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2021年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
选择压轴题优生辅导训练（附答案）
1．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．20
2．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2，若CE?DE＝5，则正方形的面积为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等
4．下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（　　）
A．对角线长度相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．一组对角线平分一组对角
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
6．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
7．如图已知正方形ABCD的面积为25，菱形PQCB的面积20，则阴影部分的面积为（　　）
A．11 B．6.5 C．7 D．7.5
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点H．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3：4，则△BCH的周长为（　　）
A．2﹣4 B．2 C．2+4 D．2+4
9．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边AB上，BE＝2，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．2
10．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上（不与端点重合），且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　）
A．BE＝AF B．∠AFB+∠BEC＝90°
C．∠DAF＝∠ABE D．AG⊥BE
11．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE∥CD于点E，PF∥BC于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF，其中正确结论的序号为（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③
12．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BD＝12，BE＝DF＝8，则四边形AECF的面积为（　　）
A．24 B．12 C．4 D．2
13．将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，A3，A4是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（　　）
A．2cm2 B．1cm2 C．4cm2 D．6cm2
14．如图，四边形ABCD是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边长为8，则点A的坐标为（　　）
A．（8，0） B．（4，0） C．（4，0） D．（8，0）
15．如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　）
A．5 B．9 C．9 D．
16．下面说法：①三角形的三条高交于同一点；②面积相等的两个正方形全等；③两条射线不相交就平行；④同位角相等．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
18．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，H是AF的中点，CH＝3，那么CE的长是（　　）
A．3 B．4 C． D．
19．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．12
20．如图，四边形OABC是正方形，若点B的坐标为（0，），则点A的坐标是（　　）
A．（，） B．（，1） C．（1，1） D．（1，）
21．如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
22．下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（　　）
A．长度为2的线段 B．边长为2的等边三角形
C．斜边为2的直角三角形 D．面积为4的菱形
23．下列说法正确的的是（　　）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．对角线垂直且相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是菱形
24．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝AD，则∠ACE的度数为（　　）
A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°
25．如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（　　）
A．一直减小 B．一直减小后增大
C．一直不变 D．先增大后减小
26．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（　　）
A．1 B． C．2 D．无法确定
27．如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE垂线交DE于点P．若AE＝AP＝2，PB＝6．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为2；④S正方形ABCD＝32+4．则正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．如图，正方形ABCD的边长为4，∠ABE＝∠CDF＝30°，EF⊥BC，则EF的长为（　　）
A．4﹣4 B．3 C．2 D．6﹣2
29．如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，其中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为BC中点，EF过点交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（　　）
A．四边形BECF为平行四边形
B．当BF＝3.5时，四边形BECF为矩形
C．当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形
D．四边形BECF不可能为正方形
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣2，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　）
A．34 B．25 C．20 D．16
31．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．三个角都是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
