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高三数学复习中的“段氏武功”
金庸在《天龙八部》中描写了一个人物——段誉，其人在有意无意间学会了几种独步天下的武功：
六脉神剑——乃大理段氏一脉中的最高武学，由大理开国皇帝段思平所创。所谓六脉神剑，是指含于指尖的内力隔空激发，犹如一柄无形神剑穿过，有质无形，锋锐无伦。无论是横扫或虚指，均可伤敌。
　　北冥神功——可以吸取他人的内力以供己用，是迅速提升功力的捷径。内力既厚，天下武功无不为我所用，犹如北冥，大舟小舟无不载，大鱼小鱼无不容。“北冥有鱼，其名为鲲，鲲之大，不知其几千里也……”，能够容纳几千里的大鱼必定是非常广阔的海洋，因而北冥神功正是寓含了广大恢宏之意，也体现了神功的威力。此功，内力为本，招数为末。
凌波微步——凌波微步是逍遥派的独门轻功步法，以易经八八六十四卦为基础，使用者按特定顺序踏着卦象方位行进，从第一步到最后一步正好行走一个大圈。此步法精妙异常，习者可以用来躲避众多敌人的进攻。说是天下第一轻功亦不为过。
抗毒体质——无量山下，误服万毒之王－莽牯朱蛤，万毒不侵。
今天我想向各位专家汇报的是在高三数学复习中的四招“段氏武功”
“北冥神功”——做老师必须修练内功！
“六脉神剑”——课堂教学的无形气剑！
“凌波微步”——应试做卷的基本步法！
“抗毒体质”——引导考生要百毒不侵！
“北冥神功”——做老师必须修练内功！
做老师必须修练内功，这是基本常识；高三老师勤修内功，这是共识；作为还有20天就要高考的高三老师精修内功，我以为这更是“必须”的。因为只有这样我们才能游刃有余、信手拈来，才能有资格陪着你的学生走过刻骨铭心的20天，才能带领学生们走向高考！
何为内功？
理清知识考点，再学《考试说明》；
研究模考试题，再探命题思路；
了解学生学情，再调授课策略。
对于后两方面后面要谈，此处就“理清知识考点，再学《考试说明》”先说说：
理清知识考点，再学《考试说明》：
毫无疑问，《考试说明》给我们指明了高考“考什么？”“怎么考？”和“考多难？”三个问题。因此，须理清《考试说明》中所列考点，同时做到每个考点的考查要求属于哪个层次？考查这些考点的常见题型有那些？
了解（A级）：40个，必做题部分29个，附加题部分11个.
理解（B级）：72个，必做题部分36个，附加题部分36个.
掌握（C级）：8个，必做题部分8个.
作力点在B或C.
观点1：高考命题为前后接轨而求新，也必然为前后接轨而守旧.
和谐稳定是必然，高考试题呈现给我们的很多基础题是够基础的，比较下来是可以找到规律的.
2011年数学高考绝大部分家长和考生都是非常开心的，但比较2010年与2011年的江苏数学卷到底谁好谁差见仁见智.
高考试题中知识呈现的方式改变，但所考查的知识和方法来源于课本和平时的复习.
观点2：真正的高考好题靠的是超常规思维来识别考生.
高质量的试卷不在于用偏僻知识点、新知识点来识别学生，人为制造区分度；而是靠熟题新意、旧瓶新酒，靠常考点和热点中的超常规思维来识别考生.
困难面前找知识本质，复杂背影下抓思想方法.
观点3：主干内容重点考；数学概念深入考；知识网络并联考.
八大主干知识板块要重点关注：函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、解析几何、立体几何、导数及应用.
非重点知识非重点考查，切忌拔高；比如：常用逻辑、算法初步、复数、推理与证明等.
注重每个知识点的题型，注重每个思维的细节.
比如：立体几何题型：线面平行与垂直；面面垂直与平行；角与距离的求解；表面积与体积.
再比如：已知函数，．
（I）证明：当时，在上是增函数；
（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在上是减函数；
（III）证明：．
“六脉神剑”——课堂教学的无形气剑！
课堂教学：指在一定教育思想（大多是校长的“教育思想”）指导下，建立在丰富的教学经验基础上的，为完成教学目标和内容而形成的比较稳定，且具体可操作的课堂活动.
