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专题08
集合中含有参数问题
一、考情分析
二、经验分享
【重难点突破
】
1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.
2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B
.[]
3．奇数集：.
4.
数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域.
5.
德?摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即；
②交集的补集等于补集的并集，即．
三、题型分析
(一)
元素与集合的关系中含有参数问题
方法导入
已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解
步骤
第1步：由元素属于或不属于集合入手分类讨论；第2步：将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合；第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求；
反思
要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验
例1．（1）（2020·江苏高一课时练习）已知，，若集合，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，，
故选：B.
【点睛】
易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.
（2）．（2020·河北沧州市·高一期中）已知集合，若，则中所有元素之和为（
）
A．3
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.
【详解】
若，则，矛盾；
若，则，矛盾，故，
解得（舍）或，
故，元素之和为，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍.
【变式训练1-1】．（2020·临猗县临晋中学高一月考）集合，，若且，则的取值为（
）
A．
B．4
C．或
D．或1
【答案】B
【分析】
根据分类讨论解得，利用检验结果即可求解.
【详解】
因为，
若，此时，，
与不符合，
若，解得或，
当时，，满足，
当时，，不满足，
综上知，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了元素与集合的关系，集合与集合的包含关系，属于中档题.
【变式训练1-2】．（2021·全国高三专题练习（理））已知集合M＝，若，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】
分别求得a＝0，a>0，a<0三种情况下，x的解集，根据题意，列出不等式，即可求得a的范围.
【详解】
由集合M＝，得(ax－5)(x2－a)<0，
当a＝0时，得，显然不满足题意，
当a>0时，原不等式可化为，
若，则解得或，
所以只需满足，解得；
若，则解得或，
所以只需满足，解得9当a<0时，当时，(ax－5)(x2－a)<0恒成立，不符合题意，
综上，实数a的取值范围是．
【点睛】
解题的关键是掌握高次不等式的解法，即①保证x最高次幂系数为正，②分解因式，令各个因式等于0，求得对应的x，并按从小到大的顺序，标记在数轴上，③从右上角开始，“奇穿偶回”，④结合不等号，求得解集.
例2．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知M是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若且，则.
（1）判断是否正确，说明理由；
（2）证明：；
（3）证明：若，则且.
【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）根据定义确定包含元素；
（2）根据定义依次确定包含元素；
（3）根据定义确定包含元素，即得结论；根据定义依次确定包含元素,即得结论．
【详解】
（1）正确，证明如下：由①知，
由②可得；
（2）证明：由（1）知，又
∴，
由③得；
（3）证明：由①知
由题知，∴由②可得
又∵，∴，即；
证明：由，，
当时，则；
当时，则；
当且时，由②可得，
再由③可得，
∴即，
∴即，
∴即当，
又因为当，，∴，∴
∴当，可得
∴．
【点睛】
关键点点睛：本题考查新定义判断元素与集合关系，正确理解新定义是解题的关键．
【变式训练1-2】．（2020·全国高一课时练习）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则
∈A，且1?A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
【答案】（1）;（2）证明见解析.
【分析】
根据题意求依次求解即可.
【详解】
(1)因为3∈A，
所以，
所以，
所以，
所以.
(2)因为a∈A，
所以，
所以.
(二)
集合中元素个数的含参数问题
方法导入
此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解.
步骤
第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论；第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解；
反思
要注意两点，一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0.
例3．（2021·福清西山学校高二月考）若对任意的，则，就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为___________.
【答案】15
【分析】
先分析“具有伙伴关系”的集合的特点，然后分析集合中元素的特点，再根据非空子集个数的计算公式求解出结果.
【详解】
由题意可知：，，，满足，将和看成一个元素，
所以的所有非空子集中“具有伙伴关系”的集合：
即为，，，四个“大元素”所构成的集合的非空子集，
所以“具有伙伴关系”的集合的个数为，
故答案为：.
【变式训练3-1】．（2020·南开区·天津四十三中）集合，若集合中只有一个元素，则由实数的值组成的集合为________.
【答案】
【分析】
分和两种情况，分别讨论集合，进而可求出答案.
【详解】
当时，方程可化为，解得，满足题意；
当时，要使集合中只有一个元素，
则方程有两个相等的实数根，
所以，解得，此时集合，满足题意.
