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第一章·语法
函数的同构
一、基础知识:
1、同构式:是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用:
(1)在方程中的应用:如果方程和呈现同构特征,则可视为方程的两个根
(2)在不等式中的应用:如果不等式的两侧呈现同构特征,则可将相同的结构构造为一个函数,进而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式
二、方法点拨
1、能够识别出、或适当变形后得到已知中出现的“两个变量”,然后利用同构,构造出一个函数,最后利用函数的性质解题；
2、构造函数的策略是:左右形式相当,一边一个变量,取左或取右,构造函数妥当.
【典型例题】
例1:(2015天津十二校联考)设,满足
,则(
)
A.
B.
C.
D.
思路:本题研究对象并非,而是,进而可变形为,观察上下式子左边结构相同,进而可将相同的结构视为一个函数,而等式右边两个结果互为相反数,可联想到函数的奇偶性,从而利用函数性质求解
解:
设,可得为奇函数,由题意可得:
答案:B
练习:已知:定义在上的可导函数的图象关于点对称的充要条件是导函数的图象关于直线对称.任给实数,满足,,则(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】可设函数,则,其图像关于对称,故原函数的图像关于点对称,且,故对称点的坐标为．又,则,又当时,知在上恒单调递增．故点与点关于点对称．∴即．故选．
点睛:本题通过新定义的形式考查了函数的对称性,即若导函数为轴对称图形,则原函数为中心对称图形,且对称轴和对称中心的横坐标相同.对于中心对称函数,若对称中心为,那么当函数单调时,和是充要的.
例2:若函数在区间上的值域为,则实数的取值范围是____
思路:注意到是增函数,从而得到,即,发现两个式子为的同构式,进而将同构式视为一个方程,而为该方程的两个根,的取值只需要保证方程有两根即可解:为增函数
为方程在上的两个根,即有两个不同的根
令
∴方程变形为:,结合图像可得:,答案:
练习:已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若函数在区间上的值域为,求,的值.
【答案】(1);(2)且.
【解析】分析:(1)直接根据求出实数a的值.(2)先证明函数在函数上为单调减函数,再利用其单调性得到,求出m,n的值.
详解:(1)函数的定义域为,,
∴恒成立,∴.
(2)由题(1)得,∴,∴在函数上为单调减函数.∵,∴,∴,是方程的两根,
又∵,∴且.
点睛:(1)本题主要考查函数的奇偶性,考查函数单调性的应用,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点,其一是由在函数上为单调减函数得到,其二是如何解方程组.
例3:已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是(
)
A.
B.
C.
D.
思路:观察条件可变形为:,从而得到等式左右的结构均为的形式,且括号内的数间隔为1.∴.∵为偶函数,∴,由可得,进而答案:A
练习:函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是______．
【答案】2043231
【解析】试题分析:∵,∴,由题意,∴,．
考点:抽象函数．
例4:设,则|“”是“”的(　　)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件　
D.
既不充要又不必要条件
思路:观察可发现其同构的特点,∴将这种结构设为函数,分析其单调性.可得为增函数.∴,即,∴是充要条件,答案:C
练习:已知,且,设,,试比较,的大小.
【分析】思路一:作差、作商是大小比较的常用方法；思路二:注意到,的结构完全相同,故也可构造函数,利用函数的单调性解决.
【解法一】(作差法).
①当时,
∵,∴,即；∴,即.故,即.
②当时,
∵,∴,即；∴,即.故,即.
综上,.
【解法二】(作商法),讨论方法同上(略).
【解法二】(构造函数)设,易知是偶函数,再根据对称性,不妨设,下面讨论当,时函数的单调性.
令,则,易知在单增
由复合函数单调性知:函数在单增,∵,∴,即.
例5:(2020·新课标卷Ⅱ文数·12)若,则(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将已知按照“左右形式形式相当,一边一个变量”的目的变形,然后逆用函数的单调性.
