资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题10
函数的三要素
一、考情分析
二、经验分享
【重难点1．函数的定义域】
当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有：
①分式的分母不为0；
②偶次根式的被开方数非负；
③要求；
④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；
⑤已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；
⑥已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围；
⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．
名师提醒：
（1）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
（2）已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．
【重难点2．求函数值或函数的值域】
（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的x，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求．
求函数值应遵循的原则：
①已知的表达式求时，只需用a替换表达式中的x．
②求的值应遵循由里往外的原则．
③用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值．
（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数的值域与函数的值域是不同的；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；
④换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．
【重难点3．函数解析式的求法】
（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．
（2）已知f（g（x））=h（x），求f（x），常用的有两种方法：
①换元法，即令t=g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，即为所求解析式；
②配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意g（x）的取值范围的限定．
（3）已知f（x）与f（g（x））满足的关系式，要求f（x）时，可用g（x）代替两边所有的x，得到关于f（x）与f（g（x））的方程组，消去f（g（x））解出f（x）即可．常见的有f（x）与f
（?x），f（x）与．
（4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．
三、题型分析
（一）．函数的定义域
考点1.具体函数的定义域
例1．（1）（2021·辽河油田第二高级中学高一开学考试）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据被开方数不小于零以及分母不为零，即可求出结论.
【详解】
要使函数有意义，
需，
所以函数的定义域是.
故选：C.
（2）．（2020·上海高一专题练习）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．且
【答案】D
【分析】
利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】
因为且，
所以且，
解得，且.
故选：D
【变式训练1-1】．（2021·广西崇左市·崇左高中高一开学考试（文））函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据解析式列出不等式即可求出.
【详解】
由可解得且，
的定义域为.
故选：B.
【变式训练1-2】．（2021·江西吉安市·高一期末）函数的定义域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】
函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案
【详解】
函数的定义域为，等价于恒成立，
当时，显然成立；
当时，由，得．
综上，实数的取值范围为．
故答案为：
【变式训练1-3】．（2020·永新县第二中学高一月考）求下列函数的定义域
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】
根据具体函数求定义域的方法即可求出结果.
【详解】
（1）由题意得，即，故的定义域为；
（2）由题意得，即，故的定义域为.
考点2.抽象函数的定义域
例2．（2018·湖北高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由題意可得解不等式即得．
【详解】
因为函数的定义域为，所以，解得
故选：A
【变式训练2-1】．（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高一开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域是__________．
【答案】
【分析】
利用抽象函数和分式函数的定义域求法求解.
【详解】
因为函数的定义域为，
所以，
则，且，
解得，
所以函数的定义域是，
故答案为：
【变式训练2-2】．（2020·上海高一专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是_____________.
【答案】
【分析】
由定义域的定义，列不等式，解出x的范围即可.
【详解】
∵函数的定义域为
∴函数的定义域需满足：
解得：.
即函数的定义域是
故答案为：
【点睛】
（二）．求函数值或函数的值域
考点3.一次函数、二次函数的值域的问题
例3．（1）（2020·永新县第二中学高一月考）的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求值域.
【详解】
开口向上，且对称轴为，所以有最小值，即，所以值域为，
故选：B.
（2）．（2021·浙江高一期末）函数的值域为_________．
【答案】
【分析】
利用换元法，令，则，根据二次函数性质得，然后再根据反比例函数的单调性判断值域.
【详解】
令，则，由二次函数的性质可得，因为函数在和上单调递减，所以当时，；当时，，综上，函数的值域为.
故答案为：
【变式训练3-1】．（2021·全国高一课时练习）一次函数g(x)满足g[g(x)]=9x+8，则g(x)的解析式是（
）
A．g(x)=9x+8
B．g(x)=3x-2
C．g(x)=
-3x-4或g(x)=3x+2
D．g(x)=3x+8
【答案】C
【分析】
利用待定系数法可求出结果.
【详解】
因为g(x)是一次函数，
所以设g(x)=kx+b(k≠0)，
所以g[g(x)]=k(kx+b)+b，
又因为g[g(x)]=9x+8，所以
解得或
所以g(x)=3x+2或g(x)=
-3x
–
4.
故选：C
【变式训练3-2】．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数的定义域和值域都是，则（
）
A．1
B．3
C．
D．1或3
【答案】B
【分析】
根据函数在上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果.
