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吉林省长春市农安县2020-2021学年高一上学期数学第一次月考试卷
一、单选题
1．（2020高一上·重庆月考）下列四组对象中能构成集合的是（　　）.
A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数 D．倒数等于本身的数
2．（2020高一上·武汉月考）下列各组中的M、P表示同一集合的是（　　）
① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， .
A．① B．② C．③ D．④
3．（2020·江西模拟）已知集合 ， ，若 ，则实数a的值为（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．
4．（2020高一上·农安月考）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值集合为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2020高一上·天津月考）下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}含有两个元素；④集合 是有限集．其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
6．（2019高二上·宝坻月考）已知 ，则 是 的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2020高二下·石家庄期末）已知命题 ， ，则 是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．（2020高一上·农安月考）a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．（2020高一上·台州期中）以下四个选项表述正确的有（　　）
A． B．
C． D．
10．（2020高一上·农安月考）下面四个说法中错误的是（　　）
A．10以内的质数组成的集合是
B．由1，2，3组成的集合可表示为 或
C．方程 的所有解组成的集合是
D．0与 表示同一个集合
11．（2020高一上·安丘月考）若集合 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2020高一上·福建月考）若非零实数a，b满足 ，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2020高二下·上海期末）已知集合 ，且 ，则实数a的值为　 　．
14．（2020高一上·农安月考）不等式 对所有的 都成立，则t的取值范围是　 　．
15．（2019高二上·洮北期中）命题“ x0∈R, ”为假命题，则实数a的取值范围是　 　．
四、双空题
16．（2020高一上·农安月考）已知a，b都是正数，且 ，则ab的最大值是　 　， 的最小值是　 　.
五、解答题
17．（2020高一上·农安月考）
（1）若正数 ， 满足 ，求 的最小值；
（2）若正数 ， 满足 ，求 的取值范围.
18．（2020高一上·五莲期中）已知集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
19．（2020高一上·农安月考）已知命题p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围．
20．已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中a∈R．
（1）1是A中的一个元素，用列举法表示A；
（2）若A中有且仅有一个元素，求实数a的组成的集合B；
（3）若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．
21．（2020高一上·绵阳月考）已知一元二次函数 ．
（1）写出该函数的顶点坐标；
（2）如果该函数在区间 上的最小值为 ，求实数 的值.
22．（2020高一上·农安月考）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售单价 （单位：元/千克）满足关系式 ，其中 ， 为常数，已知销售单价为 元/千克时，每日可售出该商品 千克.
（1）求 的值；
（2）若该商品的进价为 元/千克，试确定销售单价 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】集合中的元素具有确定性，对于 ，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
对于D，符合集合的定义，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果.
2．【答案】C
【知识点】集合相等
【解析】【解答】对于①，集合 表示数集，集合 表示点集，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合；
对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合；
对于③，两个集合表示同一集合.
对于④，集合 研究对象是函数值，集合 研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合同一集合的判断方法，从而找出各组中的M、P表示同一集合的序号。
3．【答案】A
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；交集及其运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
又 ，所以 且 ，
所以 ，所以 已舍 ，此时满足 .
故答案为：A
【分析】根据 ，得 ，根据元素的互异性可知
4．【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】已知 ， ，
因为 ，所以 或 或 ，
所以实数 的取值集合为 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法和元素与集合的关系，从而求出集合A，再结合集合间的包含关系和已知条件，再由分类讨论的方法借助数轴，从而求出实数a的取值构成的集合。
5．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性；集合间关系的判断
【解析】【解答】①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确；
②当a＝0时，0∈N，所以②不正确；
③因为由x2－2x＋1＝0，得x1＝x2＝1，所以{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，所以③不正确；
④当x为正整数的倒数时， ∈N，所以 是无限集，所以④不正确．
故答案为：D
【分析】 由空集是不含有任何元素的集合，而[0]是含有元素0的，进而即可判断出①错误；取特殊数a=0进行分析判断出②错误；利用二次方程根的情况求出方程的解，由此即可判断出③错误；
对于④，N代表自然数集，那么当x为正整数的倒数6出EN时可得其为无限集合，由此即可判断出④错误；由此即可得出答案
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】因为 或 .
所以 是 的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】首先解不等式 ，再根据不等式的解集即可得到答案.
7．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为命题 ， 是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题即： ，
故答案为：D
【分析】 根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
8．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由于方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根，包括有三种情况，只有一个负根，当a=0时，显然成立；一个负根和一个正根，以及两个负数根，当一正一负时，满足，当有两个负数根时，则满足，综上可知满足题意的a<1，因此条件是结论成立的充分不必要条件
选B.