【解析】由移项变形为
设
,∵、单增,易知是定义在R上的增函数,故由,可得,∴
从而,故选A．
练习:如果,那么的取值范围是________
思路:本题很难直接去解不等式,观察式子特点可发现若将关于的项分居在不等号两侧:,则左右呈现同构的特点,将相同的结构设为函数,能够判断是奇函数且单调递增.∴不等式等价于,即,∴,结合,可得,答案:
例6:若,则(
)
A.
B.
C.
D.
答案:C
思路:本题从选项出发可发现,每个选项通过不等式变形将分居在不等式两侧后都具备同构的特点,
∴考虑将相同的形式构造为函数,从而只需判断函数在的单调性即可
解:
A选项:,设
,设,则有恒成立,∴在单调递增,∴,从而存在,使得,由单调性可判断出:
,∴在不单调,不等式不会恒成立
B选项:,设可知单调递增.∴应该,B错误
C选项:,构造函数,,则在恒成立.∴在单调递减,∴成立
D选项:,同样构造,由C选项分析可知D错误,答案:C
练习:(2020·河南高三三模)设,则的大小关系是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设,则,当时,,故
在为减函数,
,,则,故；
又,,即,故,．故选:．
例7:已知函数,为正常数,若,且对任意,都有,求的取值范围．
思路:观察到已知不等式为轮换对称式,∴考虑定序以便于化简,令,则不等式变形为,将相同变量放置一侧,可发现左右具备同构特点,∴将相同结构视为函数,从而由且可知只需为增函数即可.从而只需不等式恒成立即可,从而求出的范围
解:,不妨设,则恒成立不等式转化为:
设,则由恒成立和可得:
只需在单调递增即可恒成立
即恒成立
∴只需
令
在单调递减,在单调递增
练习:已知函数，其中.
(1)若的图象与直线有唯一交点，求的值；
(2)若对任意，且，都有，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)化简得到，设，求导得到单调性，画出函数图像，根据图像得到答案.
(2)单调递增，不妨设，化简得到，故函数在上单调递减，计算得到答案.
【详解】(1)，即，当时不成立，故，
，设，则，故函数在上单调递减，在上单调减，在上单调递增，且，画出函数图像，如图所示：根据图像知.
(2)恒成立，故函数单调递增，不妨设，
则，即，
即，故函数在上单调递减.
，故，
在上单调递减.故，故.
【点睛】本题考查了根据切线求参数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
点评:
进入高中数学学习之后,在幂函数、指数函数、对数函数的学习过程中,为了比较幂值的大小,同底的构造指数函数、同指的构造幂函数,对数值大小比较也如此.究其实质,都是找到数式中的“结构”相同之处,将变数视为“变量”,从而构造出函数.这是我们首次接触利用构造函数,然后利用函数的单调性解题,应与好好把握、体会数学之精妙神奇！
【巩固练习】
1.(2020·新课标Ⅰ理数·12)若,则(
)
A.
B.
C.
D.
2.若
(其中),则(
)
A．
B．
C．
D．
3.(2012·辽宁竞赛)不等式的解集是______________.
4.已知实数a,b(0,2),且满足,则a＋b的值为_______．
5.已知函数,,则t的取值范围是
．
6．已知，函数.
(1)若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直,
求的值；
(2)设,若对任意的,且,都有，求的取值范围．
7．已知函数．
(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；
(2)若对任意，都有，求的取值范围．
【答案与提示】
1.
【答案】B
【分析】方程中出现两个变量,往“一边一个变量,左右结构相同”方向变形,这里右化左.∵,∴原方程即为,设,利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【解析】∵
∴,故
设,则为增函数,
∴,∴.
,
当时,,此时,有
当时,,此时,有,∴C、D错误.故选B.
2.【答案】D
【解析】由移项变形为
设
(),易知是定义在(0,+∞)上的减函数,
即,可得,故．
3.【答案】
【解析】原不等式可化为:
构造函数,∵、均单增,故在上单增
∴,解之得,∴原不等式解集是.
4.