综上所述，或，即实数的值组成的集合为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查单元素的集合，注意讨论方程中是否为0，属于基础题.
例4．（2020·永济中学高一月考）已知集合，集合.
（1）写出集合的所有子集；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），，，；（2）或.
【分析】
（1）求得集合，根据集合子集的概念，准确书写，即可求解；
（2）由，得到，分，，和四种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，集合，
所以集合的子集为，，，.
（2）因为，可得，则或或或，
当时，则，解得；
当时，则满足，解得；
当时，则满足，此时方程组无解；
当是，则满足，解得.
综上可得，实数的取值范围是或.
【点睛】
本题主要考查了集合的子集的概念及应用，以及根据集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合子集的概念，以及根据集合间的关系，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
【变式训练4-1】．（2020·伊美区第二中学高一月考）设集合，．
（1）若，求的非空真子集的个数；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先确定集合中元素的个数，然后根据一个含有个元素的集合的非空真子集为个确定集合非空真子集的个数.
（2）由可知，先分析当的情况；当时，结合数轴确定集合端点的关系，确定实数的取值范围.
【详解】
解：（1）因为，所以集合的非空真子集的个数为个.
（2）若，则，
①当时，成立，此时，解得；
②当时，若，则只需，解得：.
综上所述，若，则实数.
(三)、集合基本关系中的含参问题
方法导入
由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解.
步骤
第1步确定两个集合中谁是谁的子集;第2步，若集合是有限极或离散型无限极，常依据集合间的包含关系，转化为解方程(组)求解，若集合是连续型无限极，常借助数轴转化为不等式(组)求解;第3步，综合各分类讨论的结果，得到最终参数的取值;
反思
要注意两点，一是注意对子集是否为空集进行讨论，二是注意集合中元素的互异性及端点值能否取到.
例5．（1）（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））集合或，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．
【详解】
解：，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得．
当时，可得，
要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．
故选：A．
【点睛】
易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.
（2）．（2020·沈丘县第一高级中学高三月考（文））已知集合，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先化简集合，再根据得解.
【详解】
由题得，故，
当时，，显然不满足；
当时，，显然不满足；
当时，，若.
故选：D
【变式训练5-1】．（2020·上海外国语大学附属宏达高级中学高一月考）若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
考虑和两种情况，得到，解得答案.
【详解】
当时，即，时成立；
当时，满足，解得；
综上所述：.
故选：C.
【点睛】
本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误
例6．（2019·天津市南开中学滨海生态城学校高一月考）已知集合，
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）,代入即可写出集合，方可求出集合，解出集合，则可求出；
（2）讨论是否为空集，分别解出的取值范围.再取并集即可．
【详解】
（1）因为,所以，所以或.
又，
所以或.
（2）时，当，有
，解得;
当,即时,
即，有,
综上,实数的取值范围是.
【点睛】
易错点点睛：本题考查集合的基本运算，属于基础题．需要注意的是需要讨论是否为空集．
(四)、集合基本运算中的含参问题
方法导入
这类问题一般通过观察得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组求解.
步骤
第1步，通过集合运算得到各集合间的关系;第2步利用各集合间的关系列方程组或不等式组求解;第3步综合各分类讨论的结果得到最终参数的取值.
反思
要注意对求解结果进行检验，防止违背集合中元素有关特性，尤其是互异性.
例7．（1）（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（理））设集合，，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先解出集合A，
根据,可知,构造关于a
的不等式组,解得a的范围.
【详解】
，，
由得，所以.
故选：A.
【点睛】
（1），.
（2）由求参数的范围容易漏掉的情况．
（2）.（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知集合，，若，则实数的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先求出集合A，由得到，再分类讨论a的值即可.
【详解】
，因为，所以，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，
综上，实数的取值集合为.
故选：D.
【点睛】
易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略时，集合满足，而错解.
【变式训练7-1】．（2020·江苏省江浦高级中学高一期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．或
D．
【答案】C
【分析】
首先根据题意，求得或，由可以得到，根据子集的定义求得参数所满足的条件，得到结果.
【详解】
，
∵．
∴或，
∵即，∴或．
即或，?即实数的取值范围是或．
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的补集，根据子集求参数的取值范围，属于简单题目.
例8．（2019·张家港高级中学高二月考（文））已知集合，．
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)2；(2).