32．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
33．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（　　）
A．4 B．8 C． D．
34．如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE、CE、BD．若AB＝BE，则四边形BCED是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
35．下列对正方形的描述错误的是（　　）
A．正方形的四个角都是直角 B．正方形的对角线互相垂直
C．对角线相等的平行四边形是正方形 D．邻边相等的矩形是正方形
36．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．三个角都是直角的四边形是矩形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
37．下列说法中不正确的是（　　）
A．对角线垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形的面积等于对角线乘积的一半
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
38．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　）
A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
39．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是（　　）
A． B．3 C． D．
40．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN＝（　　）
A．3 B． C．3 D．6
参考答案
1．解：∵菱形ABCD，
∴AB＝BC＝3，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝3，
∴正方形ACEF的边长为3，
∴正方形ACEF的面积为9，
故选：A．
2．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，CM＝DN，
∴四边形OMEN是正方形，
在Rt△OEN中,
∵OE＝2，
∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8，
∴NE＝ON＝2，
∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4，
设DE＝a，CE＝b，
∴a+b＝4，
∵CE?DE＝5，
∴CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×5＝6，
∴S正方形ABCD＝6,
故选：B．
3．解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项不符合题意；
B、对角线互相平分是平行四边形具有的性质，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项符合题意；
C、对角线互相垂直,矩形不具有此性质，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分且相等,菱形不具有对角线相等的性质，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
正方形具有菱形和矩形的性质，
∴菱形不具有的性质为：对角线长度相等，
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∵AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
6．解：在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，
∵O为MN的中点，
∴OP＝，
∵∠PMN＝30°，
∴∠MPO＝30°，
∴∠DPM＝150°，
在四边形ADPM中，
∵∠A＝90°，∠ADB＝45°，∠DPM＝150°，
∴∠AMP＝360°﹣∠A﹣∠ADB﹣∠DPM
＝360°﹣90°﹣45°﹣150°
＝75°．
故选：C．
7．解：∵正方形ABCD的面积是25，
∴AB＝BC＝BP＝PQ＝QC＝5，
又∵S菱形PQCB＝PQ×EC＝5×EC＝20，
∴EC＝4，
在Rt△QEC中，EQ＝，
∴PE＝PQ﹣EQ＝5﹣3＝2，
∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S梯形BCEP＝25﹣（5+2）×4＝25﹣14＝11，
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝CD＝AB＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∴S正方形ABCD＝16，
∵S阴影：S正方形ABCD＝3：4，
∴S阴影＝＝12，
∴S空白＝16﹣12＝4，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴S△BCH＝S四边形EDFH＝2，∠HBC＝∠DCF，
∵∠DCF+∠HCB＝90°，
∴∠HBC+∠HCB＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∴BH2+CH2＝BC2＝16，BH?CH＝4，
∴（BH+CH）2＝BH2+CH2+2BH?CH＝16+2×4＝24，
∴BH+CH＝，
∴△BCH的周长为BH+CH+BC＝，
故选：D．
9．解：作MK⊥CD于点K，NP⊥CD于点P，MH⊥NP于点H，
∵四边形ABCD是正方形，EF∥BC，
∴MK∥GF∥NP，MH∥CD，
∴四边形MKPH为矩形，四边形EBCF为矩形，
∴MK＝PH，MH＝KP，
∵NP∥EF，点N为EC中点，
∴NP为△EFC中位线，
∴点P为FC中点，NP＝EF＝．
∵MK∥EF，M为DG中点，
∴MK为△DGF中位线，
∴K为DF中点，
∵∠BDC＝45°，
∴△GDF为等腰直角三角形，
∴MK＝GF＝DF＝（CD﹣CF）＝，
∴PH＝MK＝，NH＝NP﹣HP＝1，
∵K为DF中点，P为CF中点，
∴MH＝KP＝CD＝，
在Rt△MNH中，由勾股定理得：
MN＝＝．
故选：C．
10．解：∵ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BF＝CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE（A正确），∠BAF＝∠CBE，∠AFB＝∠BEC（B错误），
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠DAF＝∠ABE（C正确），
∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CBE+∠AFB＝90°，
∴AG⊥BE（第四个正确），
所以不正确的是B，
故选：B．
11．解：①∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEF＝∠PFC＝90°，
又∠C＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EC＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PDF＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD＝PF＝EC，
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，
