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专题13
函数的单调性与奇偶性的综合应用
一、考情分析
二、经验分享
1．函数单调性的判断或证明
（1）判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．
利用定义法判断（或运用）函数的单调性的步骤为：
（2）若判断复合函数的单调性，则需将函数解析式分解为一些简单的函数，然后判断外层函数和内层函数的单调性，外层函数和内层函数的单调性相同时，则复合函数单调递增；外层函数和内层函数的单调性相反时，则复合函数单调递减．可简记为“同增异减”，需要注意内层函数的值域在外层函数的定义域内．
（3）函数单调性的常用结论：
①若均为区间A上的增（减）函数，则也是区间A上的增（减）函数；
②若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
③函数在公共定义域内与，的单调性相反；
④函数在公共定义域内与的单调性相同．
2．单调性的应用
函数单调性的应用主要有：
（1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较．
（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．
（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点．
（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内．
3．求函数的最大（小）值
求函数最大（小）值的常用方法有：
（1）配方法，对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；
（2）图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值；
（3）单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，可依据单调性确定函数最值；
（4）若函数存在最值，则最值一定是值域两端处的值，所以求函数的最大（小）值可利用求值域的方法．
注意：（1）无论用哪种方法求最值，都要考查“等号”是否成立．
（2）函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大（小）值．
4．判断函数的奇偶性
判断函数奇偶性的方法：
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．
判断与的关系时，也可以使用如下结论：
如果或，则函数为偶函数；
如果或，则函数为奇函数．
5．函数奇偶性的应用
（1）利用奇偶性的定义求函数的值或参数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．
（2）利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
（3）利用奇偶性比较大小，通过奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上比较大小．
三、重难点题型分析
例1．（2021·宁夏银川市·银川二中高二期末（理））已知偶函数在区间内单调递减，则使得成立的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-1】．（2020·云南省大姚县第一中学高一期中）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
例2．（2020·兴安县第三中学高一期中）已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是
A．(0，3)
B．(0，3]
C．(0，2)
D．(0，2]
【变式训练2-1】．（2020·全国高一课时练习）若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
例3．（2020·上海高一专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】．（（2020·江西宜春九中高二月考）已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是
A．
B．
C．
D．
例4．（2019·湖南益阳市·高一期中）是定义在上的奇函数，当时，，则时,________．
【变式训练4-1】．（（2021·江苏苏州市·吴江中学高一期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为_____．
例5．（2020·河北安平中学高一月考）已知是定义在上的奇函数，且当时,.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式训练5-1】．（．（2020·合肥一六八中学高一期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
例6．（2019·长沙市明德中学高一月考）已知定义在上的函数满足：①
对任意，，有.②当时，且.
（1）求证：；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）解不等式.
【变式训练6-1】．（2019·安徽省桐城中学高一月考）定义在上的函数满足：对任意的，都有．
（）求的值；
（）若当时，有，求证：在上是单调递减函数；
（）在（）的条件下解不等式：．
【变式训练6-2】．（2019·安徽阜阳市·高一月考）已知函数对任意实数x、y恒有，当x>0时，f(x)<0，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)求在区间[-3,3]上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
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精品试卷·第
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专题13
函数的单调性与奇偶性的综合应用
一、考情分析
二、经验分享
1．函数单调性的判断或证明
（1）判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．
利用定义法判断（或运用）函数的单调性的步骤为：
（2）若判断复合函数的单调性，则需将函数解析式分解为一些简单的函数，然后判断外层函数和内层函数的单调性，外层函数和内层函数的单调性相同时，则复合函数单调递增；外层函数和内层函数的单调性相反时，则复合函数单调递减．可简记为“同增异减”，需要注意内层函数的值域在外层函数的定义域内．
（3）函数单调性的常用结论：
①若均为区间A上的增（减）函数，则也是区间A上的增（减）函数；
②若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
③函数在公共定义域内与，的单调性相反；
④函数在公共定义域内与的单调性相同．
2．单调性的应用
函数单调性的应用主要有：
（1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较．
（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．
（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点．
（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内．
3．求函数的最大（小）值
求函数最大（小）值的常用方法有：
（1）配方法，对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；
（2）图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值；
（3）单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，可依据单调性确定函数最值；
（4）若函数存在最值，则最值一定是值域两端处的值，所以求函数的最大（小）值可利用求值域的方法．
注意：（1）无论用哪种方法求最值，都要考查“等号”是否成立．
（2）函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大（小）值．
4．判断函数的奇偶性
判断函数奇偶性的方法：
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断．
判断与的关系时，也可以使用如下结论：
如果或，则函数为偶函数；
如果或，则函数为奇函数．
5．函数奇偶性的应用
（1）利用奇偶性的定义求函数的值或参数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．
（2）利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
（3）利用奇偶性比较大小，通过奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上比较大小．
三、重难点题型分析
例1．（2021·宁夏银川市·银川二中高二期末（理））已知偶函数在区间内单调递减，则使得成立的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
结合偶函数的性质判断出函数在的单调性，从而结合函数的单调性得，解不等式即可得出结果.