【详解】
因为函数在上为增函数，且定义域和值域都是，
所以，，解得或（舍），
故选：B
例4．（2021·内蒙古赤峰市·高一期末）函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数最值性质进行求解即可．
【详解】
解：设，则，则，
则函数等价为，
对称轴为，
则当时，函数取得最大值，
即，即函数的值域为，，
故选：．
【变式训练4-1】．（2020·舒城育才学校高一月考）函数的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
令，将函数转化为关于的二次函数，求其值域即可求解.
【详解】
令，则，
设，
，所以，
即的值域是.
故选：B.
【变式训练4-2】．（2020·河南洛阳市·高一期中）已知函数，则的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
变换得到，根据二次函数性质得到值域.
【详解】
，，
故，故函数值域为.
故选：B.
考点4.类“反比例”函数的值域的问题
例5．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用分离常数法得到，因为，分子是常数，分母不能为0，所以，即可得到答案．
【详解】
解：，因为，所以，所以函数的值域为
故选：D
【变式训练5-1】．（2020·黑龙江哈尔滨三中高一期中）函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
求解的值域，结合反比例函数的性质可得函数的值域；
【详解】
设，即，则函数转化为，
∴根据反比例函数的性质，可得.
故选：C.
【变式训练5-2】．（2021·浙江高二期末）已知函数，则函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
分离常量法知，则在上递减，进而可求上值域.
【详解】
由，对称中心为，且在上递减，
∴在上值域为，
故选：A
考点5.“双勾”函数的值域问题
例6．（2021·上海市建平中学高二月考）函数，的值域为___________.
【答案】
【分析】
根据对勾函数的单调性即可求出函数的值域．
【详解】
解：由可得，
∴对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
∴函数的值域为，
故答案为：．
【变式训练6-1】．（2021·上海虹口区·高一期末）函数，的值域为__________．
【答案】
【分析】
根据对勾函数的单调性分析出的单调性，然后即可求解出的最值，从而的值域可确定出.
【详解】
由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递减，
所以，
又，且，，
所以，
所以的值域为，
故答案为：.
（三）．函数解析式的求法
考点6.用换元法求函数的解析式
例7．（1）（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高一开学考试）已知，则的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用配凑法求函数的表达式.
【详解】
，
；
故选：．
（2）．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末）已知函数满足，则的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用换元法求函数的解析式.
【详解】
令,
则，
代入得：，
即，
故选：D
【变式训练7-1】．（2020·广西南宁市东盟中学高一期中）已知是一次函数，满足，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先设出一次函数的解析式，再根据可确定出，的值，进而可求函数解析式
【详解】
解：由题意可设
，
即
解方程可得，，
故选：．
【变式训练7-2】．（2020·石家庄精英中学高一月考）若，则有________________．
【答案】
【分析】
换元法求函数的解析式，同时注意定义域问题.
【详解】
令，则，因为，所以，即，
故答案为：
考点7.求一次、二次函数的的解析式
例8．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学高一期中）设函数是单调递增的一次函数，满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据已知，可知，结合待定系数法即可求解.
【详解】
为单调递增的一次函数，设，
故，
，，
解得，或，(不合题意，舍去)，
因此.
故选D.
【变式训练8-1】．（2020·象州县中学高一月考）求下列函数的解析式：
（1）已知二次函数满足，，求的解析式；
（2）已知，求的解析式.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得函数的解析式；
（2）设，可得，代入可求得的表达式，即可得出函数的解析式.
【详解】
（1）因为，所以，解得，所以；
（2）设，则，所以，
所以．
【变式训练8-2】．（2021·广西崇左市·崇左高中高一开学考试（文））已知为二次函数，，，求的解析式．
【答案】
【分析】
设，由已知建立关系求出即可.
【详解】
解：因为为二次函数，所以设，因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，，，所以，，所以．
考点8.用消去法求函数的解析式（方程思想）
例9．（2021·永新县第二中学高一期末）已知函数f(x)满足，则f(x)的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
把选项中的解析式依次带入验证.
【详解】
若，则，满足题意；
若，则，不满足题意；
若，则，不满足题意；
若，则，不满足题意.
故选：A.