【分析】解决该试题的关键是对于一元二次方程中根与系数的关系的理解和准确的表示运用，注意同时要分类讨论得到各个情况下的满足题意的a的范围，结合充分条件来判定得到，属于基础题。
9．【答案】B,C
【知识点】元素与集合的关系；子集与真子集
【解析】【解答】 ，所以该选项错误；
空集是任何集合的子集，所以该选项正确；
由子集的定义得 ，所以该选项正确；
是一个集合，它和 之间不能用 连接，所以该选项错误.
故答案为：BC
【分析】利用元素集合的关系逐项进行判断即可。
10．【答案】C,D
【知识点】集合的表示方法；集合相等
【解析】【解答】10以内的质数组成的集合是 ，A符合题意；由集合中元素的无序性知 和 表示同一集合，B符合题意；方程 的所有解组成的集合是 ，C不符合题意；由集合的表示方法知0不是集合，D不符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用集合的定义结合元素的无序性、集合的表示法和集合相等的判断方法，从而找出说法错误的选项。
11．【答案】A,B,C,D
【知识点】子集与真子集；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】由于 ，即 是 的子集，故 ， ，从而 ， .
故答案为：ABCD.
【分析】根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
12．【答案】A,B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A，当 ， ， ，此时 不成立；
对于B，当 ， ， ，此时 不成立；
对于C， ，所以 成立；
D，当 ，此时 不成立.
故答案为：ABD.
【分析】给实数a，b 在其取值范围内任取2个值，代入A、B、D选项进行验证，A、B、D都不成立，运用作差比较法可判断C选项.
13．【答案】-1或0
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】若 则 或
当 时， ，符合元素的互异性；
当 时， ，不符合元素的互异性，舍去
若 则 或
当 时， ，符合元素的互异性；
当 时， ，不符合元素的互异性，舍去；
故答案为：-1或0.
【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性,即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的图象
【解析】【解答】设 ， ，由 ，
∴ ，即 解得 或 或 。
故答案为： 。
【分析】设 ， ，因为不等式 对所有的 都成立，则 ，再利用代入法结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数t的取值范围。
15．【答案】
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】由题得“ x0∈R, ”为真命题,
所以 ，
所以 .
故答案为：
【分析】由题得“ x0∈R, ”为真命题，根据二次函数的图象和性质得到关于 的不等式，解不等式即得解.
16．【答案】1；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解法一：因为 ,所以 ,解得 ,
当且仅当 时取等号,所以ab的最大值是1，
因为 ,所以 ,
所以 ,
当且仅当 时取等号,则 的最小值是 。
解法二：因为 ,所以 ,所以 , ，
令 ,则 , ,当且仅当 时取等号, ,当且仅当 时取等号。
解法三：因为 ,所以 ,解得 ，
当且仅当 时取等号.因为 ,所以 ,
即 .因为 ,当且仅当 时取等号,所以 。
故答案为：1 ； 。
【分析】利用三种方法解答。分别利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而求出ab的最大值和 的最小值。
17．【答案】（1）解：原式 .
(当且仅当 时取等号.)
所以a+b最小值为18.
（2）解： ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .（当且仅当 取等号）
所以 的取值范围为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值。
（2）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，再利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出xy的最小值，进而求出xy的取值范围。
18．【答案】（1）解：当 时， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ，则有:
，解之得： .
∴实数 的取值范围是
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【分析】（1）根据并集的定义即可求出；
（2）由题意可知 ，解得即可得出实数 的取值范围 。
19．【答案】解：由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈[1,2]上恒成立．
所以a≤(x2)min，x∈[1,2]．所以a≤1.
若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解．
所以判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0.
所以a≥1或a≤－2.
又因为p，q都为真命题，所以 所以a≤－2或a＝1.
