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【备考2022】高考物理一轮复习学案
4.4
万有引力与航天及其应用
一、万有引力定律及其应用
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式：F＝，G为引力常量：G＝6.67×10－11
N·m2/kg2.
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
二、环绕速度
1．第一宇宙速度又叫环绕速度．
推导过程为：由mg＝＝得：
v1＝
＝＝7.9
km/s.
2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．
特别提醒　1.两种周期——自转周期和公转周期的不同
2．两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度
3．两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同
三、第二宇宙速度和第三宇宙速度
1．第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2
km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7
km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
1．x-t图象的理解
核心素养一　天体质量和密度的计算
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝ma向＝m＝mω2r＝m
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
深化拓展　(1)在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g时，常运用GM＝gR2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来．由于这种代换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式．
(2)利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：
在行星表面重力加速度：G＝mg，所以g＝.
在离地面高为h的轨道处重力加速度：G＝mgh，所以gh＝.
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
核心素养二　卫星运行参量的比较与运算
1．卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力，G＝ma向＝m＝mω2r＝m.
2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9
km/s.
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
深化拓展　(1)卫星的a、v、ω、T是相互联系的，如果一个量发生变化，其它量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定．
(2)卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．
核心素养三　卫星变轨问题的分析
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：
(1)当卫星的速度突然增加时，G可知其运行速度比原轨道]时减小．
(2)当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝
可知其运行速度比原轨道时增大．
卫星的发射和回收就是利用这一原理．
核心素养四　宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度v1＝7.9
km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．
2．第一宇宙速度的求法：
(1)＝m，所以v1＝
.
(2)mg＝，所以v1＝.
3．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．
　
1．如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道．已知地球的半径R＝6
400
km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)(　　)
A．3
h　　　　　
B．8
h
C．15
h
D．20
h
解析：根据题图中MEO卫星距离地面高度为4
200
km，可知轨道半径约为R1＝10
600
km，同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36
000
km，可知轨道半径约为R2＝42
400
km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1.地球同步卫星的周期为T2＝24
h，运用开普勒第三定律，＝，解得T1＝3
h，选项A正确．
答案：A
2．我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假如宇航员在月球上测得摆长为L的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：据题意，已知月球上单摆的周期为T，据单摆周期公式有T＝2π，可以求出月球表面重力加速度为g＝；根据月球表面物体重力等于月球对它万有引力，有G＝mg，月球平均密度设为ρ，M＝ρV＝πr3ρ，联立以上关系可以求得ρ＝，故选项B正确．
答案：B
一、单选题
1．为满足不同领域的需要，我国有许多不同轨道高度的人造卫星。如图所示，在某一轨道平面上有人造卫星A、B都绕地球做圆周运动，两颗人造卫星的质量之比为1:2，到地球球心的距离之比为2:3，则它们的（　　）
A．周期之比为3:2
B．线速度大小之比为
C．向心加速度大小之比为4:9
D．向心力大小之比为1:18
2．2021年2月24日10时22分，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号丙运载火箭，成功将遥感三十一号03组卫星发射升空，卫星进入预定圆形轨道。如图所示为该卫星绕地球运行示意图，测得卫星在t时间内沿逆时针从P点运动到Q点，这段圆弧所对的圆心角为。已知地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，则这颗卫星离地球表面的高度为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、解答题
3．某卫星在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球对它的引力作用而产生的加速度是地球表面重力加速度的多少倍?
4．1970年，我国发射的第一颗人造地球卫星绕地球运动轨道近似为圆形，运行周期为114min，轨道的平均半径为7782km。请据此估算地球的质量。
5．已知火星的第一宇宙速度为v，火星半径为R，其自转周期为T，万有引力常量为G．
(1)求火星的质量M；
(2)若要发射火星的同步卫星，求它距火星表面的高度h．
6．据报道，首次在太阳系外发现“类地”行星若宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h处自由释放一个小球引力视为恒力，落地时间为t，已知该行星半径为R，万有引力常量为G，求：
(1)该行星的第一宇宙速度；
(2)该行星的平均密度；
(3)如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面高度。
7．4月12日为国际航天日，现计划发射一颗距离地面高度为地球半径R的圆形轨道地球卫星，卫星轨道平面与赤道平面重合，已知地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G．
（1）求地球质量M和地球的密度ρ；
（2）求卫星绕地心运动周期T；
8．某卫星绕地球运动可视为匀速圆周运动，已知地球半径为R，卫星据地面的高度为h，地球质量为M，引力常量为G，求该卫星的周期。
9．发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆形轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示。已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响：
(1)卫星在椭圆轨道和同步轨道上运行时，哪种情况的周期大？为什么？
(2)求卫星在近地点A的加速度大小；
(3)求远地点B距地面的高度。
10．宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为v，已知该星球质量均匀，半径为R，引力常量为G，求：
（1）小球落地时竖直方向的速度vy的值；
（2）该星球的质量M的值。
1．如图所示，探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，在该轨道的P处通过变速再进入“地月转移轨道”，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被月球引力“俘获”后，成为环月卫星，最终在环绕月球的“工作轨道”绕月飞行(视为圆周运动)，对月球进行探测．“工作轨道”周期为T、距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响．
(1)要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应增大速度还是减小速度？
(2)求探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小；
(3)求月球的第一宇宙速度．
2．一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，FN表示人对秤的压力，下面说法中正确的是(　　)
A．g′＝g
B．g′＝g
C．FN＝mg
D．FN＝mg
考题预测
参考答案
1解析：(1)要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应减小速度使卫星做近心运动．
(2)根据线速度与轨道半径和周期的关系可知探月卫星线速度的大小v＝.