【详解】
因为偶函数在区间内单调递减，所以在区间内单调递增，
又因为，所以，即，
故选：D.
【变式训练1-1】．（2020·云南省大姚县第一中学高一期中）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
例2．（2020·兴安县第三中学高一期中）已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是
A．(0，3)
B．(0，3]
C．(0，2)
D．(0，2]
【答案】D
【分析】
由为上的减函数，根据和时，均单调递减，且，即可求解.
【详解】
因为函数为上的减函数，
所以当时，递减，即，当时，递减，即，
且，解得，
综上可知实数的取值范围是，故选D.
【点睛】
本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
【变式训练2-1】．（2020·全国高一课时练习）若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可.
【详解】
因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.
故选：A.
【点睛】
本题考查减函数的定义，一次函数的性质，是基础题.
例3．（2020·上海高一专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.
【详解】
因为满足，所以，
所以函数是以8为周期的周期函数，
则.
由是定义在上的奇函数，
且满足，得.
因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，
所以在区间上是增函数，
所以，即.
【点睛】
在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
【变式训练3-1】．（（2020·江西宜春九中高二月考）已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由题意可判断函数f（x）的周期为6，对称轴为x＝3，所以有f（12.5）＝f（0.5），f（-4.5）＝f（1.5），f（3.5）＝f（2.5），因为0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且函数在（0，3）内单调递减，从而判断大小
【详解】
∵函数满足，∴=，
∴f（x）在R上是以6为周期的函数，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），
又为偶函数，∴f（x）的对称轴为x＝3，∴f（3.5）＝f（2.5），
又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，
且在（0，3）内单调递减，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）
即f（3.5）＜f（-4.5）＜f（12.5）
故选B．
【点睛】
本题主要考查了函数周期性与对称性的推导，考查了周期与单调性的综合运用，利用周期与对称把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法，属于中档题．
例4．（2019·湖南益阳市·高一期中）是定义在上的奇函数，当时，，则时,________．
【答案】
【解析】
【分析】
当时，，根据当时，，可得的表达式，进而根据是定义在上的奇函数，，得到结果.
【详解】
当时，，当时，，
所以，
又是定义在上的奇函数，
所以，
故答案是.
【点睛】
该题考查的是有关奇函数的解析式的求解问题，在解题的过程中，需要借助于题中所给的条件，以及奇函数的定义，从而求得结果，属于中档题目.
【变式训练4-1】．（（2021·江苏苏州市·吴江中学高一期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为_____．
【答案】；
【详解】
令
,则为偶函数,且
,当时,
为减函数
所以当时,
;当时,
;因此当时,
;当时,
,即不等式的解集为
点睛：利用函数性质解抽象函数不等式，实质是利用对应函数单调性，而对应函数需要构造.
