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第二章机械振动
第1节简谐运动
【素养目标】
1.知道什么是弹簧振子,领会弹簧振子是理想化模型。
2.通过观察和分析,理解简谐运动的位移—时间图象是一条正弦曲线。
3.经历对简谐运动的运动学特征的探究过程,加深领悟用图象描绘运动的方法。
【必备知识】
一、弹簧振子
1．机械振动
(1)定义：物体在某一位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。
(2)特点：①物体振动时有一中心位置，这一位置叫做平衡位置，是振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置，在此位置物体在振动方向上的合力为零；
②物体(或物体的一部分)在中心位置两侧做往复运动；
③物体运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线。
弹簧振子:把一个有孔的小球装在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球穿在光滑的杆上,能够自由滑动,两者之间的摩擦可以忽略,弹簧的质量与小球相比也可以忽略。把小球拉离平衡位置后放开,小球便做机械振动,这样的系统称为弹簧振子。弹簧振子不一定水平放置，例如竖直悬挂的弹簧振子。
水平弹簧振子
竖直弹簧振子　　
3、平衡位置:做往复运动的物体原来静止时的位置叫作平衡位置。
（1）平衡位置的判断方法：振动系统不振动时，振子处于平衡状态时所处的位置为平衡位置。
（2）弹簧振子的平衡位置不一定在弹簧的原长位置。如竖直的弹簧振子，其平衡位置在弹力和重力的合力为0的位置，此时弹簧的伸长量
4、弹簧振子的位移—时间图象
(1)如何得到弹簧振子的位移—时间图象
①建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点，沿运动方向和垂直于运动方向建立坐标轴。规定小球在平衡位置一侧时，位移为正，在平衡位置另一侧时，位移为负。
②绘制图象：用频闪照相的方法来显示振子在不同时刻的位置。得到如图所示的图象。
③分析：因为照相底片从下向上匀速运动，底片运动的距离与时间成正比。因此，可用底片运动的距离代表时间轴。振子的频闪照片反映了不同时刻，振子离开平衡位置的位移。也就是位移随时间变化的规律。
(2)位移的变化
振子的运动
A→O
O→A′
A′→O
O→A
对O点位移的方向
向右
向左
向左
向右
位移大小如何变化
减小
增大
减小
增大
(3)图象的含义：反映了振动物体相对平衡位置的位移随时间的变化规律，弹簧振子的位移—时间图象是一个正(余)弦函数图象。
二、简谐运动
(1)简谐运动的概念：如果质点的位移与时间的关系遵循正弦函数的规律，即它的振动图象是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
(2)简谐运动的特点：简谐运动是最基本、最简单的振动。
(3)简谐运动的性质：简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，应为变力作用下的非匀变速运动。
(5)可以从简谐运动图像获取的信息——任意时刻物体的位移大小和方向
①定义：振动位移以平衡位置为起点，所以在振动图象上，振动位移可用从平衡位置指向振子所在位置的有向线段表示，方向为从平衡位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离。
②位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在的位置坐标来表示。
可以从简谐运动图像获取的信息——任意时刻物体的运动方向
①速度的理解：如图所示，在x坐标轴上，设O点为平衡位置，A、B为位移最大处，根据弹簧振子的位移—时间图象，由于斜率表示速度，因此可知，在O点速度最大，在A、B两点速度为零。
②速度的物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称为“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
【点睛】从振动图象分析速度的方法
(1)从振动位移变化情况分析：如图所示，例如欲确定质点在t1时刻的速度方向，取大于t1一小段时间的另一时刻t1′，并使t1′－t1极小，由质点t1′时刻的位置P1′(t1′，x1′)，可知x1′＜x1，即P1′位于P1的下方，也就是经过很短的时间，质点的位移将减小，说明t1时刻质点的速度方向沿x轴的负方向。同理可判定t2时刻质点也沿x轴负方向运动，正在离开平衡位置向负最大位移处运动。
若|x1|＜|x2|，由简谐运动的对称特点，还可判断t1和t2时刻对应的速度大小关系为v1＞v2。
(2)从图线斜率分析：图象上某点切线斜率为正，速度方向为正方向，图象上某点切线斜率为负，速度方向为负方向，斜率的绝对值表示速度大小。斜率大，速度大。
【点睛】判断物体做简谐运动的方法
简谐运动的位移随时间按正弦规律变化。判断物体是否做简谐运动，可以从运动学方面和力学方面分析。从力学方面判断的方法将在第3节讨论，本节从运动学方面定性分析。具体步骤如下：
(1)分析物体的运动状态。
(2)分析位移随时间的变化规律。
(3)若位移随时间按正弦规律变化，则物体做简谐运动。
另外简谐运动具有重复性的运动轨迹，若轨迹不重复，则一定不是简谐运动。
【课堂检测】
1.如图甲所示弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。规定水平向右为正方向，图乙是弹簧振子的简谐运动图像，由图可知，下列说法正确的是（??
