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第六讲：用样本估计总体
知识点一．频率分布直方图
(1)纵轴表示，即小长方形的高＝；
(2)小长方形的面积＝组距×＝频率；
(3)各个小方形的面积总和等于1 .
知识点二．频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
知识点三．茎叶图
茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，
茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁
边生长出来的数．
知识点四．中位数、众数、平均数的定义
(1)中位数
将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
(2)众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
(3)平均数
一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，
个数据的平均数
知识点五．样本的数字特征
如果有个数据，那么这个数的
(1)平均数．
(2)标准差.
(3)方差．
知识点六．频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
知识点七．平均数、方差的公式推广
(1)若数据的平均数为，则的平均数是.
(2)若数据的方差为，则数据的方差为.
例题
茎叶图
4735830307975例1.1.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为(　　)
A．3,5　　　　　　　 B．5,5
C．3,7 D．5,7
4726940367665例1.2.在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4526280297815例1.3.甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的原始记录如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均得分分别为，，则下列结论正确的是(　　)
；乙比甲得分稳定 ；甲比乙得分稳定
；乙比甲得分稳定 ；甲比乙得分稳定



例1.4.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是(　　)
340804564770A．甲所得分数的极差为22
B．乙所得分数的中位数为18
C．两人所得分数的众数相等
D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
频率分布直方图
例2.1从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47]内的个数为(　　)

A．10 B．18 C．20 D．36

例2.2由于受疫情的影响，学校停课，同学们通过三种方式在家自主学习，现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2.下列说法错误的是(　　)

A．样本容量为240
B．若m＝50，则本次自主学习学生的满意度不低于四成
C．总体中对方式二满意的学生约为300人
D．样本中对方式一满意的学生为24人

例2.3某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间该“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是(　　)

A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月份
D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳


3633470415925例2.4如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是(　　)
A．甲所得分数的极差为22
B．乙所得分数的中位数为18
C．两人所得分数的众数相等
D．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数


例2.5如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值为________．


例2.6.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由．

用样本的数字特征估计总体的
例3.1演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(　　)
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差

例3.2某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分情况如图所示，假设得分值的中位数为me，平均数为，众数为m0，则(　　)

A．me＝m0＝ B．me＝m0<
C．me
例3.3我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．


例3.4甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9

如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．
3676650517525例3.5.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则7个剩余分数的方差为________.
练习
练1.1 2017年4月，泉州有四处湿地被列入福建省首批重要湿地名录，某同学决定从其中两地选择一处进行实地考察．因此，他通过网站了解上周去过这两个地方的人对它们的综合评分，并将评分数据记录为右图的茎叶图，记A，B两地综合评分数据的均值分别为，，方差分别为，.若以备受好评为依据，则下述判断较合理的是(　　)
4400550174625．因为，，所以应该去地
．因为，，所以应该去地
．因为，，所以应该去地
．因为，，所以应该去地

练1.2．已知数据的平均数，方差，则数据，，…，的平均数和标准差分别为(　　)
A．15,36 B．22,6
C．15,6 D．22,36

4648835292100练1.3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．


练2.1． 一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在内的数据个数为(　　)

A．14　　　　　　　　　　 B．15
C．16 D．17

练2.2 如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：
402526556515①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；
②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．
其中正确结论的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3

4237355511175练2.3 在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是(　　)

A．15 B．18
C．20 D．25
练2.4气象意义上从春季进入夏季的标志为：连续5天每天日平均温度不低于22 ℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位：℃)．
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2.
则肯定进入夏季的地区有________个．


练2.5. 为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．


练3.1 某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为，，10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为________．
4398645337820练3.2 某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.

分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
练3.3 某中学举行电脑知识竞赛，现将参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求参赛学生的成绩的众数、中位数；
(2)求参赛学生的平均成绩．
练3.4 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)：
甲
95
82
88
81
93
79
84
78
乙
83
75
80
80
90
85
92
95

(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；
(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．
例题答案: ABADBBDD 0.018 0.30;36000 AD 0.98 甲
练习答案：B D 90 B D A 2 60 4 0.005;73;10 5;65;67
甲：83；83乙：84；84

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