高考复习必须讲效果，也必须讲效率.高三复习课不同于新课，尤其到了仅剩下20天这个档口，学生“有”问题可提,有问题“要”提,也“会”提问题了.以问题为中心的课堂教学，以解决每一个学生的学习问题为宗旨,从提问题开始,循问题而进,到解决问题结束.
我认为，这就是课堂教学的“六脉神剑”，有质无形，锋锐无伦！
观点1：讲得多≠掌握多；难度大≠能力高；技巧强≠解法好；时间多≠收益大.
学生的话：告诉我，我可能会忘记；分析给我听，我可能记住；让我参与，我会真正理解。
有鉴于此，我认为：
第一：课堂教学一定要有学生的参与；
第二：不要过于追求技巧性太强的解法；（技巧性太强的解法，会让学生产生自卑感，感觉自己怎么这么笨，这么简单的方法我怎么想不到的呢？）
第三：提高单位时间的利用率，不搞疲劳战.（现在的数学课时较多，未必讲全所有的时间，“留白”未必是浪费！）
观点2：时间是不可再生资源！
珍惜考前的每一分钟，说好考前的每一句话，讲好考前的每一节课，设计好考前的每一道题。
必须精心设计每一节课，杜绝教学的随意性（与课堂生成不是同一个概念）.随意性的教学只能是简单的劳动，只能是重复的劳动，只能是无效的劳动.随意性的教学会使你永远觉得时间不够，永远有东西可讲.随意性的教学必然是教师的付出与学生的收入不匹配，教师累，学生苦，效果差.
观点3：两种课型（专题课、讲评课）各有侧重，不可同日而语.
专题课：讲重点、讲难点，讲通性通法，引导学生把知识横向推广，纵向引伸，以题论法，变式探索，深化提高。讲出思维的过程，讲出题目的价值，注意知识的梳理，有条理、有系统，过后，能让学生头脑中有一条清晰的主线.
专题课选题策略：例题“精选”、“精讲”，习题“精练”、“精评”（上本子的作业）.
讲评课：过去曾有“三讲三不讲”，当然对“三讲三不讲”两个不同的解释：
一是潍坊教科院的“三讲三不讲”，即讲学生提出的问题，讲学生不理解自己讨论解决不了的问题，讲知识缺陷和易混易错的知识；学生不订正不讲，学生没问题不讲，有问题学生不研究不讲。
二是无从考出自何处的但流传较广的：讲重点、讲难点、讲易错易混知识点；学生已经会的不讲、学生通过自主研讨能会的不讲、老师讲了学生也不会的不讲。我比较倾向于第一种的，因为第二种的“三讲”中的前两讲“讲重点、讲难点”提得不准确，重点、难点知识难道学生自己学不会吗？非要讲吗？再是这二讲也不是从学生实际出发，有对学生灌输的嫌疑。两种“三不讲”提得真好，第一种是从学生的自主学习能力方面提出的，第二种是从学生的知识能力方面提出的，都有很好的借鉴作用。
当然，有几个问题还是值得思考的：“前几题”讲不讲？出错率低的题讲不讲？要不要讲“一题多解”？
问题之一：“前几题”讲不讲？
比如：若，则 .
思路1：或或，
得，
合并，
检验，为所求.
分析：并列着两个条件：
其一，是三者之一，数学含义是方程或或；
其二，由集合元素的互异性知且.
思路2：两者结合应为，或无解，或无解.
再比如：函数的最大值与最小值之和为 .
思路1：求导求最值.
且不说其繁难程度如何了，其间出现的含有的超越方程就几乎无法解出.（“二分法”及电脑画图法除外！）
思路2：是奇函数，
奇函数的最大值与最小值之和为0，
于是心算就可以得出2.
小结：前几题有些还是要讲的，应为以什么样的思维方式进入答题状态，将直接影响水平的发挥.
问题之二：出错率低的题讲不讲？
比如：已知、均为锐角，且，则 .
学生拿到题，奋笔疾书，看谁写得快，得以下解法：
解法1：由得
，
整理得，
由于、均为锐角，所以，
所以，即.
此解法纯粹体力劳动，浪费时间.如果结合诱导公式考虑，可有如下解法：
解法2：由得
，即，
从而.
