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第八讲：随机事件的概率
知识点一、频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例
为事件A出现的频率.
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率.
知识点二、事件的关系与运算
名称
条件
结论
符号表示
包含关系
A发生?B发生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等关系
若B?A且A?B
事件A与事件B相等
A＝B
并(和)
事件
A发生或B发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)
事件
A发生且B发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
A∩B为不可能事件
事件A与事件B互斥
A∩B＝?
对立事件
A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝?，
P(A∪B)＝1
知识点三、概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(F)＝0.
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B).
常用结论：探究概率加法公式的推广
(1)当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
(2)P()＝1－P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(An).注意涉及的各事件要彼此互斥.
例题
例1.1.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是(　　)
A．恰好有1件次品和恰好有2件次品
B．至少有1件次品和全是次品
C．至少有1件正品和至少有1件次品
D．至少有1件次品和全是正品

例1.2.从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是(　　)
A.① B.②④
C.③ D.①③

例1.3.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡

例1.4.一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　)
A．恰有一次击中 B．三次都没击中
C．三次都击中 D．至多击中一次

例2.1.袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，给出下列四组事件：①“恰有1个白球”和“全是白球”；②“至少有1个白球”和“全是黑球”；③“至少有1个白球”和“至少有2个白球”；④“至少有1个白球”和“至少有1个黑球”．在上述每组事件中，互为对立事件的是(　　)
A．① B．② C．②③ D．①④



例2.2.某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：

本科
研究生
合计
35岁以下
40
30
70
35～50岁
27
13
40
50岁以上
8
2
10

现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是(　　)
A．该教职工具有本科学历的概率低于60%
B．该教职工具有研究生学历的概率超过50%
C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%
D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%
例2.3.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
例3.1.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
例3.2.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)



练习
练1.1从6个篮球，2个排球中任选3个球，则下列事件中是必然事件的是(　　)
A．3个都是篮球 B．至少有1个排球
C．3个都是排球 D．至少有1个篮球

练1.2第六届世界互联网大会发布了15项世界互联网领先科技成果，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为的鲲鹏920、特斯拉全自动驾驶芯片、寒武纪云端AI芯片、思元270、赛灵思的Versa自适应计算加速平台．现有3名学生从这15项世界互联网领先科技成果中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择芯片领域的概率为(　　)
A. B. C. D.

练1.3某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为(　　)
A.0.95 B.0.97
C.0.92 D.0.08

练2.1抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生的概率为(　　)
A. B. C. D.
练2.2抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P(A∪B)＝(　　)
A. B. C. D.

练2.3围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A. B. C. D．1

练2.4从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．

练2.5据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________．

练3.1已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.

练3.2已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为________．


练3.3海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区
A
B
C
数量
50
150
100

(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．

例题答案: A C A D B D 0.6;0.8 0.55;0.30;1.1925a
0.001，0.01,0.05；0.061 X=15,y=20，1.9；
练习：练习答案：D D C B B C 0.9 0.97,0.03
A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.；这2件商品来自相同地区的概率为.

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