∵正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
故④正确；
故选：A．
12．解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AC＝BD＝12，
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∵BE＝DF＝8，
∴BF＝DE＝BD﹣BE＝4，
∴OE＝OF，EF＝DF﹣DE＝4，
∴四边形AECF是菱形，
∴菱形AECF的面积＝AC?EF＝×12×4＝24，
故选：A．
13．解：如图，
在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，
两边相交于M和N，
∠A1EN＝∠A1MF＝90°，
∠EA1N+∠ENA1＝90°，
∠EA1N+∠FA1M＝90°，
∴∠ENA1＝∠FA1M，A1E＝A1F，
∴△A1EN≌△A1MF（ASA），
∴四边形A1MA2N的面积＝四边形EA1FA2的面积＝正方形ABCD的面积，
同理可证，另外三个阴影四边形的面积都等于正方形ABCD的面积，
∴图中重叠部分（阴影部分）的面积和＝正方形ABCD的面积＝4cm2，
故选：C．
14．解：∵四边形ABCD是正方形，边长为8，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，AB＝8，
设OA＝OB＝x，
Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2，
∴x2+x2＝82，解得x＝4，
∴OA＝4，即A（4，0），
故选：C．
15．解：如图，
将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，
由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD＝AM，
∴当AM的值最大时，AD的值最大，
∵AM≤AC+CM，
∴AM≤9，
∴AM的最大值为9，
∴AD的最大值为．
故选：D．
16．解：①三角形的三条高所在直线交于一点，
故①说法不符合题意；
②因为正方形的面积是边长的平方，所以面积相等的两个正方形边长相等，且四个角又是直角，所以是全等图形，
故②说法符合题意；
③两条不在同一平面的直线不相交但不一定平行，
故③说法不符合题意；
④两直线平行，则同位角相等，
故④说法不符合题意，
所以正确的是①，1个，
故选：A．
17．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
故①正确；
∵∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°，
故②正确；
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG＝FG，
故③正确；
∵∠ECF＝90°，EG＝FG，
∴CG＝EF，
设EC＝FC＝x，由勾股定理，得EF＝＝x，
∴CG＝EF＝x＝CE，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
18．解：连接AC，CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF，∠ACD＝∠GCF＝45°．
∴∠ACF＝45°×2＝90°．
∵H是AF的中点，CH＝3，
∴AF＝2CH＝6．
在Rt△ABC中，AC＝BC＝．
在Rt△ACF中，
CF＝＝．
在Rt△ECF中，
∵CE2+EF2＝CF2，CE＝EF，
∴CE＝CF＝＝．
故选：D．
19．解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵F为DE的中点，
∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，
∵OF＝1，
∴BE＝2OF＝2，
∵CE＝6，
∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，
∴CD＝BC＝8，
在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，
∴ED＝，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，
故选：B．
20．解：连接AC交OB于D，如图：
∵四边形OABC是正方形，
∴∠ADO＝90°，CD＝AD＝AC＝DB＝OD＝OB，
∵B（0，），
∴OB＝，
∴AD＝OD＝，
∴A（，），
故选：A．
21．解：连接AC，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴AC2＝4，
解得AC＝，
∵菱形AECF的面积为2，
∴AC?EF＝2，
即×EF＝2，
解得EF＝，
故选：B．
22．解：∵正方形的边长为2，
∴对角线长为，
∴长度为2的线段能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故A不符合题意；
边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故B不符合题意；
斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故C不符合题意；
而面积为4的菱形对角线最长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故D符合题意，
故选：D．
23．解：A．对角线相等的菱形是正方形，故该说法符合题意；
B．四条边相等的四边形是菱形，故该说法不符合题意；
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直且相等，但不一定互相平分，故该说法不符合题意；
D．对角线相等的四边形可能是等腰梯形，故该说法不符合题意；
故选：A．
24．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AD，∠DBC＝45°，
∵BE＝AD，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∵AC⊥BD，
∴∠COE＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：A．
25．解：作PH⊥BC交BC的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，
∠DAF＝∠ABE＝∠DCB＝∠DCH＝90°，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ADF≌△BAE（ASA），
∴DF＝AE，
∵四边形DFEP是平行四边形，
∴DF＝PE，∠DFE＝∠DPE，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠PEH＝90°，
∴∠BAE＝∠PEH，
∵∠ABE＝∠H＝90°，AE＝EP．
∴△ABE≌△EHP（AAS），
∴PH＝BE，AB＝EH＝BC，
∴BE＝CH＝PH，
∴∠PCH＝45°，
∵∠DCH＝90°，
∴∠DCP＝∠PCH，
∴CP是∠DCH的角平分线，
∴点P的运动轨迹是∠DCH的角平分线，
∵∠DFE+∠EPC＝∠DPE+∠EPC＝∠DPC，
观察图象可得，∠DPC一直减小，
故选：A．
26．解：过C点作CG⊥BD于G．
∵CF是∠DCE的平分线．
∴∠FCE＝45°．
∵∠DBC＝45°．
∴CF∥BD．
∴CG等于△PBD的高．
∵BD＝2．
∴CG＝1．
∴△PBD的面积等于．
故选：A．
27．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°．