再比如：如果，那么的取值范围是 .
思路1：变形为
即，
因为，所以，
故的取值范围是.
思路2：函数是增函数，由得.
思路3：不等式两边异号，需且只需.
小结：有人做过简单统计，一套高考数学试卷的文字量，通常在2000个字符，一般情况下，考生每分钟能阅读300~400个字符，阅完一套试卷大约需要花费5~7分钟，考虑到有些题目冷僻晦涩，需要反复阅读、多次体悟才有可能断明题意，实际阅读一套数学试卷需要12分钟左右.
书写一套试卷的答案大约需要3000个字符，以每分钟书写150个字符算，大约需要20分钟.
于是，留给学生的探究思考、发现思路、估算精算、文字组织、复查检验的时间大约88分钟，20道题，加上大题中小问，一般的有28~30个问题（2008年29个；2009年32个；2010年28个；2011年27个），学生解答每个问题的平均时间只有3分钟，所以教会学生快速找到“切入点”是我们讲评试卷的重头戏！
问题之三：要不要讲“一题多解”？
很多老师讲评试卷时总要给出不同的解法，以为方法多学生选择的余地就大，这其实是认识上的一个误区.
我们发现越是考过讲过的题往往做得越差，对此老师们常常概叹“只要把我讲过的掌握了，就能考得很好啊！”学生也后悔不已，这题这么多解法老师都讲过，我也都听懂了，怎么在考场上就想不到呢？
所以，讲评试卷要针对学生的特点，讲最适合学生的解法，讲学生最适合学生的方法，而不是各种解法.无数事例说明，什么都讲等于什么都不讲.
比如立体几何题，一般有三种解法，即传统解法、向量解法、空间直角坐标系.
“凌波微步”——解题的基本步法！
凌波微步——凌波微步是逍遥派的独门轻功步法，以易经八八六十四卦为基础，使用者按特定顺序踏着卦象方位行进，从第一步到最后一步正好行走一个大圈.此步法精妙异常，习者可以用来躲避众多敌人的进攻.说是天下第一轻功亦不为过.
观点1：不做则已，做必到位；泛泛而做，不如不做；质量优先，以质求量；正确无误　快速规范。　
减少练习数量，增加思维时间；减少统一标准，增加弹性空间。（对不同层次的学生提出不同的要求。）
每周定时、定量规范地完成一套专题训练和一套模拟试卷，一是训练学生的答题程序、书写速度、解题思路与技巧及应试心理素质。二是巩固本周所讲的内容，提升能力。
观点2：作业或试卷批改的三种形式——“教师精批”、“学生互改”、“二次批改”
（1）“教师精批”是指教师对学生的逐一批改，对不同学生的作业进行评价；关注中下等生，寻找错误原因
（2）“学生互改”是指教师讲解作业的含义及分步的标准答案后，学生交换作业，互相批改；
（3）“二次批改” 由于评讲的面和讲评针对的不同，需要通过二次订正来强化学生的认知。二次批改必然会加重教师的工作负担，所以有时可采用抽查的形式。对于需要重点辅导的学生进行面批，边面批，边进行辅导。
观点3：巧妙运用解题策略于分段得分。
有人说学习是艺术，但考试只是技术，是有法可循的。
分段得分的法定依据是高考“分段评分”；分段得分的基本内容是防止“分段扣分”，争取“分段给分”；分段得分的总体功能是：进可全题解决，退可分段得分.
分段得分的主要技术：分解分步—缺步解答；引理思想—跳步解答；以退求进—退步解答；正难则反—倒步解答；扫清外围—辅助解答.
观点4：多用“诗行短句”答题，少用“散文大段”描写.
多用“诗行短句”答题，这是著名特级教师万尔遐老师的建议.
万尔遐小传：湖北省孝感市人，北京师范大学数学系毕业。
特级教师，享受国务院政府特殊津贴的教育专家，中国数学会普及教育工作会员.
湖北省孝感市文昌中学教学校长，北京师范大学教育科学研究所课改专题研究员.
早年以“分层教学法”在因材施教上取得成功，而成为学生和家长“喜欢的教师”.
擅长编写启发性、趣味性强的学生读物.