【分析】
(1)解一元二次不等式，求出集合A，B，由分析列式即可得解；
(2)求出集合，再由给定集合的包含关系列出不等式求解即得.
【详解】
(1)解不等式得，即，
解不等式，得，即，
因，则有，解得，
所以实数m的值为2；
(2)由(1)知，而，
则有或，解得或，
所以实数m的取值范围.
【变式训练8-1】．（2021·浙江高一期末）已知集合，函数的定义域为B．
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根据的值直接得到集合，然后求解出不等式的解集为集合，然后根据交、并、补集的概念求解出；
（2）根据分析得到的子集关系，然后分别考虑的情况，由此求解出的取值范围.
【详解】
（1）因为，所以，
又因为，所以，解得，所以，
所以，
又因为，所以；
（2）因为，所以，
当时，满足，此时，所以；
当时，因为，所以，解得，
综上可知，的取值范围是.
【点睛】
易错点睛：根据集合的包含关系求解参数范围时的注意事项：
（1）注意分析集合为空集的可能；
（2）列关于参数的不等式时，注意等号是否能取到.
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集合中含有参数问题
一、考情分析
二、经验分享
【重难点突破
】
1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.
2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B
.[]
3．奇数集：.
4.
数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域.
5.
德?摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即；
②交集的补集等于补集的并集，即．
三、题型分析
(一)
元素与集合的关系中含有参数问题
方法导入
已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解
步骤
第1步：由元素属于或不属于集合入手分类讨论；第2步：将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合；第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求；
反思
要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验
例1．（1）（2020·江苏高一课时练习）已知，，若集合，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2020·河北沧州市·高一期中）已知集合，若，则中所有元素之和为（
）
A．3
B．1
C．
D．
【变式训练1-1】．（2020·临猗县临晋中学高一月考）集合，，若且，则的取值为（
）
A．
B．4
C．或
D．或1
【变式训练1-2】．（2021·全国高三专题练习（理））已知集合M＝，若，则实数a的取值范围是____________．
例2．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知M是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若且，则.
（1）判断是否正确，说明理由；
（2）证明：；
（3）证明：若，则且.
【变式训练2-1】．（2020·全国高一课时练习）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则
∈A，且1?A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
(二)
集合中元素个数的含参数问题
方法导入
此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解.
步骤
第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论；第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解；
反思
要注意两点，一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0.
例3．（2021·福清西山学校高二月考）若对任意的，则，就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为___________.
【变式训练3-1】．（2020·南开区·天津四十三中）集合，若集合中只有一个元素，则由实数的值组成的集合为________.
例4．（2020·永济中学高一月考）已知集合，集合.
（1）写出集合的所有子集；
（2）若，求实数的取值范围.
【变式训练4-1】．（2020·伊美区第二中学高一月考）设集合，．
（1）若，求的非空真子集的个数；
（2）若，求实数的取值范围．
(三)、集合基本关系中的含参问题
方法导入
由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解.
步骤
第1步确定两个集合中谁是谁的子集;第2步，若集合是有限极或离散型无限极，常依据集合间的包含关系，转化为解方程(组)求解，若集合是连续型无限极，常借助数轴转化为不等式(组)求解;第3步，综合各分类讨论的结果，得到最终参数的取值;
反思
要注意两点，一是注意对子集是否为空集进行讨论，二是注意集合中元素的互异性及端点值能否取到.
例5．（1）（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））集合或，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．C．D．
（2）．（2020·沈丘县第一高级中学高三月考（文））已知集合，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-1】．（2020·上海外国语大学附属宏达高级中学高一月考）若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
例6．（2019·天津市南开中学滨海生态城学校高一月考）已知集合，
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
(四)、集合基本运算中的含参问题
方法导入
这类问题一般通过观察得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组求解.
步骤
第1步，通过集合运算得到各集合间的关系;第2步利用各集合间的关系列方程组或不等式组求解;第3步综合各分类讨论的结果得到最终参数的取值.
反思
要注意对求解结果进行检验，防止违背集合中元素有关特性，尤其是互异性.
例7．（1）（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（理））设集合，，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）.（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知集合，，若，则实数的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-1】．（2020·江苏省江浦高级中学高一期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．或
D．
例8．（2019·张家港高级中学高二月考（文））已知集合，．
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求实数m的取值范围．
【变式训练8-1】．（2021·浙江高一期末）已知集合，函数的定义域为B．
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
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