方程有两个相等的实数根，此项不符题意；
B、方程的根的判别式为，则方程没有实数根，此项不符题意；
C、方程的根的判别式为，则方程没有实数根，此项不符题意；
D、方程的根的判别式为，则方程有两个不相等的实数根，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
（3）已知，为一元二次方程的两根，那么的值为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程解的定义和韦达定理可得，，将整理成，代入即可求解．
【详解】
解：∵，为一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、韦达定理，掌握一元二次方程的解的定义和韦达定理是解题的关键．
例2．（1）已知二次函数（，）的图象经过点，，与x轴交于点，点（点A在点B的左侧）．若，则有下列结论：①，，②，③．其中正确结论的序号是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】D
【分析】
①将点，，代入抛物线表达式得：，由得：，求出、的表达式，即可求解；②，则，故；③由①知，，，则右侧交点在和之间，即可求解．
【详解】
解：①将点，，代入抛物线表达式得：，
由得：③，
则③①得：，故，
①②得：，
故①正确，符合题意；
②，
由③式得：，
故，
故②正确，符合题意；
③由①知，，，
则右侧交点在和之间，
即，
故③正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
（2）如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点和点，与轴的负半轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④当时，在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得．其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可
【详解】
①从图像观察，开口朝上，所以，
对称轴在轴右侧，所以，
图像与轴交点在x轴下方，所以
，所以①不正确；
②点和点，与轴的负半轴交于点，且
设代入,得：
，所以②正确；
③，
设抛物线解析式为：过
，所以③正确；
④如图：设交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，
根据抛物线的对称性，
是等腰直角三角形，
，
，
又对称轴
由顶点坐标公式可知
由题意，解得
或者
由①知，所以④不正确．
综上所述：②③正确共2个
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数（a≠0），a的符号由抛物线的开口决定；b的符号由a及对称轴的位置确定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来解决是解题的关键．
（3）已知二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④；⑤若此函数的最大值为，二次函数的最大值为，则．其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
根据二次函数图象与系数的关系判定a、b、c的符号，即可判定①；根据二次函数的对称轴可得b=2a，再由图象可知，当x=1时，y=a+b+c<0，即可判定②；由图象可知，当x=0时，y>0，根据二次函数的对称性可得当x=-2时，y>0，即，即可判定③；由
b=2a，即可得，
整理得，由a<0，，即可判定④；由图象可知，当x=-1时，函数的最大值为=
a-b+c=
a-2a+c=-a+c，再求得二次函数与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），从而确定对称轴为x=-1，继而求得=-4a=-a-3a，结合，即可判定⑤．
【详解】
∵二次函数的图象开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴在x轴的左侧，
∴b<0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∴，
故①正确；
由图象可知，抛物线的对称轴为x=-1，即，
∴b=2a，
由图象可知，当x=1时，y=a+b+c<0，
∴，
故②错误；
由图象可知，当x=0时，y>0，
∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴当x=-2时，y>0，即，
故③错误；
∵b=2a，
∴，
即，
∴，
∵a<0，，
∴④正确；
由图象可知，当x=-1时，函数的最大值为=
a-b+c=
a-2a+c=-a+c，
二次函数与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），
∴二次函数的对称轴为x=-1，
∴二次函数的最大值=-4a=-a-3a，
∵，
∴，
∴-a+c<-a-3a，即，
故⑤错误；
综上，正确的结论为①④．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用二次函数图象与系数的关系是解决问题的关键．
（4）已知一个二次函数图象经过，，，四点，若，则的最值情况是（
）
A．最小，最大
B．最小，最大
C．最小，最大
D．无法确定
【答案】A
【分析】
根据题意判定抛物线开口方向向上，对称轴在2.5和3之间，再根据距离抛物线对称轴的距离大小判断即可；
【详解】
∵二次函数图象经过，，，四点，且，
∴抛物线开口方向向上，对称轴在2.5和3之间，
∴离对称轴的距离最大，离对称轴的距离最小，
∴最小，最大；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．
例3．（1）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
【答案】2
【分析】
先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．
【详解】
解：由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴;
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为
，两根之积为．
（2）设，是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】1
【分析】
根据根的定义和根与系数的关系进行计算求解．
【详解】
解:∵是一元二次方程的两个根，
∴，
，
∴原式＝＝7－6＝1．
【点睛】
本题考查根的定义、根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键．
（3）已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根，．若，则的值为______．
【答案】2
【分析】
根据根的判别式先求出“△”的值，再根据根与系数的关系得出x1+x2=2（m+2），x1?x2=，变形后代入，即可求出答案．
【详解】
解：∵，且，
∴，且，
∵是方程有两个实数根，
∴，，
∵，
∴，即，
整理得：，
解得：．
∵，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
例4．（1）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝_____．
【答案】
【分析】
根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出，，，，结合h1＝2h2，即可求解．
【详解】
解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：h＝v1t4.9t2，令h=0，或（舍去），，
图2中的函数解析式为：h＝v2t4.9t2，
或（舍去），，
∵h1＝2h2，
∴=2，即：=或=-（舍去），
∴t1：t2=：=，
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图像和性质，二次函数的顶点坐标公式，是解题的关键．
（2）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论：
①；
②；
③；
④方程必有一个根大于且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
【答案】①②④．
【分析】
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．
【详解】
解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；
∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴y=a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
（3）．如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是________（只填写序号）．
【答案】①②③
【分析】
利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=-2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点横坐标大于-1小于0，则当x=-1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c<-3+c，然后把b=-2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∵对称轴x=-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b+c=2a-2a+c=c>0，
∴①正确；
②∵抛物线与x轴的另一个交点在x轴的负半轴上，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标大于2小于3，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标的横坐标大于-1小于0，
∴当x=-1时y＜0，
∴a-b+c＜0,
∴②正确；
③∵当x=1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，
∴③正确；
④∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D，D在x轴下方且0＜x<3，
∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c<-3+c，
∴9a-6a<-3，
∴a<-1，
