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专题04
不等式
初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识．
知识结构思维导图
学法指导与考点梳理
考点一
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实数根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
考点二
恒成立问题
由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立?
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立?
重难点题型突破
重难点题型突破1、含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为的形式．
(1)
当时，不等式的解为：；
(2)
当时，不等式的解为：；
(3)
当时，不等式化为：；
①
若，则不等式的解是全体实数；②
若，则不等式无解．
例1．（1）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
分别解一元一次不等式，求交集即可.
【详解】
由可得，，
解得，
所以不等式组的解集为，
故选：D
（2）．一元一次不等式组的解集是，则与的关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据同大取大即可得．
【详解】
不等式组的解集是，
，
故选A.
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（3）．关于
的一元一次不等式组中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是_______，的值为_______.
【答案】
2
【分析】
分别求得不等式的解集和，结合图象，即可求解.
【详解】
由，解得；由，解得，
由题图知这个不等式组的解集是，且，所以.
故答案为；
2.
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式组的求解及应用，其中熟记不等式组的解法是解答的关键，着重考查数形结合思想的应用.
【变式训练1-1】．关于的一元一次不等式组有解，则直线不经过第____象限．
【答案】三
【分析】
根据不等式组有解，在数轴上画出图像，由此求得的取值范围，再根据直线的斜率和截距，判断出直线不经过的象限.
【详解】
将不等式组中各个不等式的解集在数轴上表示出来：
（1）当3b–2（2）当3b–2=b+2时，如示意图中的②，上述不等式组无解，不合题意；
（3）当3b–2>b+2时，如示意图中的③，上述不等式组有解，符合题意．
因此，根据题目条件，b的取值应该满足：3b–2>b+2，解这个不等式，得b>2，
对照一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0)，在直线y=–x+b中，k=–1<0，b>2>0可知，
直线y=–x+b应该经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．故答案为三．
【点睛】
本小题主要考查一元一次不等式组有解的知识，考查一次函数经过的象限问题，属于基础题.
【变式训练1-2】已知一次函数f(x)＝ax－2.
(1)当a＝3时，解不等式|f(x)|＜4；
(2)解关于x的不等式|f(x)|＜4；
(3)若关于x的不等式|f(x)|≤3对任意x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
；（2）当a＞0时，原不等式的解集为；当a＜0时，原不等式的解集为；（3）[－1,5].
【分析】
（I）a=3时，f（x）=3x﹣2，然后代入|f（x）|＜4，去绝对值后即可求出x的取值范围；
（II）先去绝对值，然后讨论a的符号，分别求出相应的解集即可；
（III）将若不等式|ax﹣2|≤3对任意x∈（0，1]恒成立，转化成﹣3≤ax﹣2≤3对任意x∈（0，1]恒成立，然后根据一次函数的单调性即可求出a的取值范围．
【详解】
(1)当a＝3时，f(x)＝3x－2，
所以|f(x)|＜4?|3x－2|＜4?－4＜3x－2＜4?
－2＜3x＜6?－＜x＜2.所以原不等式的解集为.
(2)|f(x)|＜4?|ax－2|＜4?－4＜ax－2＜4?－2＜ax＜6.
当a＞0时，原不等式的解集为；
当a＜0时，原不等式的解集为.
(3)|f(x)|≤3?|ax－2|≤3?－3≤ax－2≤3?
－1≤ax≤5?
因为x∈[0,1]，所以－1≤a≤5.
所以实数a的取值范围为[－1,5]．
【点睛】
本题主要考查了函数恒成立，以及绝对值不等式的求解，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．
重难点题型突破2、一元二次不等式及其解法
例2（1）不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A.　　　　　
B.
C．?
D.　　
【答案】D　
【解析】[(3x＋1)2≤0，∴3x＋1＝0，∴x＝－.]
（2）．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
【答案】(－4,1)　
【解析】[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4（3）．x2－5x＋6>0；
【答案】{x|x>3或x<2}．
【解析】方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}．
（4）．－x2＋3x－5>0.
【答案】?
【解析】原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为?.
【变式训练1-1】．求下列不等式的解集.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解析】（1）因为，所以原不等式等价于，
解得，所以原不等式的解集为.