所以实数a的取值范围是{a|a≤－2，或a＝1}．
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题；二次函数的图象
【解析】【分析】利用全称命题真假性判断方法结合特称命题真假性判断方法，再结合已知条件命题p与q都是真命题， 再结合不等式恒成立问题的求解方法和判别式法，从而结合交集的运算法则，进而求出实数a的取值范围。
20．【答案】（1）解：∵1是A的元素，∴1是方程ax2+2x+1=0的一个根，
∴a+2+1=0，即a=﹣3，
此时A={x|﹣3x2+2x+1=0}．
∴x1=1， ，∴此时集合
（2）解：若a=0，方程化为x+1=0，此时方程有且仅有一个根 ，
若a≠0，则当且仅当方程的判别式△=4﹣4a=0，即a=1时，
方程有两个相等的实根x1=x2=﹣1，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴所求集合B={0，1}
（3）解：集合A中至多有一个元素包括有两种情况，
①A中有且仅有一个元素，由（2）可知此时a=0或a=1，
②A中一个元素也没有，即A= ，此时a≠0，且△=4﹣4a＜0，解得a＞1，
综合①②知a的取值范围为{a|a≥1或a=0}
【知识点】集合的表示方法
【解析】【分析】（1）若1∈A，则a=﹣3，解方程可用列举法表示A；（2）若A中有且仅有一个元素，分a=0，和a≠0且△=0两种情况，分别求出满足条件a的值，可得集合B．（3）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，①A中有且仅有一个元素，②A中一个元素也没有，分别求出即可得到a的取值范围．
21．【答案】（1）解：由二次函数顶点的坐标公式，
顶点横坐标 ，顶点纵坐标 .
所以抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：二次函数图象开口向上，对称轴为 ，在区间 上的最小值，分情况：
①当 时，即当 时，二次函数在区间 上随着 的增大而增大，
该函数在 处取得最小值，即 ，
解得 ，又 ，所以 ；
②当 时，即当 时，二次函数在区间 上随着 的增大而减小，在区间 上随着 的增大而增大，该函数在 处取得最小值，即 ，
解得 ，舍去；
③当 时，即当 时，二次函数在区间 上随着 的增大而减小，
该函数在 处取得最小值，即 ，
解得 ，又 ，解的 .
综上， 或 .
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】（1）利用二次函数的顶点坐标公式，从而写出该函数的顶点坐标。
(2)利用二次函数的图象的开口方向结合对称轴，从而利用分类讨论的方法判断出二次函数的单调性，进而求出二次函数的最小值，再利用该函数在区间 上的最小值为 ， 从而求出实数a的值。
22．【答案】（1）解：因为 .且 时， .
所以 解得. .
（2）解：由（1）可知，该商品每日的销售量 .
所以商场每日销售该商品所获得的利润：
因为 为二次函数，且开口向上，对称轴为 .
所以，当 时，函数 取得最大值，且最大值等于440.
所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合代入法，从而求出a的值。
（2） 由（1）可知，该商品每日的销售量 ，再结合已知条件求出商场每日销售该商品所获得的利润 ，再利用二次函数的图象的开口方向和对称性，从而判断出二次函数的单调性，进而求出二次函数的最大值，从而求出当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元。
1 / 1吉林省长春市农安县2020-2021学年高一上学期数学第一次月考试卷
一、单选题
1．（2020高一上·重庆月考）下列四组对象中能构成集合的是（　　）.
A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数 D．倒数等于本身的数
【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】集合中的元素具有确定性，对于 ，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
对于D，符合集合的定义，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果.
2．（2020高一上·武汉月考）下列各组中的M、P表示同一集合的是（　　）
① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， .
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】集合相等
【解析】【解答】对于①，集合 表示数集，集合 表示点集，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合；
对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合；
对于③，两个集合表示同一集合.
对于④，集合 研究对象是函数值，集合 研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合同一集合的判断方法，从而找出各组中的M、P表示同一集合的序号。
3．（2020·江西模拟）已知集合 ， ，若 ，则实数a的值为（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】A
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；交集及其运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
又 ，所以 且 ，
所以 ，所以 已舍 ，此时满足 .
故答案为：A
【分析】根据 ，得 ，根据元素的互异性可知
4．（2020高一上·农安月考）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值集合为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】已知 ， ，
因为 ，所以 或 或 ，
所以实数 的取值集合为 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法和元素与集合的关系，从而求出集合A，再结合集合间的包含关系和已知条件，再由分类讨论的方法借助数轴，从而求出实数a的取值构成的集合。
5．（2020高一上·天津月考）下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}含有两个元素；④集合 是有限集．其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性；集合间关系的判断
【解析】【解答】①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确；
②当a＝0时，0∈N，所以②不正确；
③因为由x2－2x＋1＝0，得x1＝x2＝1，所以{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，所以③不正确；
④当x为正整数的倒数时， ∈N，所以 是无限集，所以④不正确．
故答案为：D
【分析】 由空集是不含有任何元素的集合，而[0]是含有元素0的，进而即可判断出①错误；取特殊数a=0进行分析判断出②错误；利用二次方程根的情况求出方程的解，由此即可判断出③错误；
对于④，N代表自然数集，那么当x为正整数的倒数6出EN时可得其为无限集合，由此即可判断出④错误；由此即可得出答案
6．（2019高二上·宝坻月考）已知 ，则 是 的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】因为 或 .