∴④不正确；
∴①②③正确,
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．
（4）．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象如图所示，下面四个结论，①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝1；④a+b≥m（am+b），其中全部正确的是______
【答案】①②④．
【分析】
根据抛物线开口确定a符号，根据对称轴结合a确定b的符号，根据抛物线与y轴交点确定c的符号，即可判断①正确；把x=-1代入抛物线解析式，结合图象即可判断②正确，根据抛物线对称轴方程即可确定③错误，根据抛物线图象得到当x=1时，抛物线有最大值，即可判断④正确．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，b＞0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
由图象得当x＝-1时，y＝a-b+c＜0，
∴a+c＜b，
故②正确；
∵图象对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣b＝2a，即2a+b＝0，
故③错误；
由a+b≥m（am+b）得a+b+c≥am2+bm+c，
∵x＝1时函数值y＝a+b+c为最大值，
故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数关系，二次函数的性质，熟知二次函数的性质并根据图象灵活应用是解题关键．
（5）．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m．
【答案】40
【分析】
以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、
的横坐标，从而可得的长．
【详解】
解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
，，
设外侧抛物线的解析式为，将代入，得：
，
解得：，
内侧抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
，
在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度的长）为．
故答案为：40．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关
例5．在平面直角坐标系xoy中，抛物线，顶点为P，直线与抛物线交于点A，点B．
（1）求抛物线顶点P的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当时，求抛物线与直线AB围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标．
②当抛物线与直线AB围成的封闭区域内有且只有1个整点时，求a的取值范围．
【答案】（1）P（1，1-a）；（2）①（1，1）；②0＜a＜或a＜0
【分析】
（1）直接根据抛物线的顶点坐标可得；
（2）①根据a值得到抛物线和直线的表达式，联立，求出A，B，P的坐标，可得整点坐标；
②联立抛物线和直线表达式，用a表示出A，B，P的坐标，根据只有一个整点得到（2，2）在y=ax+1上方，或（3，1）在上方，得到不等式，解之可得a的范围．
【详解】
解：（1）=，
∴当x=1时，y=1-a，
即P（1，1-a）；
（2）①当时，
抛物线，直线，
联立得：，解得：或，
∴A（0，1），B（3，0），P（1，），
∴整点坐标只有（1，1）；
②当a＞0时，
，解得或，
∴P（1，1-a），A（0，1），B（3，3a+1），
∵只有一个整点，
∴（2，2）在y=ax+1上方，
∴2＞2a+1，解得：a＜，
∴0＜a＜；
若（3，1）在上方，
∴，
解得：a＜0，
综上：a的范围是0＜a＜或a＜0．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般较为容易得出正确的结论．
例6．已知，足球球门高米，宽米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面米，即米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D，即米．以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为（如图3），请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；（2）10.2米；（3）
【分析】
（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当y=2.44时x的值，再检验即得答案；
（3）先求出y=0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离即可．
【详解】
解：（1）抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式是：，
把代入得，
解得，
则抛物线是；
（2）球门高为2.44米，即，
则有，
解得：，，
从题干图2中，发现球门在右边，
，
即足球运动的水平距离是10.2米；
（3）不后退时，刚好击中横梁，
往后退，则球可以进入球门，
而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，
当时，
有，
解得：，，
取正值，，
后退的距离需小于米
故．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．
知识结构思维导图
学法指导与考点梳理
1、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程，用配方法将其变形为：
(1)
当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
(2)
当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
(3)
当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：
2、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的两个根为：
所以：，
定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：
重难点题型突破
例1．（1）一元二次方程根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
（2）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（
）
A．
B．
C．
D．
（3）已知，为一元二次方程的两根，那么的值为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
例2．（1）已知二次函数（，）的图象经过点，，与x轴交于点，点（点A在点B的左侧）．若，则有下列结论：①，，②，③．其中正确结论的序号是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
（2）如图，已知抛物线的对称轴在轴右侧，抛物线与轴交于点和点，与轴的负半轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④当时，在轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点，（点在点左边），使得．其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（3）已知二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④；⑤若此函数的最大值为，二次函数的最大值为，则．其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（4）已知一个二次函数图象经过，，，四点，若，则的最值情况是（
）
A．最小，最大
B．最小，最大
C．最小，最大
D．无法确定
例3．（1）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
（2）设，是一元二次方程的两个根，则______．
（3）已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根，．若，则的值为______．
例4．（1）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝_____．
（2）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论：
①；
②；
③；
④方程必有一个根大于且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
（3）．如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是________（只填写序号）．
（4）．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象如图所示，下面四个结论，①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝1；④a+b≥m（am+b），其中全部正确的是______
（5）．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m．
例5．在平面直角坐标系xoy中，抛物线，顶点为P，直线与抛物线交于点A，点B．
（1）求抛物线顶点P的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当时，求抛物线与直线AB围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标．
②当抛物线与直线AB围成的封闭区域内有且只有1个整点时，求a的取值范围．
例6．已知，足球球门高米，宽米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面米，即米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D，即米．以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为（如图3），请直接写出m的取值范围．
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精品试卷·第
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