）
A.?t=0s时刻振子从B点释放
B.?弹簧振子的振幅是0.2m
C.?弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
D.?简谐运动图像中的P点速度方向与加速度方向都沿正方向
【答案】
A
【解析】A．根据乙图可知，t=0s时刻振子处于正方向最大位移处，所以t=0s时刻振子从B点释放，A符合题意；
B．根据乙图可知，弹簧振子的振幅是0.1m，B不符合题意；
C．弹簧振子从B点再次回到B点为一次全振动，从B点经过O点再运动到C点为0.5次全振动，C不符合题意；
D．据乙图可知，此时刻P点振子正在沿负方向做减速运动，速度方向为负，加速度方向为正，D不符合题意。
故答案为：A。
【分析】利用图像初始位置可以判别振子开始运动的位置；利用图像可以得出振幅的大小；振子从B再次回到B位置为一次全振动；P的速度方向沿负方向。
2.如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量．当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中(??
)．
A.?甲的振幅大于乙的振幅
B.?甲的振幅小于乙的振幅
C.?甲的最大速度小于乙的最大速度
D.?甲的最大速度大于乙的最大速度
【答案】
C
【解析】两根完全相同的弹簧，受到相同的力作用，则伸长量相同，AB不符合题意；当振子速度最大时，弹性势能转化为动能，则质量大的，最大速度小，C符合题意．
故答案为：C
【分析】利用弹力大小相等可以判别形变量大小相等；利用弹性势能转化为动能可以比较速度的大小。
【素养作业】
1.某质点运动的位移随时间变化的关系式为
x
=
sin
t
（m），则下列说法正确的是（??
）
A.?质点做曲线运动
B.?在
t=2ps
时质点的速度最大
C.?在
t=2s
时质点的速度最大
D.?在
t=2s
时质点的加速度最大
【答案】
C
【解析】A．x-t关系式中位移x只能取正、负两个方向，所以只能描述质点的直线运动，A不符合题意；
BCD．根据关系式可知质点做简谐运动，振动周期为
所以t=2s时质点恰好位于平衡位置，速度最大，加速度为零；t=2πs时质点既不在最大位移处也不在平衡位置处，加速度和速度均不是最大值，BD不符合题意，C符合题意。
故答案为：C。
2.一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1sin（2.5πt）m，则（??
）
A.?弹簧振子的振幅为0.2m
B.?弹簧振子的周期为1.25s
C.?在t=0.2s时，振子的运动速度为零
D.?在任意0.2s时间内，振子通过的路程均为0.1m
【答案】
C
【解析】A．根据弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式y=0.1sin（2.5πt）m可知弹簧振子的振幅为0.1m，A不符合题意；
B．由ω=
=2.5π
可知，弹簧振子的周期T=0.8s，B不符合题意；
C．在t=0.2s时，振子的位移最大，运动速度为零，C符合题意；
D．在任意0.2s时间内，可知时间为
，则只有振子在平衡位置或最大位移处振子通过的路程才为0.1m，D不符合题意。
故答案为：C。
3.如图，O点为弹簧振子的平衡位置，小球在B、C间做无摩擦的往复运动．若小球从C点第一次运动到O点历时0.1s，则小球振动的周期为（??