(3)设月球的质量为M，探月卫星的质量为m，月球对探月卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，所以有G＝m(R＋h)
月球的第一宇宙速度v1等于“近月卫星”的环绕速度，设“近月卫星”的质量为m′，则有G＝m′
解得v1＝.
答案：(1)减小　(2)　(3)
2解析：做匀速圆周运动的飞船及其上的人均处于完全失重状态，台秤无法测出其重力，故FN＝0，C、D错误；对地球表面的物体，G＝mg，宇宙飞船所在处，G＝mg′，可得g′＝g，A错误，B正确．
答案：B
过关训练
参考答案
1．B
【详解】
A．，两颗到地球球心的距离之比为2：3，所以周期之比为
，故A错误；
B．，两颗到地球球心的距离之比为2：3，所以线速度之比为，故B正确；
C．，两颗到地球球心的距离之比为2：3，所以向心加速度之比为9：4，故C错误；
D．，它们的质量之比为1：2，到地球球心的距离之比为2：3，所以向心力之比为9：8，故D错误；
故选B。
2．C
【详解】
该卫星的角速度为
在地球表面有
对于卫星，有
联立解得
故选C。
3．
【详解】
忽略球体自转影响，距离地心4R，根据
则有
所以地面的重力加速度为
解得
所以
4．
【详解】
人造地球卫星的运行周期为
卫星轨道的平均半径为：
根据万有引力提供向心力，得
=2
解得，地球的质量为
5．(1)
(2)
【分析】
（1）根据万有引力提供向心力，结合火星的半径和第一宇宙速度，求出火星的质量．（2）根据万有引力提供向心力，抓住同步卫星的周期等于自转周期，求出同步卫星距离火星表面的高度．
【详解】
（1）第一宇宙速度即该行星近地卫星的环绕速度，其向心力由万有引力提供
则有：
解得：
（2）火星自转周期即火星同步卫星的运行周期，其向心力由万有引力提供
则有：
解得：
【点睛】
解决问题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道同步卫星的周期和自转周期相等，并列式进行求解即可．
6．(1)
；(2)
；
(3)
【详解】
(1)根据
得行星表面的重力加速度
根据
得行星的第一宇宙速度
(2)根据
得行星的质量
则行星的平均密度
(3)根据
又
解得
7．(1)
(2)
【解析】
【详解】
（1）在地球表面的物体受到的重力等于万有引力
解得：
地球的体积为
所以
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：
又因为
故解得：
8．
【解析】万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
，由可得：
飞船的周期：
。
点睛：本题考查了求飞船的角速度与周期等问题，知道万有引力提供向心力、应用牛顿第二定律、角速度与周期的关系即可正确解题。
9．(1)在同步轨道上运行时的周期大；因为两轨道的中心天体均为地球，椭圆轨道的半长轴小于同步轨道的半径，根据开普勒第三定律，可知在同步轨道上运行时的周期大；(2)；(3)
【详解】
(1)在同步轨道上运行时的周期大，因为两轨道的中心天体均为地球，椭圆轨道的半长轴小于同步轨道的半径，根据开普勒第三定律，可知在同步轨道上运行时的周期大；
(2)设地球质量为，卫星质量为，万有引力常量为，卫星在点的加速度为，由牛顿第二定律得
卫星在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，则
解得
(3)设远地点距地面高度为，卫星在同步轨道上运动时受到的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
10．（1）；（2）
【详解】
（1）小球做平抛运动，则落地时水平速度为v0，则
（2）小球竖直方向上
vy=gt
则
星球表面万有引力等于重力，则有
解得
知识框架
核心素养
典例精讲
过关训练
考题预测
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