【答案】2
【分析】将化为:,设,则在上递增,由,得a＋b的值.
【解析】由,化简为:,即,
设,则在上递增,∵a,b(0,2),∴2-b(0,2),
且,∴,即.
5.【答案】
【分析】这里
可以发现,将移项变形为,易知是奇函数,,故进一步变形为,此时,得到一个“左右形式相当,一边一个变量”的不等式,令,问题转化为,只需研究的单调性,逆用该函数的单调性即可.
【解析】∵
∴可变形为:
∵是奇函数
∴
∴
令,
∵、、均单增,∴单增
∴,即,解之得,∴t的取值范围是．
6.【答案】(１),或；(２)．
【详解】试题分析：(１)由得可得的值，由在上得，则在上可得等式，求得的值；(２)本题可转化为在上是增函数，求转化为一元二次不等式恒成立问题，可得的取值范围．
试题解析：(1),依题意有
,且,可得,解得,或.
(2).不妨设,
等价于.设,则对任意的,且,
都有,等价于在上是增函数.
,可得,依题意有,
对任意,
有恒成立.
由,可得.
考点：导数的几何意义；构造函数．
7.【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：(1)由曲线在处的切线与轴垂直，可得，，再求出的导函数可得在上单调递减，所以(2)，等价于函数在上单调递减，即在上恒成立，再利用导数研究函数的单调性，求出的最大值即可的结果.
试题解析：(1)由，得，，
令，则，可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以．
(2)由题可知函数在上单调递减，
从而在上恒成立，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递减，则；
当时，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则
，即，
通过求函数的导数可知它在上单调递增，故．综上，，即的取值范围是．
【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及研究函数的单调性，属于难题.
应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)
已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)
己知斜率求切点参数，即解方程；(3)
巳知切线过某点(不是切点)
求切点,
设出切点利用求解.
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1第一章·语法
函数的同构
一、基础知识:
1、同构式:是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用:
(1)在方程中的应用:如果方程和呈现同构特征,则可视为方程的两个根
(2)在不等式中的应用:如果不等式的两侧呈现同构特征,则可将相同的结构构造为一个函数,进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式
二、方法点拨
1、能够识别出、或适当变形后得到已知中出现的“两个变量”,然后利用同构,构造出一个函数,最后利用函数的性质解题；
2、构造函数的策略是:左右形式相当,一边一个变量,取左或取右,构造函数妥当.
【典型例题】
例1:(2015天津十二校联考)设,满足
,则(
)
A.
B.
C.
D.
练习:已知:定义在上的可导函数的图象关于点对称的充要条件是导函数的图象关于直线对称.任给实数,满足,,则(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
例2:若函数在区间上的值域为,则实数的取值范围是____
练习:已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若函数在区间上的值域为,求,的值.
例3:已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是(
)
A.
B.
C.
D.
练习:函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是______．
例4:设,则|“”是“”的(　　)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件　
D.
既不充要又不必要条件
练习:已知,且,设,,试比较,的大小.
例5:(2020·新课标卷Ⅱ文数·12)若,则(
)
A．
B．
C．
D．
练习:如果,那么的取值范围是________
例6:若,则(
)
A.
B.
C.
D.
练习:(2020·河南高三三模)设,则的大小关系是(
)
A．
B．
C．
D．
例7:已知函数,为正常数,若,且对任意,都有,求的取值范围．
练习:已知函数，其中.
(1)若的图象与直线有唯一交点，求的值；
(2)若对任意，且，都有，求的取值范围.
【巩固练习】
1.若,则(
)
A.
B.
C.
D.
2.若
(其中),则(
)
A．
B．
C．
D．
3.不等式的解集是______________.
4.已知实数a,b(0,2),且满足,则a＋b的值为_______．
5.已知函数,,则t的取值范围是
．
6．已知，函数.
(1)若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直,
求的值；
(2)设,若对任意的,且,都有，求的取值范围．
7．已知函数．
(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；
(2)若对任意，都有，求的取值范围．
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