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专题07
集合的运算
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1、并集】
1．并集的概念
一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）
（2）
（3）
由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．
注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．
2．并集的性质
对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：
（1），；
（2）；
（3）；
（4）．
【知识点2、交集】
1．交集的概念
一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）A与B相交（有公共元素）
（2），则
（3）A与B相离（）
注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．
2．交集的性质
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【知识点3、全集与补集】
1．全集的概念
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．
说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集．
2．补集的概念
对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：
说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是
全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个
概念．
（2）若，则或，二者必居其一．
3．全集与补集的性质
设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
三、题型分析
（一）、集合的并集
例1．（1）（2021·北京高二学业考试）已知集合，则AB＝（
）
A．{－1，0，2}
B．{0，1，2}
C．{－1，0，1}
D．{－1，0，1，2}
【答案】D
【分析】
由集合并集概念求得结果即可.
【详解】
由题知，.
故选：D.
（2）．（2021·全国高三其他模拟（文））已知集合，，则的元素个数为（
）
A．6
B．5
C．3
D．2
【答案】A
【分析】
根据题意，先将集合A中每个元素代入集合B的函数中求出y，再求并集即可.
【详解】
本题考查集合的并集运算，考查数学运算核心素养.
∵，，∴，元素个数为6.
故选：A.
【变式训练1-1】．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）集合若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据并集运算，结合集合的元素种类数，求得a的值.
【详解】
由知，
，解得
故选：B
（二）、集合的交集
例2．（1）（2021·广西梧州市·高一期末）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
直接利用交集的定义得到结果.
【详解】
因为集合，，
则，
故选：A.
（2）．（2021·浙江高三其他模拟）已知集合，则=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据交集的概念即可求解.
【详解】
因为，所以，
故选：C.
（3）．（2021·天津滨海新区·高二期末）设集合，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据集合的交集运算求解即可.
【详解】
解：集合，，则=，
故选：A
【变式训练2-1】．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））已知集合，，（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
分别求的中的x的取值范围，得到,然后利用交集定义求得答案.
【详解】
,,
所以,
故选：D.
【变式训练2-2】．（2021·上海师范大学第二附属中学高三月考）已知集合，集合，则________．
【答案】
【分析】
由集合的交运算求即可.
【详解】
由题设知：.
故答案为：
【变式训练2-3】．（2020·上海高一专题练习）已知非空集合，则＝_________
【答案】
【分析】
由可得或，联立方程和求解即可得出.
【详解】
由集合A可得，由可得或，
联立方程，可解得或，
联立方程，可解得或（舍去），
综上可得.
故答案为：.
【变式训练2-4】．（2021·咸丰春晖学校高一月考）已知集合，，则__________．
【答案】
【分析】
求出集合，再利用集合的交运算即可求解.
【详解】
，
，
所以.
故答案为：
【变式训练2-5】．（2021·上海高一期末）已知集合，则__________．
【答案】
【分析】
先求集合，再根据交集定义求.
【详解】
，，所以.
故答案为：
【变式训练2-6】．（2021·江西南昌市·高一期末）设，，若，则实数___________.
【答案】.
【分析】
由，可得，再分别讨论和即可求解.
【详解】
因为，所以，
当即时，此时，不满足元素的互异性，所以不成立，
当可得或，
当时不符合题意，当时，，此时，满足，
综上所述：
故答案为：.
（三）、集合的补集
例3．（2020·上海高一专题练习）已知全集，，则___________.
【答案】
【分析】
根据集合补集的定义求解即可．
【详解】
则
故答案为：
【变式训练3-1】．（2021·全国高三二模）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，故选A.
【变式训练3-2】．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）已知，，，则（
）
A．或
B．
C．或
D．
【答案】A
【分析】
先求，再求的值.
【详解】
因为或，所以或.
故选：A.
【变式训练3-3】．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））已知集合，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由题意可得，再求即可.
【详解】
解：∵集合，
，
，
∴，
.
故选：A.
（四）、集合中的新定义问题
解题技巧：集合中的新定义问题
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：用好集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
例4．（1）（2020·上海高一专题练习）定义，若，，则___．
【答案】.
【分析】
直接利用的定义求出.
【详解】
∵，，且
∴
故答案为：
（2）．（2020·上海高一专题练习）定义或，若，，则___．
【答案】
【分析】
根据集合的描述知，由集合并运算求即可.
【详解】
由题意知：.
故答案为：.