所以 是 的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】首先解不等式 ，再根据不等式的解集即可得到答案.
7．（2020高二下·石家庄期末）已知命题 ， ，则 是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为命题 ， 是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题即： ，
故答案为：D
【分析】 根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
8．（2020高一上·农安月考）a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由于方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根，包括有三种情况，只有一个负根，当a=0时，显然成立；一个负根和一个正根，以及两个负数根，当一正一负时，满足，当有两个负数根时，则满足，综上可知满足题意的a<1，因此条件是结论成立的充分不必要条件
选B.
【分析】解决该试题的关键是对于一元二次方程中根与系数的关系的理解和准确的表示运用，注意同时要分类讨论得到各个情况下的满足题意的a的范围，结合充分条件来判定得到，属于基础题。
二、多选题
9．（2020高一上·台州期中）以下四个选项表述正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】元素与集合的关系；子集与真子集
【解析】【解答】 ，所以该选项错误；
空集是任何集合的子集，所以该选项正确；
由子集的定义得 ，所以该选项正确；
是一个集合，它和 之间不能用 连接，所以该选项错误.
故答案为：BC
【分析】利用元素集合的关系逐项进行判断即可。
10．（2020高一上·农安月考）下面四个说法中错误的是（　　）
A．10以内的质数组成的集合是
B．由1，2，3组成的集合可表示为 或
C．方程 的所有解组成的集合是
D．0与 表示同一个集合
【答案】C,D
【知识点】集合的表示方法；集合相等
【解析】【解答】10以内的质数组成的集合是 ，A符合题意；由集合中元素的无序性知 和 表示同一集合，B符合题意；方程 的所有解组成的集合是 ，C不符合题意；由集合的表示方法知0不是集合，D不符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用集合的定义结合元素的无序性、集合的表示法和集合相等的判断方法，从而找出说法错误的选项。
11．（2020高一上·安丘月考）若集合 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C,D
【知识点】子集与真子集；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】由于 ，即 是 的子集，故 ， ，从而 ， .
故答案为：ABCD.
【分析】根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
12．（2020高一上·福建月考）若非零实数a，b满足 ，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A，当 ， ， ，此时 不成立；
对于B，当 ， ， ，此时 不成立；
对于C， ，所以 成立；
D，当 ，此时 不成立.
故答案为：ABD.
【分析】给实数a，b 在其取值范围内任取2个值，代入A、B、D选项进行验证，A、B、D都不成立，运用作差比较法可判断C选项.
三、填空题
13．（2020高二下·上海期末）已知集合 ，且 ，则实数a的值为　 　．
【答案】-1或0
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】若 则 或
当 时， ，符合元素的互异性；
当 时， ，不符合元素的互异性，舍去
若 则 或
当 时， ，符合元素的互异性；
当 时， ，不符合元素的互异性，舍去；
故答案为：-1或0.
【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性,即可得到答案.
14．（2020高一上·农安月考）不等式 对所有的 都成立，则t的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的图象
【解析】【解答】设 ， ，由 ，
∴ ，即 解得 或 或 。
故答案为： 。
【分析】设 ， ，因为不等式 对所有的 都成立，则 ，再利用代入法结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数t的取值范围。
15．（2019高二上·洮北期中）命题“ x0∈R, ”为假命题，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】由题得“ x0∈R, ”为真命题,
所以 ，
所以 .
故答案为：
【分析】由题得“ x0∈R, ”为真命题，根据二次函数的图象和性质得到关于 的不等式，解不等式即得解.
四、双空题
16．（2020高一上·农安月考）已知a，b都是正数，且 ，则ab的最大值是　 　， 的最小值是　 　.
【答案】1；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解法一：因为 ,所以 ,解得 ,
当且仅当 时取等号,所以ab的最大值是1，
因为 ,所以 ,
所以 ,
当且仅当 时取等号,则 的最小值是 。
解法二：因为 ,所以 ,所以 , ，
令 ,则 , ,当且仅当 时取等号, ,当且仅当 时取等号。
解法三：因为 ,所以 ,解得 ，
当且仅当 时取等号.因为 ,所以 ,
即 .因为 ,当且仅当 时取等号,所以 。
故答案为：1 ； 。
【分析】利用三种方法解答。分别利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而求出ab的最大值和 的最小值。
五、解答题
17．（2020高一上·农安月考）
（1）若正数 ， 满足 ，求 的最小值；
（2）若正数 ， 满足 ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：原式 .
