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2.3
二次函数与一元二次方程、不等式
一、三个“二次”的关系
1.一元二次不等式或的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
2.解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：
（2）计算判别式，分析不等式的解的情况：
①时，求根（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；
③时，方程无解
（3）写出解集.
若，可以转化为的情形解决.
【总结升华】①在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件的理论依据:
ax2+bx+c>0对任何xR恒成立a>0且Δ=b2-4ac<0；
ax2+bx+c<0对任何xR恒成立a<0且Δ=b2-4ac<0.
②与不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的最值命题：
μ＜f(x)恒成立μ＜f(x)的最小值
μ＞f(x)恒成立μ＞f(x)的最大值
【题型一】：不等式的求解
【例1】设，，且，求的取值范围．
【解析】令由，及二次函数图象的性质可得
，即，解之得．因此的取值范围是．
【变式训练】：
1.若不等式的解集为(-∞,-1]
∪[2,+
∞）,求实数a的值
【答案】由题设知
x=2为方程f(x)=0的根,
∴f(2)=0a=-2
∴所求实数a=-2
2.不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-1b=________.
【答案】由不等式的解集为{x|-1由根与系数关系得
解得a=-6，b=6.
3.已知关于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围
【答案】.
【例2】若关于的不等式的解集为一切实数R，求的取值范围.
【解析】当时，原不等式为：，不符合题意.
当时，原不等式为一元二次不等式，显然不符合题意
当时，只需，即，解得，
综上，的取值范围为.
【变式训练】：若对于任意XR恒有3x2+2x+2>m（x2+x+1）,求m的值
【解析】对任意xR有3x2+2x+2>m（x2+x+1）恒成立
对任意xR
恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)>0成立
又因mN
，∴m=1
二、高次不等式：
形如不等式(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0（其中x1,
x2,
……,xn是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N).
一元高次不等式解法的基本步骤：（以研究能分解成若干个一次因式积的形式的一元高次不等式为例．）
(1)化成标准形式：(x-x1)(x-x2)…(x-xn)≥0（≤0）；
(2)在序轴（简化的数轴）上标根（n个），将序轴分成n+1个区间；
(3)判断f(x)在这n+1个区间上的正负，从而得解的区间．
这种解法叫做序轴标根法，简称根轴法或序根法等．
要点诠释：作出相应函数的图象草图.具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）.然后根据图象草图，写出满足不等式的解集.
【例3】解不等式：(1)
(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0;
(2)(x2-5x-6)(1-x)>0.
【解析】(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）.
所以不等式的解集为(-∞,-2)(-1,1)(2,+∞).
(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0.作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），
所以解集为(-∞,-1)(1,6).
【总结升华】(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集.
【变式训练】1.解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0.
【解析】此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3，故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+∞).
三、分式不等式
解法的基本步骤：
(1)化成标准形式：或（g(x)是关于x的代数式）；
(2)同解变形为f(x)·g(x)>0或f(x)·g(x)<0；
(3)通过一元高次不等式的求解步骤完成．
解不等式时，一定要注意不等式中未知数允许取值的范围，即不等式的定义域．
利用数形结合解不等式，可以简化解题过程，提高解题速度，特别是选择、填空题中的不等式问题．
【例4】解下列不等式：
(1)≥0；
(2)>1.
【解析】　(1)原不等式等价于即?－2≤x<3.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}．
(2)原不等式可化为－1>0，即<0.等价于(3x－2)(4x－3)<0.
∴∴原不等式的解集为.
【变式训练】1.解下列不等式：
（1）（2）（3）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1），解得或
（2）解得或
（3），解得或
【课后训练】
1.不等式x-x2>0的解集是(　　)
A.(0,1)
B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(-1,0)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
答案A
解析一元二次不等式对应方程的两根为0和1,且抛物线开口向下,所以解集为{x|02.设实数a=,b=-1,c=,则(　　)
A.b>a>c
B.c>b>a
C.a>b>c
D.c>a>b
答案A
解析-1=,∵+1<,
∴,即b>a>c.
3.若a>b,x>y,则下列不等式正确的是(　　)
A.a+x>b+y
B.a-x>b-y
C.ax>by
D.
答案A
解析因为a>b,x>y,根据不等式同向相加性质可得a+x>b+y,A正确,BCD错误.
4.不等式≥0的解集为(　　)
A.{x|-6≤x≤1}
B.{x|x≥1或x≤-6}
C.{x|-6≤x<1}
D.{x|x>1或x≤-6}
答案C
解析不等式≥0等价于解得-6≤x<1.故解集为{x|-6≤x<1}.
5.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机的外观,则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(　　)
A.“屏占比”不变
B.“屏占比”变小
C.“屏占比”变大
D.变化不确定
答案C
解析设升级前“屏占比”为,升级后“屏占比”为(a>b>0,m>0),因为>0,所以该手机“屏占比”和升级前比变大.
6.用不等号填空:
(1)若a>b,则ac2　　　bc2.?
(2)若a+b>0,b<0,则b　　　a.?
(3)若a>b,c答案(1)≥　(2)<　(3)>
解析：(1)因为任何数的平方一定大于或等于0,∴c2≥0.若a>b,则ac2≥bc2.
(2)∵a+b>0,b<0,则a>0,∴b(3)∵c-d.∵a>b,则a-c>b-d.
7.若不等式ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-4,0)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.[0,+∞)
D.(-4,0]
答案C
解析当a=0时,不等式为3>0,满足题意;当a≠0,需满足
解得a>0.
综上可得a≥0.即a的取值范围为[0,+∞).