【变式训练9-1】．（2021·陕西商洛市·高一期末）若函数满足，则（
）
A．0
B．2
C．3
D．
【答案】D
【分析】
由可得，得到方程组，可解，代入可求出.
【详解】
由，可得，
联立两式可得，代入可得.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：求函数的解析式，常用的方法有：（1）配凑法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）构造方程组法；（5）特殊值法.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题10
函数的三要素
一、考情分析
二、经验分享
【重难点1．函数的定义域】
当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有：
①分式的分母不为0；
②偶次根式的被开方数非负；
③要求；
④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；
⑤已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；
⑥已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围；
⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．
名师提醒：
（1）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
（2）已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．
【重难点2．求函数值或函数的值域】
（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的x，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求．
求函数值应遵循的原则：
①已知的表达式求时，只需用a替换表达式中的x．
②求的值应遵循由里往外的原则．
③用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值．
（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数的值域与函数的值域是不同的；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；
④换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．
【重难点3．函数解析式的求法】
（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．
（2）已知f（g（x））=h（x），求f（x），常用的有两种方法：
①换元法，即令t=g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，即为所求解析式；
②配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意g（x）的取值范围的限定．
（3）已知f（x）与f（g（x））满足的关系式，要求f（x）时，可用g（x）代替两边所有的x，得到关于f（x）与f（g（x））的方程组，消去f（g（x））解出f（x）即可．常见的有f（x）与f
（?x），f（x）与．
（4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．
三、题型分析
（一）．函数的定义域
考点1.具体函数的定义域
例1．（1）（2021·辽河油田第二高级中学高一开学考试）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2020·上海高一专题练习）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．且
【变式训练1-1】．（2021·广西崇左市·崇左高中高一开学考试（文））函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】．（2021·江西吉安市·高一期末）函数的定义域为，则实数的取值范围为______．
【变式训练1-3】．（2020·永新县第二中学高一月考）求下列函数的定义域
（1）
（2）
考点2.抽象函数的定义域
例2．（2018·湖北高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】．（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高一开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域是__________．
【变式训练2-2】．（2020·上海高一专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是_____________.
（二）．求函数值或函数的值域
考点3.一次函数、二次函数的值域的问题
例3．（1）（2020·永新县第二中学高一月考）的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2021·浙江高一期末）函数的值域为_________．
【变式训练3-1】．（2021·全国高一课时练习）一次函数g(x)满足g[g(x)]=9x+8，则g(x)的解析式是（
）
A．g(x)=9x+8
B．g(x)=3x-2
C．g(x)=
-3x-4或g(x)=3x+2
D．g(x)=3x+8
【变式训练3-2】．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数的定义域和值域都是，则（
）
A．1
B．3
C．
D．1或3
例4．（2021·内蒙古赤峰市·高一期末）函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-1】．（2020·舒城育才学校高一月考）函数的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】．（2020·河南洛阳市·高一期中）已知函数，则的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
考点4.类“反比例”函数的值域的问题
例5．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-1】．（2020·黑龙江哈尔滨三中高一期中）函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】．（2021·浙江高二期末）已知函数，则函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
考点5.“双勾”函数的值域问题
例6．（2021·上海市建平中学高二月考）函数，的值域为___________.
【变式训练6-1】．（2021·上海虹口区·高一期末）函数，的值域为__________．
（三）．函数解析式的求法
考点6.用换元法求函数的解析式
例7．（1）（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高一开学考试）已知，则的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末）已知函数满足，则的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-1】．（2020·广西南宁市东盟中学高一期中）已知是一次函数，满足，则（
）．
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2】．（2020·石家庄精英中学高一月考）若，则有________________．
考点7.求一次、二次函数的的解析式
例8．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学高一期中）设函数是单调递增的一次函数，满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-1】．（2020·象州县中学高一月考）求下列函数的解析式：
（1）已知二次函数满足，，求的解析式；
（2）已知，求的解析式.
【变式训练8-2】．（2021·广西崇左市·崇左高中高一开学考试（文））已知为二次函数，，，求的解析式．
考点8.用消去法求函数的解析式（方程思想）
例9．（2021·永新县第二中学高一期末）已知函数f(x)满足，则f(x)的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-1】．（2021·陕西商洛市·高一期末）若函数满足，则（
）
A．0
B．2
C．3
D．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