参加了《中学数学》、《中学生语数外》、《数理天地》等杂志社的创刊工作，同时主持有关专栏的编辑工作长达20年之久.
中学任教38年，跟踪高考29年.
曾参加全国高考命题工作，是“出活题、考基础、考能力”的倡导者.
现工作单位：北京教育出版社恒谦教育研究院.
老师们在阅卷时，常常是拿着“答点”（得分点）在考卷上寻找相关的句段，在相关的句段上寻找“把关”的符号、表达式等结论.为了使阅卷老师能迅速看清答点，建议数学答案的行文写成“诗行短句”，不要写成“散文大段”.
“诗行短句”容易显示“答点”，而“散文大段”容易“淹没”答点.
“抗毒体质”——引导学生要百毒不侵！
观点1：成功经验的准备，失败更是经验的准备.
　 解题具有实践性与探索性的特征，基础知识要通过解题实践来消化，思维素质要通过解题实践来优化，解题方法要通过解题实践来强化．在解题实践中，既会有成功又会有失败，这两方面的积累，都能形成有长久保留价值或借鉴作用的经验．
　　所谓解题经验，就是某些数学知识、某些解题方法与某些条件的有序组合，成功是一种有效的有序组合，失败也向我们从反面提供有效的有序组合．成功经验所获得的有序组合，就好像是建筑上的预制构件（或称为思维组块），遇到合适的场合，可以原封不动地把它用上（模式识别）．一个人解题所做的脑力工作就在于回忆起经验中用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来．
弗里德曼在《怎样学会解数学题》中认为“如果我们着手解答一道习题，那么，第一件事就想知道：这是道什么题？它是什么形式，属于哪种类型？换句话说，就是需要识别给定习题的类型．”
这就需要平时积累经验与类型．怎么积累呢？
弗里德曼在“致读者”中分析学生解了大量的题但还“不开窍”时指出：“这些学生没有在应有的程度上分析所解的习题，不能从中分析出解题的一般方式和方法，解题常常只是为了得个答案”．
这就指出了一个途径：通过解题过程的分析来积累经验与类型．
波利亚也说：“如果你希望从自己的努力中，取得最大的收获，就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征”（《数学的发现》序言）．
解题中，“一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识．”（《怎样解题》）
　　解题经验的积累，有利于解题念头的诱发，有助于直觉性题感的形成．题感指的是人们对问题的总体性的感受，它是思维定势正迁移的一种潜在表现，实质是一种数学观念、数学意识，常体现为解题中的整体把握和成功思路的预感、预测与预见．如像学外语的“语感”，学音乐的“乐感”．
中学生的解题积累，基本上就是课本上的学习积累，因此，每节课你收获了什么？每次作业或练习获得了什么？我不要求我的学生有《错题本》，但我要求有《心得本》！
因为《错题本》仅仅积累了失败的经验，《心得本》既积累了失败的经验，还积累了成功的经验，有时成功的经验比失败的经验更能让人赏心悦目！
观点2：最后20天心理的准备比知识的准备更重要.
解题的心理过程是在问题的条件及结论的启发下，激活记忆网络中的一些知识点，然后沿接线向外扩散，依次激活新的有关知识，同时，要对被激活的知识进行筛选、组织、评价、再认识和转换，使之协调起来，直到条件与结论之间的线索接通，建立起逻辑演绎关系．
这里主要是指良好的心理素质，如动机、兴趣、抱负、态度、品德、意志等．这些非智力因素对于解题的作用，与它对于发明发现的作用是一样的．我们说，学生学习数学只有通过自身的情感体验，树立坚定的信心，才能是成功的．
波利亚也说：“认为解题纯粹是一种智能活动是错误的；决心与情绪所起的作用很重要．”
他强调说：“教学生解题是意志的教育．当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待主要的念头，学会了当主要念头出现后全力以赴．如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了．”（《怎样解题》）
　　我认为，如果同学们在我的课程中，不能尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么，你们最好劝我去干点别的营生，别在这里误人子弟了．
各位老师：对于袁亚良主任和曹瑞彬秘书长所交给的任务，这能以此方式胡乱交差，既不成体系，又没有理论支撑，个别地方还借鉴了其他老师的做法和说法.但是，不论怎么说我是花了时间思考的.如有不当，欢迎指教.

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