）
A.?0.1s??????????????????????????????????????B.?0.2s??????????????????????????????????????C.?0.3s??????????????????????????????????????D.?0.4s
【答案】
D
【解析】振子从C点第一次运动到O点的时间为0.1s，对应的时间为一个周期的
，故该弹簧振子的周期为0.4s，D符合题意．
故答案为：D
4.物体做简谐运动，振幅为0.4cm，周期为0.5s，计时开始时具有正向最大加速度，它的位移公式是（??
）
A.?
B.?
C.?
D.?
【答案】
B
【解析】由题意，
时，振子具有正向最大加速度，说明此时振子的位移是负向最大，在简谐振动的位移公式
中，有
，
故位移公式为
故答案为：B。
5.高二年级某同学在天鹅湖中投入一颗小石块激起一列水波，该同学发现湖中有两片小树叶在做上下振动，当一片树叶在波峰时恰好另一片树叶在波谷，两树叶之间还有2个波峰，用手机测量两树叶间水面距离是5m，再通过手机计时发现两树叶在1min内都上下振动了120次。则下列说法正确的是（??
）
A.?该列水波的波速是4.0m/s
B.?该列水波的频率是120Hz
C.?该列水波的波长是2.5m
D.?两片树叶的振动方向有可能相同
【答案】
A
【解析】A．根据
则该列水波的波速是4.0m/s，所以A符合题意；
B．两树叶在1min内都上下振动了120次，则树叶的振动周期为
树叶振动的频率为
该列水波的频率是2Hz，所以B不符合题意；
C．当一片树叶在波峰时恰好另一片树叶在波谷，两树叶之间还有2个波峰，用手机测量两树叶间水面距离是5m，则有
解得
则该列水波的波长是2m，所以C不符合题意；
D．两片树叶的振动方向有相反，所以D不符合题意；
故答案为：A。
6.关于机械振动相关的描述，下列说法正确的是（??
）
A.?单摆的周期随摆球质量的增大而减小
B.?只有发生共振时，受迫振动的频率才等于驱动力的频率
C.?单摆运动到平衡位置时，速度最大，回复力为零，合力也为零
D.?水平放置的弹簧振子做简谐振动时的能量等于在平衡位置时振子的动能
【答案】
D
【解析】A．根据单摆周期公式
知单摆的周期和摆球质量无关。A不符合题意；
B．受迫振动的频率一定等于驱动力的频率。B不符合题意；
C．单摆运动到平衡位置时，速度最大，回复力为零，由于单摆做圆周运动，所以合力不为零。C不符合题意；
D．在平衡位置，弹性势能为零，所以振动能量等于振子的动能。弹簧振子做简谐振动时机械能守恒，所以水平放置的弹簧振子做简谐振动时的能量等于在平衡位置时振子的动能。D符合题意。
故答案为：D。
7.若物体做简谐运动，则下列说法中正确的是
(??
)
A.?若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B.?物体通过平衡位置时，所受合力为零，回复力为零，处于平衡状态
C.?物体每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
D.?物体的位移增大时，动能增加，势能减少
【答案】
C
【解析】一弹簧振子作简谐运动，若位移为负值，则速度不一定为正值，加速度一定为正值、振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最小、振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度不一定相同因为方向可能相反．位移增大时，恢复力做负功，动能减小，势能增大，ABD不符合题意；
故答案为：C
8.如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离
，释放后振子在AB间振动。设AB=20cm，振子由A到B时间为0.1s，则下列说法正确的是（??
）
A.?振子的振幅为20cm，周期为0.2s
B.?振子在A，B两处受到的回复力分别为
与
C.?振子在A，B两处受到的回复力大小都是
D.?振子一次全振动通过的路程是20cm
【答案】
C
【解析】A．AB间距离为20cm，故振幅为10cm，A不符合题意；
BC．根据F=-kx可知在AB两处回复力大小都为k?x，B不符合题意，C符合题意；
D．振子完成一次全振动经过的路程为40cm，D不符合题意。
故答案为：C。

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