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专题02
常用逻辑用语
重点题型
题型一、充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件的概念
(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若p?q且qp，则p是q的充分不必要条件；
(3)若pq且q?p，则p是q的必要不充分条件；
(4)若p?q，则p是q的充要条件；
(5)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
2．必记结论
(1)等价转化法判断充分条件、必要条件
①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；
②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；
③p是q的充要条件是的充要条件；
④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
(2)集合判断法判断充分条件、必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，则
①若，则p是q的充分条件；
②若，则p是q的必要条件；
③若，则p是q的充分不必要条件；
④若，则p是q的必要不充分条件；
⑤若，则p是q的充要条件；
⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.
注意：根据充要条件求解参数的取值范围问题时，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.
求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
题型二、全称量词命题与特称量词命题
1．全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
2．同一个全称量词命题、特称量词命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.具体如下：
全称命题“”
特称命题“
”
表述方法
对所有的成立
存在成立
对一切成立
至少有一个成立
对每一个成立
对有些成立
任选一个成立
对某个成立
凡，都有成立
有一个，使成立
注意：要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
要确定一个特称量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称量词命题是假命题.
3．含有一个量词的命题的否定
一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是特称量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.即全称量词命题的否定是特称量词命题，特称量词命题的否定是全称量词命题，如下所示：
命题
命题的否定
考点集训
一、单选题
1．已知A为奇数集，B为偶数集，命题，则下列一定正确的选项为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用全称命题否定变换形式是特称命题，并且条件不变，结论否定即可求解.
【详解】
命题，，
则，.
故选：D
2．下列命题中既是存在量词命题又是真命题的是（
）
A．，使
B．至少有一个实数，使
C．，有
D．存在一个负数，使得
【答案】B
【分析】
判断各选项中命题的类型，并判断真假，由此可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，命题“，使”为存在量词命题，该命题为假命题；
对于B选项，命题“至少有一个实数，使”为存在量词命题，
因为，B选项中的命题为真命题；
对于C选项，命题“，有”为全称量词命题，该命题为真命题；
对于D选项，命题“存在一个负数，使得”，
当时，，D选项中的命题为假命题.
故选：B.
3．“”是“直线与直线垂直”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据两条直线垂直得出，求得的范围，再根据充分性和必要性的定义即可解决此题．
【详解】
解：由直线与直线垂直．可得：
，即，解得：或．
“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件．
故选：A．
4．设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件判断出：开关A闭合推不出灯泡B亮，但灯泡B亮能推出开关A闭合，从而选出选项.
【详解】
选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；
选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；
选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；
选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.
故选：C.
5．设、是两个不同的平面，是直线，且，则“”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义结合线面的位置关系判断即可
【详解】
解：因为，，所以由面面垂直的判定定理可得，
当时，与可能垂直，可能相交不垂直，可能平行，
所以“”是“”的充分而不必要条件，
故选：A
6．已知，，其中，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
先求出时，或，然后利用集合法判断即可.
【详解】
因为，，所以.
因为，所以，即，解得：或.
因为，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7．已知常数，则“”是“函数图像的一个对称中心为点”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
充分性：若，即，所以，然后检验是否是函数的对称中心即可判断；必要性：结合函数图像的对称中心在函数图象上即可判断.
【详解】
充分性：若，即，所以，当时，，故函数图像的一个对称中心为点，即充分性成立；
必要性：函数图像的一个对称中心为点，则，即，即，即必要性成立，
所以“”是“函数图像的一个对称中心为点”的充要条件.
故选：C.
8．“”是“函数有且只有一个零点”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
求出有且只有一个零点的条件，再根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
首先已经有一个零点1，
因此只有一个零点，则无零点，
即（）无解，时，，所以或，
因此是有且只有一个零点”的充分而不必要条件．
故选：A．
9．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设为两个同高的几何体，在等高处的截面积不恒相等，的体积不相等，根据祖暅原理可知，是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据逆否命题的等价性判断与的关系.
【详解】
“两个同高的几何体，等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，体积不相等，则等高处的截面积不恒相等”，所以；
反之“两个同高的几何体，体积相等，则等高处的截面积恒相等”不成立，即由推不出，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
二、多选题
10．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】
先由命题是真命题求出m的范围，再对照四个选项找真子集即可.
【详解】
因为命题“”是真命题，
所以，即，解得：.
要求命题“”是真命题的一个充分不必要条件，
只需找的一个真子集，
对照四个选项，只有BC符合.
