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专题06
集合的概念及其表示
一、考情分析
二、经验分享
【知识点一、集合的概念】
1．集合与元素
一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示．
说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．
2．元素与集合的关系
如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________．
注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立．
3．集合中元素的特征
（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．
（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．
4．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
【知识点二、常用的数集及其记法】
1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或；
3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z；
4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q；
5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R．
易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分．
【知识点三、集合的表示方法】
1．列举法
把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．
（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是．
2．描述法
用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．
说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．
【知识点四、Venn图，子集】
1．Venn图的概念
我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图．
说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
2．子集
（1）子集的概念
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）．
用Venn图表示AB如图所示：
（2）子集的性质
①任何一个集合是它自身的子集，即．
②传递性，对于集合，，，如果，且，那么．
【知识点五、从子集的角度看集合的相等】
如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示．
【知识点六、真子集】
1．真子集的概念
如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．
如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示：
2．真子集的性质
对于集合，，，如果，，那么．
辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则．
【知识点七、空集】
1．空集的概念
我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．
2．空集的性质
（1）空集是任何集合的___________，即；
（2）空集是任何非空集合的___________，即．
注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解
三、题型分析
(一)
集合的概念
判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．
例1．（1）（2020·唐山市丰润区第二中学高一月考）下列四组对象能构成集合的是（
）
A．某班所有高个子学生
B．某校足球队的同学
C．一切很大的书
D．著名的艺术家
（2）．（2020·河北联邦国际学校高一月考）下列各项中，能组成集合的是（
）
A．高一（）班的好学生
B．第二章所有难题
C．不等于的实数
D．我国著名的数学家
【变式训练1-1】、（2020·上海高一专题练习）下列说法正确的是（
）
A．所有著名的作家可以形成一个集合
B．0与
的意义相同
C．集合
是有限集
D．方程的解集只有一个元素
【变式训练1-2】、（2021·浙江高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（
）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
(二)
元素与集合之间的关系
元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．
若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．
例2．（1）（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高一月考）下列关系中，表述正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2020·江苏高一课时练习）设A＝{y|y＝﹣1+x﹣2x2}，若m∈A，则必有（
）
A．m∈{正有理数}
B．m∈{负有理数}
C．m∈{正实数}
D．m∈{负实数}
【变式训练2-1】、（2020·江苏高一课时练习），对任意的，总有（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】、（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高一月考）已知集合，且，则_________．
【变式训练2-3】、（2020·新疆巴州第一中学高一期中）用符号“”或“”填空
（1）______,______,______
例3．（2020·安徽省太和中学高一月考）设数集由实数构成，且满足：若(且)，则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由.
(三)、集合的表示方法
对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．
但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．
例4．（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．
（2）24的正因数组成的集合．
（3）自然数的平方组成的集合．
（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
【变式训练4-1】、（2021·全国高一课时练习）用列举法表示下列集合：
（1）大于1且小于6的整数；
（2）；
（3）．
（四）、集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．
例5．（2021·河北石家庄市·高三二模）已知集合，，（，），若，则（
）
A．
B．2
C．
D．1
【变式训练5-1】、（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知集合，，若，则_______．
（五）、判断两个集合之间的关系
（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集；若既有A?B，又有B?A，则A＝B．
（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；
对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．
例6．（1）（2020·云南省大姚县第一中学高一期中）已知集合，那么（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2021·江苏泰州市·泰州中学高三其他模拟）设集合，，则（
）
A．
A
B．A
C．
D．
（3）．（2021·全国高三专题练习）已知集合，集合，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-1】、（2021·全国高三专题练习（文））若集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2】、（2020·霞浦县宏翔高级中学高一月考）已知集合.
（1）若，，求实数m的取值范围；
（2）若，，求实数m的取值范围；
（六）、确定集合的子集的个数
有限集子集的确定问题，求解关键有三点：
（1）确定所求集合；
（2）注意两个特殊的子集：和自身；
（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．
例7．（1）（2021·全国高三二模）集合的子集个数为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知集合，则中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-1】、（2021·河北衡水市·高三其他模拟）定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（
）
A．12
B．14
C．15
D．16
【变式训练7-2】、（2020·全国高一课时练习）（1）已知集合M满足{1，2}?M?{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况．
（2）已知非空集合M?{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6-a∈M，试求M所有可能的结果．
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精品试卷·第
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