8.在R上定义运算:x
y=x(1-y),若不等式(x-a)
(x+a)<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.-1B.-C.-D.0答案B
解析根据新定义,可得(x-a)
(x+a)=(x-a)(1-x-a),所以(x-a)
(x+a)<1可化为(x-a)(1-x-a)<1,
即x2-x+(1-a2+a)>0恒成立,
需Δ=1-4(1-a2+a)<0,
解得-9.
若关于的不等式的解集为，则实数=______．
答案为：4．
【解析】关于的不等式即．
再由它的解集为，可得-1和4是的两个实数根，故.
10.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　
.?
答案{x|x<-2或x>3}
解析：根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的草图如图.
由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}.
11.若-≤α<β≤,则的取值范围为　　　　　.?
答案[-,0)
解析∵-≤α<β≤,∴-,-,∴-≤-.∴-,
∵α-β<0,∴<0.故的取值范围为[-,0).
12.已知关于x的不等式ax2-bx-c>0的解集是(-2,1),则不等式cx2-bx-a>0的解集是　　　　　.?
答案：（-1,）
解析由ax2-bx-c>0的解集是(-2,1),可知-2和1是方程ax2-bx-c=0的两根,且a<0.
∴所以cx2-bx-a>0可化为2ax2+ax-a>0,
又a<0,可化为2x2+x-1<0,解得x∈（-1,）.
13.已知三个不等式:①ab>0;②;③bc>ad.以其中两个作条件,余下一个为结论,能组成哪几个正确的不等式命题?
解由②可知>0,∴>0,若③式成立,即bc>ad,则bc-ad>0,∴ab>0,故由②③?①正确;
由①ab>0得>0,不等式bc>ad两边同乘,得,∴,故由①③?②正确;
14.
关于的不等式的解集为，求的解集．
【解析】由题意得：，且
则不等式与不等式组等价．
解得所求不等式解集为。
12.3
二次函数与一元二次方程、不等式
一、三个“二次”的关系
1.一元二次不等式或的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
2.解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：
（2）计算判别式，分析不等式的解的情况：
①时，求根（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；
③时，方程无解
（3）写出解集.
若，可以转化为的情形解决.
【总结升华】
①在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件的理论依据:
ax2+bx+c>0对任何xR恒成立a>0且Δ=b2-4ac<0；
ax2+bx+c<0对任何xR恒成立a<0且Δ=b2-4ac<0.
②与不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的最值命题：
μ＜f(x)恒成立μ＜f(x)的最小值
μ＞f(x)恒成立μ＞f(x)的最大值
【题型一】：不等式的求解
【例1】设，，且，求的取值范围．
【变式训练】：
1.若不等式的解集为(-∞,-1]
∪[2,+
∞）,求实数a的值
2.不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-1b=________.
3.已知关于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围
【例2】若关于的不等式的解集为一切实数R，求的取值范围.
【变式训练】若对于任意XR恒有3x2+2x+2>m（x2+x+1）,求m的值
三、高次不等式：
形如不等式(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0（其中x1,
x2,
……,xn是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N).
一元高次不等式解法的基本步骤：（以研究能分解成若干个一次因式积的形式的一元高次不等式为例．）
(1)化成标准形式：(x-x1)(x-x2)…(x-xn)≥0（≤0）；
(2)在序轴（简化的数轴）上标根（n个），将序轴分成n+1个区间；
(3)判断f(x)在这n+1个区间上的正负，从而得解的区间．
这种解法叫做序轴标根法，简称根轴法或序根法等．
要点诠释：
作出相应函数的图象草图.具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）.然后根据图象草图，写出满足不等式的解集.
【总结升华】(1)解题中首先观察关于x的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集.
【例3】解不等式：(1)
(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0;
(2)(x2-5x-6)(1-x)>0.
【变式训练】：解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0.
四、分式不等式
解法的基本步骤：
(1)化成标准形式：或（g(x)是关于x的代数式）；
(2)同解变形为f(x)·g(x)>0或f(x)·g(x)<0；
(3)通过一元高次不等式的求解步骤完成．
解不等式时，一定要注意不等式中未知数允许取值的范围，即不等式的定义域．
利用数形结合解不等式，可以简化解题过程，提高解题速度，特别是选择、填空题中的不等式问题．
【例4】解下列不等式：
(1)≥0；
(2)>1.
【变式训练】：解下列不等式：
（1）
（2）
（3）
【课后训练】
1．不等式x-x2>0的解集是(　　)
A.(0,1)
B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(-1,0)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
2．设实数a=,b=-1,c=,则(　　)
A.b>a>c
B.c>b>a
C.a>b>c
D.c>a>b
3．若a>b,x>y,则下列不等式正确的是(　　)
A.a+x>b+y
B.a-x>b-y
C.ax>by
D.
4．不等式≥0的解集为(　　)
A.{x|-6≤x≤1}
B.{x|x≥1或x≤-6}
C.{x|-6≤x<1}
D.{x|x>1或x≤-6}
5．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机的外观,则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(　　)
A.“屏占比”不变
B.“屏占比”变小
C.“屏占比”变大
D.变化不确定
6．用不等号填空:
(1)若a>b,则ac2　　　bc2.
(2)若a+b>0,b<0,则b　　　a.?
(3)若a>b,c7．若不等式ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-4,0)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.[0,+∞)
D.(-4,0]
8．在R上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a)(x+a)<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.-1B.-C.-D.09．若关于的不等式的解集为，则实数=______．
10．二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　
.?
11．若-
≤α<β≤,则的取值范围为　　　　　.?
12．已知关于x的不等式ax2-bx-c>0的解集是(-2,1),则不等式cx2-bx-a>0的解集是　　　　　.?
13．已知三个不等式:①ab>0;②;③bc>ad.以其中两个作条件,余下一个为结论,能组成哪几个正确的不等式命题?
14．关于的不等式的解集为，求的解集．
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