（2）原不等式可化为,配方得
,
又,所以,解得，所以原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为，因为恒成立，
所以原不等式的解集为.
（4）原不等式可化为，因为恒成立，
所以原不等式无解，即原不等式的解集为.
【变式训练1-2】．解下列关于的不等式或不等式组：
（1）设，解不等式：；
（2）解不等式组：.
【答案】（1）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；（2）
【分析】
（1）分和讨论，分别求出不等式的解集即可；
（2）分别解分式不等式和一元二次不等式，取交集可得答案．
【详解】
（1）等价于
，时，；时，
故时，不等式的解集为；时，不等式的解集为．
（2）等价于，即
，解得或
故不等式的解集为．
【变式训练1-3】．关于的不等式：
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，解关于的不等式．
【答案】（1）或；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】
（1）将不等式化为即可求得结果；（2）当时直接求得；当时，原不等式所对应方程的根为，注意到，根据两根大小关系讨论不等式解集，需要分不同情况讨论.
【详解】
解：（1）当时，原不等式化为，
方程的实数根为，
所以原不等式的解集为或．
（2）．
当时，原不等式化为，所以原不等式的解集为．
当时，原不等式所对应方程的根为,
,
当时，，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集；
当时，原不等式的解集为．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
重难点题型突破3、简单分式不等式的解法
例3、解方程
．
【分析】：去分母，转化为整式方程．
【解析】：原方程可化为：，方程两边各项都乘以：
即，
整理得：
解得：或．
检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解；
把代入，等于0，所以是增根．所以，原方程的解是．
【点睛】：
(1)
去分母解分式方程的步骤：
①把各分式的分母因式分解；
②在方程两边同乘以各分式的最简公分母；
③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；
④解一元二次方程；
⑤验根．
(2)
验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．
【变式训练3-1】解方程
【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程．最后在已知的值的情况下，用去分母的方法解方程．
【解析】：设，则原方程可化为：
解得或．[]
(1)当时，，去分母，得；
(2)当时，．[]
检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．
所以，，都是原方程的解．
【变式训练3-2】．不等式的解是__________．
【答案】
【解析】不等式等价于或解得
【变式训练3-3】不等式的解为____________．
【答案】
【解析】不等式化为，解一元二次不等式即可．
不等式化为，解得，[]∴不等式的解集为，故答案为．
【变式训练3-4】不等式的解为______．
【解析】．
点睛：解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为，再转化为整式不等式，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．
【变式训练3-5】不等式
的解是__________．
【答案】
【解析】原不等式化为，解得
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不等式
初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识．
知识结构思维导图
学法指导与考点梳理
考点一
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实数根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
考点二
恒成立问题
由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立?
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立?
重难点题型突破
重难点题型突破1、含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为的形式．
(1)
当时，不等式的解为：；
(2)
当时，不等式的解为：；
(3)
当时，不等式化为：；
①
若，则不等式的解是全体实数；②
若，则不等式无解．
例1．（1）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．一元一次不等式组的解集是，则与的关系为
A．
B．
C．
D．
（3）．关于
的一元一次不等式组中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是_______，的值为_______.
【变式训练1-1】．关于的一元一次不等式组有解，则直线不经过第____象限．
【变式训练1-2】已知一次函数f(x)＝ax－2.
(1)当a＝3时，解不等式|f(x)|＜4；
(2)解关于x的不等式|f(x)|＜4；
(3)若关于x的不等式|f(x)|≤3对任意x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
重难点题型突破2、一元二次不等式及其解法
例2（1）不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A.　　　　　
B.
C．?
D.　　
（2）．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
（3）．x2－5x＋6>0；
（4）．－x2＋3x－5>0.
【变式训练1-1】．求下列不等式的解集.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【变式训练1-2】．解下列关于的不等式或不等式组：
（1）设，解不等式：；
（2）解不等式组：.
【变式训练1-3】．关于的不等式：
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，解关于的不等式．
重难点题型突破3、简单分式不等式的解法
例3、解方程
．
【变式训练3-1】解方程
【变式训练3-2】．不等式的解是__________．
【变式训练3-3】不等式的解为____________．
【变式训练3-4】不等式的解为______．
【变式训练3-5】不等式
的解是__________．
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