故选：BC
11．已知命题，，，则（
）
A．是真命题
B．是真命题
C．是真命题
D．的否定为“，”
【答案】ACD
【分析】
首先判断的真假性，由此判断ABC选项的正确性，根据全称量词命题的否定的知识判断D选项的正确性.
【详解】
对于命题，，所以为真命题，
对于命题，在上递减，所以为假命题.
则为真命题，
的否定为“”,正确.
故选：ACD.
12．关于x的函数，则下列命题中是假命题的为（
）
A．都是非奇非偶函数
B．都不是偶函数
C．是奇函数
D．既是奇函数又是偶函数
【答案】ABD
【分析】
根据三角函数的性质，即可判断所给命题的真假性．
【详解】
解：对于，当，时，函数是奇函数，当，时，函数是偶函数，所以错误．
对于，当，时，函数是偶函数，所以错误；
对于，当，时，函数是奇函数，所以正确；
对于，不存在，使函数既是奇函数，又是偶函数，所以错误；
故选：ABD．
13．下列命题正确的是（
）
A．“”是“”的必要条件
B．数列是等比数列的必要条件是
C．命题“，”的否定是“，”
D．时，“”是“”的必要不充分条件
【答案】BD
【分析】
对于选项A，B，D，利用充分性、必要性的判定方法即可判断；对于选项C，利用全称命题的否定要求即可判断作答.
【详解】
对于A选项，由得，即或，而或，所以，“”是“”的充分不必要条件，A错误；
对于B选项，数列是等比数列，则、、成等比数列，即有，所以，数列是等比数列的必要条件是，B正确；
对于C选项，命题“，”为全称命题，该命题的否定为“，”，C错误；
对于D选项，当时，不等式即，解得，而，
所以，“”是“”的必要不充分条件，D正确．
故选：BD
14．已知命题(e为自然对数的底数)，命题，若命题p与命题q均为真命题，则实数a的可能取值为（
）
A．e
B．
C．
D．4
【答案】ACD
【分析】
化简得命题，命题，即得解.
【详解】
因为(e为自然对数的底数)，
所以；
因为，
所以.
所以.
故选：ACD
15．下列说法正确的是（
）
A．若，且，则a，b至少有一个大于2
B．“，”的否定是“，”
C．“，”，是“”的必要不充分条件
D．中，A是最大角，则“”是为钝角三角形”的充要条件
【答案】ABD
【分析】
A选项采用反证法，B选项根据特称命题的否定可以直接判断，C选项举反例即可判断，D选项结合正余弦定理以及充要条件的概念即可判断.
【详解】
对于A项，假设a，b都小于或等于2，则，这与已知矛盾，故A项正确；对于B项，特称命题的否定要改成全称命题，故B项正确；
对于C项，当时，如，不能推出，故C项错误；
对于D项，由得，由得A为钝角，为钝角三角形，反之，若为钝角三角形，且A为最大角，所以A为钝角，所以，所以，故D项正确.
故选:ABD．
三、填空题
16．命题“对于任意三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2”的否定是___________.
【答案】存在三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+全小于2.
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题可得答案.
【详解】
根据全称命题的否定是特称命题，所以
命题“对于任意三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2”的否定为“存在三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+全小于2”.
故答案为：存在三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+全小于2.
17．若“”是真命题，则实数的最小值为_____________.
【答案】1
【分析】
将全称命题转化为恒成立问题，简单判断和计算即可.
【详解】
若“
”是真命题，
则大于或等于函数在的最大值
因为函数在上为增函数，
所以函数在上的最大值为1，
所以，
，即实数
的最小值为1.
故答案为：1
18．《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的___________(选“充分条件”.必要条件”“充要条件”既不充分也不必要条件”之一填空)
【答案】必要条件
【分析】
通过理解古文，知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，结合必要条件的定义可得答案.
【详解】
由“小故，有之不必然，无之必不然也”，知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要条件.
故答案为：必要条件
19．“曲线与圆有且仅有三个公共点”的充要条件是_________________.
【答案】
【分析】
圆的方程化为标准形式找出圆心和半径，画出图形，结合图形分析有且仅有三个公共点的情况，利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】
由得，圆心为，半径为3，
与y轴的交点为，圆的最高点为，
由图知，曲线与圆要有且仅有三个公共点，
，且在时的部分与圆相交，
在时与圆相切，
即相切时有，解得或，
当时，与圆相切不符合题意舍去，
当时，，
由于，所以，
圆心到的距离为，
综上所述.
故答案为：.