例5．（2020·河北安平中学高一月考）已知是定义在上的奇函数，且当时,.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【详解】
试题分析：
（1）根据函数为奇函数可求得当时的解析式，写成分段函数的形式可得的解析式．（2）根据函数为奇函数可将原不等式化为，再根据单调性可得对恒成立，利用换元法求解，即令，可得对恒成立，由函数的最大值小于等于0可得结果．
试题解析：
（1）当时，则,∴，
∵是奇函数，∴．
又当时，
，∴
．
（2）由，
可得．
∵是奇函数，
∴.
又是减函数，所以对恒成立.
令，∴对恒成立.
令，
，
∴，解得．∴实数的取值范围为．
【变式训练5-1】．（．（2020·合肥一六八中学高一期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据函数奇偶性可得且；当时，，根据可求得，又满足，可得分段函数解析式；（2）由解析式可得函数的图象，根据图象可得不等式，解不等式求得取值范围.
【详解】
（1）是定义在上的奇函数
且
当时，
又满足
（2）由（1）可得图象如下图所示：
在区间上单调递增
，解得：
的取值范围为：
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限.
例6．（2019·长沙市明德中学高一月考）已知定义在上的函数满足：①
对任意，，有.②当时，且.
（1）求证：；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）解不等式.
【答案】(1)证明见解析；(2)是奇函数；(3).
【解析】
试题分析：（1）赋值法，令x=y=0可证得f（0）=0；（2）令y=﹣x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；（3）设x1＜x2，由主条件构造f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）由x＜0时f（x）＞0可证得函数的单调性，然后化简不等式，利用单调性去掉“f”，从而可求出不等式的解集．
试题解析：
（1）证明：令，，
∴，
（2）令，
∴
∴.
∴函数是奇函数.
（3）设，则，
∴
∴为上减函数.
∵，.
∴即.
∴不等式的解集为.
【变式训练6-1】．（2019·安徽省桐城中学高一月考）定义在上的函数满足：对任意的，都有．
（）求的值；
（）若当时，有，求证：在上是单调递减函数；
（）在（）的条件下解不等式：．
【答案】（）；（）证明见解析；（）．
【分析】
（1）令，根据函数的性质可得．（2）先证明函数是奇函数，然后再根据函数单调性的定义证明在上是单调递减函数．（3）将原不等式化为化为，根据函数的单调性和定义域得到关于的不等式组，解不等式组即可．
【详解】
（）令，
则，
∴．
（）令，则，
∴，
∴是奇函数．
设，且，
则．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴
，
∴
．
∴
在上是单调递减函数．
（）不等式可化为．
∵
在上是减函数，
∴，
解得，
∴原不等式的解集为．
【点睛】
（1）解答抽象函数问题时，一是要注意赋值法的运用，二是要灵活运用所给的函数的性质求解．
（2）在根据函数的单调性去掉不等式中的函数符号时，往往忽视定义域，解题时一定要注意这一点，避免出现错误．
【变式训练6-2】．（2019·安徽阜阳市·高一月考）已知函数对任意实数x、y恒有，当x>0时，f(x)<0，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)求在区间[-3,3]上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数（2）6（3）或者
【分析】
（1）令x＝y＝0?f（0）＝0，再令y＝﹣x，?f（﹣x）＝﹣f（x）；
（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，结合条件用单调性的定义证明函数f（x）为R上的增函数，从而得到在区间[-3,3]上的最大值；
（3）根据函数f（x）≤m2﹣2am﹣2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f（x）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．
【详解】
（1）取x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）；则f（0）=0；
取y=﹣x，则f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)，
∴f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R恒成立
∴f(x)为奇函数；
（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0；∴f（x2）+f(﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0；
∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），
又∵f（x）为奇函数，
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；
∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）
而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6；
∴f（﹣3）=﹣f（3）=6；
∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为6；
（3）由（2）可知函数在的最大值为
所以要使对所有的恒成立
只需要
即对所有恒成立
令，则即解得
所以实数的取值范围是
【点睛】
本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．
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