∴∠DAP+∠BAP＝90°．
又∠EAP+∠BAP＝90°，
∴∠EAP＝∠DAP．
又AE＝AP，
∴△APD≌△AEB（SAS）．
所以①正确；
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB＝∠APD＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
即EB⊥ED，②正确；
在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝＝2，
在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝＝2，
∵B点到直线AE的距离小于BE，所以点B到直线AE的距离为2是错误的，
所以③错误；
在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝2，BE＝2，
如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．
在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．
所以BH＝+2．
在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，
即AB2＝（+2）2+（）2＝32+4，
所以S正方形ABCD＝32+4．
所以④正确．
所以只有①和②、④的结论正确．
故选：C．
28．解：如图，延长BE交AD于G，过点G作GH⊥BC，交DF于H，
∵正方形ABCD的边长为4，∠ABE＝∠CDF＝30°，
∴AB＝AG，∠AGB＝∠ADF＝60°，
∴AG＝，BG∥DF，
∴GD＝4﹣，
∵∠HGD＝90°，∠ADF＝60°，
∴GH＝GD＝4﹣4，
∵EF⊥BC，GH⊥BC，
∴EF∥GH，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∴EF＝GH＝4﹣4，
故选：A．
29．解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴AB＝CD＝3，AC＝BD＝5，BC＝EF＝4，∠A＝∠D，∠ACB＝∠CBD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵O为BC中点，
∴BO＝CO，
在△BOF和△COE中，
，
∴△BOF≌△COE（ASA），
∴OF＝OE，
∴四边形BECF为平行四边形，故A选项不符合题意；
当BF＝3.5时，若BE⊥AC，
∵，
∴BE＝，
∴＝＝，
∵BF＝3.5，
∴CE≠BF，
∴BF＝3.5时，四边形BECF不是矩形，
故B选项符合题意，
∵BF＝2.5，
∴CE＝2.5，
∴AE＝AC﹣CE＝2.5，
∴E为AC中点，
∴BE＝CE，
∵四边形BECF是平行四边形，
∴当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，故C选项不符合题意；
当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，此时∠BEC≠90°，
∴四边形BECF不可能为正方形．故D选项不符合题意．
故选：B．
30．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣2，0），B（2，b），
∴OA＝2，OM＝2，
∴OD＝AM＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴正方形ABCD的面积＝2×2＝20，
故选：C．
31．解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，所以A选项错误，故不符合题意；
B．三个角都是直角的四边形是矩形，所以B选正确，故符合题意；
C．对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项错误，不符合题意；
D．一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以D选项错误，不符合题意；
故选：B．
32．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝2，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FG＝＝2，
∴MN＝，
故选：C．
33．解：在正方形ABCD中，
AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，
在△ADM与△DCN中，
∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∴∠DMA＝∠CND，
在△DPM中∠PDM+∠PMD＝90°，
∴∠DPM＝90°'
∵∠DPM＝∠APN，
∴△ANP为直角三角形，
AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，
在△ANB中AN＝＝2，
故选：C．
34．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，
∴DE∥BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴?BCED是矩形，
故选：B．
35．解：A、正方形的四个角都是直角，所以选项A描述正确；
B、正方形的对角线互相垂直，所以选项B描述正确；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项C描述错误；
D、邻边相等的矩形是正方形，所以选项D描述正确；
故选：C．
36．解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误，不符合题意；
C、三个角都是直角的四边形是矩形，所以C选正确；符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误，不符合题意．
故选：C．
37．解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，正确，故不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故不符合题意；
C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，正确；故不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项错误，故符合题意．
故选：D．
38．解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．
故选：D．
39．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，∠B＝90°．
∵PE⊥BC，PQ⊥AB，
∴∠PQB＝∠PEB＝90°．
∴∠PQB＝∠PEB＝∠B＝90°．
∴四边形PQBE为矩形．
∴PE＝BQ．
∵PQ⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△PAQ为等腰三角形．
∴PQ＝AQ．
∴PE+PQ＝BQ+AQ＝AB＝3．
故选：B．
40．解：连接DB，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴∠A＝90°，AD＝AB＝6，
∴DB＝＝＝6，
∵点M，N分别是DQ，BQ的中点，
∴MN是△DQB的中位线，
∴MN＝DB＝3，
故选：A．

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