【变式训练4-1】．（2020·上海高一专题练习）已知全集，定义且，若，则_______．
【答案】．
【分析】
先求出集合，进而可得．
【详解】
由且可得
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
则
故答案为：
（五）、集合的运算的综合应用
例5．（2020·福建福州市·高三月考）已知全集为，集合，集合．求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
结合集合的交、并、补集的混运算即可.
【详解】
解：∵，
，
∴，
（1）；
（2）．
例6．（2020·全国高一单元测试）已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由得，然后分类和求解．
【详解】
（1）当时，中不等式为，即，
∴或，则
（2）∵，∴，
①当时，，即，此时；
②当时，，即，此时.
综上的取值范围为.
【变式训练6-1】．（2021·全国高一课时练习）设全集R，集合，.
（1）求B及；
（2）若集合，满足，求实数的取值范围.
【答案】（1），或；（2）.
【分析】
（1）利用一元一次不等式的解法求集合B，再利用集合的交集和补集运算求解；
（2）根据，由求解.
【详解】
（1）∵，
∴，
∴或.
（2）由得，
又因为
所以，
解得.
所以实数的取值范围是
【变式训练6-2】．（2020·泰州市第二中学高一月考）全集，若集合，
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用并集的定义求解，然后再根据计算；（2）根据，结合数轴分析得的取值范围.
【详解】
（1）∵，
∴，得.
（2）∵，，又，如图，
∴的取值范围为.
【变式训练6-3】．（2020·石家庄市第四中学高一月考）已知集合，集合，求：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）;（2）;（3）或．
【分析】
求出集合，，集合，由此能求出，和．
【详解】
解：（1）集合，，集合，
．
（2）．
（3）或．
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精品试卷·第
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专题07
集合的运算
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1、并集】
1．并集的概念
一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）
（2）
（3）
由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．
注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．
2．并集的性质
对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：
（1），；
（2）；
（3）；
（4）．
【知识点2、交集】
1．交集的概念
一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）A与B相交（有公共元素）
（2），则
（3）A与B相离（）
注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．
2．交集的性质
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【知识点3、全集与补集】
1．全集的概念
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．
说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集．
2．补集的概念
对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：
说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是
全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个
概念．
（2）若，则或，二者必居其一．
3．全集与补集的性质
设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
三、题型分析
（一）、集合的并集
例1．（1）（2021·北京高二学业考试）已知集合，则AB＝（
）
A．{－1，0，2}
B．{0，1，2}
C．{－1，0，1}
D．{－1，0，1，2}
（2）．（2021·全国高三其他模拟（文））已知集合，，则的元素个数为（
）
A．6
B．5
C．3
D．2
【变式训练1-1】．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）集合若，则（
）
A．
B．
C．
D．
（二）、集合的交集
例2．（1）（2021·广西梧州市·高一期末）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2021·浙江高三其他模拟）已知集合，则=（
）
A．
B．
C．
D．
（3）．（2021·天津滨海新区·高二期末）设集合，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））已知集合，，（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】．（2021·上海师范大学第二附属中学高三月考）已知集合，集合，则________．
【变式训练2-3】．（2020·上海高一专题练习）已知非空集合，则＝_________
【变式训练2-4】．（2021·咸丰春晖学校高一月考）已知集合，，则__________．
【变式训练2-5】．（2021·上海高一期末）已知集合，则__________．
【变式训练2-6】．（2021·江西南昌市·高一期末）设，，若，则实数___________.
（三）、集合的补集
例3．（2020·上海高一专题练习）已知全集，，则___________.
【变式训练3-1】．（2021·全国高三二模）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）已知，，，则（
）
A．或
B．
C．或
D．
【变式训练3-3】．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））已知集合，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
（四）、集合中的新定义问题
解题技巧：集合中的新定义问题
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：用好集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
例4．（1）（2020·上海高一专题练习）定义，若，，则___．
（2）．（2020·上海高一专题练习）定义或，若，，则___．
【变式训练4-1】．（2020·上海高一专题练习）已知全集，定义且，若，则_______．
（五）、集合的运算的综合应用
例5．（2020·福建福州市·高三月考）已知全集为，集合，集合．求：
（1）；
（2）．
例6．（2020·全国高一单元测试）已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【变式训练6-1】．（2021·全国高一课时练习）设全集R，集合，.
（1）求B及；
（2）若集合，满足，求实数的取值范围.
【变式训练6-2】．（2020·泰州市第二中学高一月考）全集，若集合，
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【变式训练6-3】．（2020·石家庄市第四中学高一月考）已知集合，集合，求：
（1）；
（2）；
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