【点睛】
本题关键点是结合图形分析有且仅有三个公共点的情况，考查了学生分析问题、解决问题的能力及数形结合的思想.
20．已知命题:，使得，则为______，若为真命题，则实数的取值范围为______．
【答案】，
【分析】
根据特称命题的否定形式可得为：，，若为真，则只需满足，然后构造函数，求解函数的最大值.
【详解】
:，．
记，若恒成立，则，
因为，所以当，即时，，所以．
故答案为：，；.
【点睛】
本题考查特称命题的否定，考查根据全称命题的真假求参数的取值范围问题，难度一般.
一般地，根据不等式恒成立问题求参数的取值范围时，大多运用参数分离思想，将问题转化为或恒成立求解，只需讨论函数的最小值或最大值，利用最值进行处理即可.
21．设：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______.
【答案】
或
【分析】
先化简命题，再根据两命题满足的条件建立不等式求解参数即可
【详解】
由题可知，对命题有：或；对命题有：或；
若是的充分不必要条件，则有，解得；
若是的必要不充分条件，对命题有：，则满足或，解得或
故答案为：；或
【点睛】
本题考查由两命题满足的条件求参数范围，属于基础题.
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专题02
常用逻辑用语
重点题型
题型一、充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件的概念
(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若p?q且qp，则p是q的充分不必要条件；
(3)若pq且q?p，则p是q的必要不充分条件；
(4)若p?q，则p是q的充要条件；
(5)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
2．必记结论
(1)等价转化法判断充分条件、必要条件
①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；
②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；
③p是q的充要条件是的充要条件；
④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
(2)集合判断法判断充分条件、必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，则
①若，则p是q的充分条件；
②若，则p是q的必要条件；
③若，则p是q的充分不必要条件；
④若，则p是q的必要不充分条件；
⑤若，则p是q的充要条件；
⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.
注意：根据充要条件求解参数的取值范围问题时，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.
求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
题型二、全称量词命题与特称量词命题
1．全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
2．同一个全称量词命题、特称量词命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.具体如下：
全称命题“”
特称命题“
”
表述方法
对所有的成立
存在成立
对一切成立
至少有一个成立
对每一个成立
对有些成立
任选一个成立
对某个成立
凡，都有成立
有一个，使成立
注意：要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
要确定一个特称量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称量词命题是假命题.
3．含有一个量词的命题的否定
一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是特称量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.即全称量词命题的否定是特称量词命题，特称量词命题的否定是全称量词命题，如下所示：
命题
命题的否定
考点集训
一、单选题
1．已知A为奇数集，B为偶数集，命题，则下列一定正确的选项为（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列命题中既是存在量词命题又是真命题的是（
）
A．，使
B．至少有一个实数，使
C．，有
D．存在一个负数，使得
3．“”是“直线与直线垂直”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（
）
A．
B．
C．
D．
5．设、是两个不同的平面，是直线，且，则“”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
6．已知，，其中，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知常数，则“”是“函数图像的一个对称中心为点”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．“”是“函数有且只有一个零点”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设为两个同高的几何体，在等高处的截面积不恒相等，的体积不相等，根据祖暅原理可知，是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
10．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是
（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知命题，，，则（
）
A．是真命题
B．是真命题
C．是真命题
D．的否定为“，”
12．关于x的函数，则下列命题中是假命题的为（
）
A．都是非奇非偶函数
B．都不是偶函数
C．是奇函数
D．既是奇函数又是偶函数
13．下列命题正确的是（
）
A．“”是“”的必要条件
B．数列是等比数列的必要条件是
C．命题“，”的否定是“，”
D．时，“”是“”的必要不充分条件
14．已知命题(e为自然对数的底数)，命题，若命题p与命题q均为真命题，则实数a的可能取值为（
）
A．e
B．
C．
D．4
15．下列说法正确的是（
）
A．若，且，则a，b至少有一个大于2
B．“，”的否定是“，”
C．“，”，是“”的必要不充分条件
D．中，A是最大角，则“”是为钝角三角形”的充要条件
三、填空题
16．命题“对于任意三个正数a，b，c，三个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2”的否定是___________.
17．若“”是真命题，则实数的最小值为_____________.
18．《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的___________(选“充分条件”.必要条件”“充要条件”既不充分也不必要条件”之一填空)
19．“曲线与圆有且仅有三个公共点”的充要条件是_________________.
20．已知命题:，使得，则为______，若为真命题，则实数的取值范围为______．
21．设：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______.
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