(当且仅当 时取等号.)
所以a+b最小值为18.
（2）解： ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .（当且仅当 取等号）
所以 的取值范围为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值。
（2）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，再利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出xy的最小值，进而求出xy的取值范围。
18．（2020高一上·五莲期中）已知集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ，则有:
，解之得： .
∴实数 的取值范围是
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【分析】（1）根据并集的定义即可求出；
（2）由题意可知 ，解得即可得出实数 的取值范围 。
19．（2020高一上·农安月考）已知命题p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】解：由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈[1,2]上恒成立．
所以a≤(x2)min，x∈[1,2]．所以a≤1.
若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解．
所以判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0.
所以a≥1或a≤－2.
又因为p，q都为真命题，所以 所以a≤－2或a＝1.
所以实数a的取值范围是{a|a≤－2，或a＝1}．
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题；二次函数的图象
【解析】【分析】利用全称命题真假性判断方法结合特称命题真假性判断方法，再结合已知条件命题p与q都是真命题， 再结合不等式恒成立问题的求解方法和判别式法，从而结合交集的运算法则，进而求出实数a的取值范围。
20．已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中a∈R．
（1）1是A中的一个元素，用列举法表示A；
（2）若A中有且仅有一个元素，求实数a的组成的集合B；
（3）若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵1是A的元素，∴1是方程ax2+2x+1=0的一个根，
∴a+2+1=0，即a=﹣3，
此时A={x|﹣3x2+2x+1=0}．
∴x1=1， ，∴此时集合
（2）解：若a=0，方程化为x+1=0，此时方程有且仅有一个根 ，
若a≠0，则当且仅当方程的判别式△=4﹣4a=0，即a=1时，
方程有两个相等的实根x1=x2=﹣1，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴所求集合B={0，1}
（3）解：集合A中至多有一个元素包括有两种情况，
①A中有且仅有一个元素，由（2）可知此时a=0或a=1，
②A中一个元素也没有，即A= ，此时a≠0，且△=4﹣4a＜0，解得a＞1，
综合①②知a的取值范围为{a|a≥1或a=0}
【知识点】集合的表示方法
【解析】【分析】（1）若1∈A，则a=﹣3，解方程可用列举法表示A；（2）若A中有且仅有一个元素，分a=0，和a≠0且△=0两种情况，分别求出满足条件a的值，可得集合B．（3）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，①A中有且仅有一个元素，②A中一个元素也没有，分别求出即可得到a的取值范围．
21．（2020高一上·绵阳月考）已知一元二次函数 ．
（1）写出该函数的顶点坐标；
（2）如果该函数在区间 上的最小值为 ，求实数 的值.
【答案】（1）解：由二次函数顶点的坐标公式，
顶点横坐标 ，顶点纵坐标 .
所以抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：二次函数图象开口向上，对称轴为 ，在区间 上的最小值，分情况：
①当 时，即当 时，二次函数在区间 上随着 的增大而增大，
该函数在 处取得最小值，即 ，
解得 ，又 ，所以 ；
②当 时，即当 时，二次函数在区间 上随着 的增大而减小，在区间 上随着 的增大而增大，该函数在 处取得最小值，即 ，
解得 ，舍去；
③当 时，即当 时，二次函数在区间 上随着 的增大而减小，
该函数在 处取得最小值，即 ，
解得 ，又 ，解的 .
综上， 或 .
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】（1）利用二次函数的顶点坐标公式，从而写出该函数的顶点坐标。
(2)利用二次函数的图象的开口方向结合对称轴，从而利用分类讨论的方法判断出二次函数的单调性，进而求出二次函数的最小值，再利用该函数在区间 上的最小值为 ， 从而求出实数a的值。
22．（2020高一上·农安月考）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售单价 （单位：元/千克）满足关系式 ，其中 ， 为常数，已知销售单价为 元/千克时，每日可售出该商品 千克.
（1）求 的值；
（2）若该商品的进价为 元/千克，试确定销售单价 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.
【答案】（1）解：因为 .且 时， .
所以 解得. .
（2）解：由（1）可知，该商品每日的销售量 .
所以商场每日销售该商品所获得的利润：
因为 为二次函数，且开口向上，对称轴为 .
所以，当 时，函数 取得最大值，且最大值等于440.
所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合代入法，从而求出a的值。
（2） 由（1）可知，该商品每日的销售量 ，再结合已知条件求出商场每日销售该商品所获得的利润 ，再利用二次函数的图象的开口方向和对称性，从而判断出二次函数的单调性，进而求出二次函数的最大值，从而求出当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元。
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