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专题12
函数的奇偶性
一、考情分析
二、经验分享
【知识点一、函数的奇偶性】
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f（x）就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f（x）就叫做奇函数．
名师解读：函数具有奇偶性的条件
（1）①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；
②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定是否等于．
（2）分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．
（3）若奇函数的定义域包括，则．
【知识点二、函数的奇偶性的图像特征】
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以___________为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于___________对称，则这个函数是偶函数．
名师解读：奇、偶函数的单调性
根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：
（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．
（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
名师解读：性质法判断函数的奇偶性
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
三、题型分析
(一)
证明或判断函数的奇偶性
例1．（2020·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）
【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数.
【分析】
（1）函数的定义域为不关于原点对称，非奇非偶；
（2）函数的定义域是且，既是奇函数又是偶函数；
（3）定义域关原点对称，偶；
（4）定义域关原点对称，奇函数．
【详解】
（1）由得，∴函数的定义域为，
不关于原点对称．故既不是奇函数也不是偶函数．
（2）由得，即．
∴函数的定义域是，关于原点对称．
又，∴既是奇函数又是偶函数．
（3）函数的定义域为，关于原点对称．
又∵，
∴是偶函数．
（4）当时，，则
，
当时，，则
综上，对，都有．
∴为奇函数．
【变式训练1-1】．（2020·上海高一专题练习）判断下列函数的奇偶性．
（1）；　
　　　　　
（2）
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
【答案】（1）既奇又偶函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）偶函数.
【分析】
首先判断定义域是否关于原点对称，如果不对称，是非奇非偶的函数；如果对称，再由奇偶函数的定义判断．
【详解】
解：（1）因为，所以，解得，即函数的定义域为，所以，
为既奇又偶函数；
（2）定义域为，，
为偶函数；
（3）因为，所以，即且，故函数的定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数；
（4）因为，所以解得或，故函数的定义域为，所以，所以，故为奇函数；
（5）因为，定义域关于原点对称，时；时，，所以为奇函数；
（6）定义域关于原点对称，时；时，，所以为偶函数；
例2．（1）（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）函数是偶函数（
）
A．对
B．错
【答案】A
【分析】
根据偶函数的定义直接判断即可.
【详解】
由，得且，所以函数的定义域为且，
又，所以函数是偶函数.
故选：A
【点睛】
方法点睛：利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量．
（2）．（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
【变式训练2-1】（2021·浙江高二期末）若函数为奇函数，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．
【答案】A
【分析】
首先根据奇函数的定义域必须关于原点对称求得，再验证时是否满足题意，最后求解.
【详解】
因为函数为奇函数，
所以定义域必须关于原点对称，
由题意得：即，
所以，
又当时，
满足，函数是奇函数.
所以成立
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性求函数的解析式，在判断奇偶性时一定要贯彻定义域优先原
【变式训练2-2】（2021·全国高三专题练习）下列函数中，是偶函数且值域为的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
通过函数的性质依次分析选项中的奇偶性和值域即可.
【详解】
解：对于A：，为偶函数，但值域为，故A不正确；
对于B：定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故B不正确；
对于C：定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故C不正确；
对于D：为偶函数，且值域为，故D正确；
故选：D.
【变式训练2-3】．（2021·云南省大姚县第一中学高一期末）给出函数，则下列说法正确的是（
）．
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的图像关于原点中心对称
D．函数的图像关于直线轴对称
【答案】C
【分析】
根据函数的定义域和值域的求法，以及奇偶性的判断，逐项分析判断即可得解.
【详解】
∵函数，则，解得且，
∴，做函数图像如图，
∴定义域为，A选项错，
∴值域为，B选项错，
∴的图像关于原点成中心对称，C选项对，
∴的图像不关于轴对称，D选项错，
故选：C．
(二)
函数奇偶性的应用
例3．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））函数的部分图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据函数解析式知：定义域为，，，当时有，应用排除法即可.
【详解】
根据题意，，其定义域为，
由，即函数为奇函数，排除D，
由，排除A，
当时，，排除C，
故选：B.
【变式训练3-1】．（2021·兰州市第二十七中学高三月考（文））函数的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由得出函数是奇函数，再求得，，运用排除法可得选项.
【详解】
法一：由函数，则，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除B；
因为，所以排除D；
因为，所以排除C，
故选：A.
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
【变式训练3-2】．（2021·全国高三专题练习）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用函数的单调性、奇偶性，结合函数不等式得，即可求的范围.
【详解】
偶函数在区间上单调递增，则在区间上单调递减，
若满足，则，可得，
∴，即.
故选：A.
例4．（1）（2019·张家港高级中学高二月考（文））已知偶函数在上是增函数，则不等式的解集是________．
【答案】
【分析】
利用偶函数的性质化为，再利用单调性去掉法则“f”即可得解.
【详解】
因是R上偶函数，则，而
而在上是增函数，于是得，
所以不等式的解集是.
故答案为：
（2）．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高一月考）已知)是R上的奇函数，且当时，，则的解析式_________．
【答案】
【分析】
函数是奇函数，根据奇函数的概念求出函数的解析式．
【详解】
解：（1）由题得，
设，则，
又是奇函数，，
故答案为：．
例5．（2021·浙江高一期末）函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定的解析式；
（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于t的不等式．
【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析；（3）.
【分析】
（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，又由（1），解可得的值，将、的值代入函数解析式即可得答案；
（2）根据题意，设，由作差法分析可得结论；
（3）由函数的奇偶性与单调性分析可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】
（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解可得；
又由（1），则有（1），解可得；
则；
（2）由（1）的结论，，在区间上为增函数；
证明：设，
则，
又由，
则，，，，
则，
则函数在上为增函数；
（3）根据题意，，
解可得：，
即不等式的解集为．
【点睛】
方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.
例6．（2021·全国高三专题练习（文））设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有．当时，．
（1）当时，求的解析式；
（2）计算的值．
【答案】（1）；（2）0.
【分析】
（1）根据奇偶性、周期性，利用代入法求解析式；
（2）根据周期性，计算一个周期内的和，再计算全部.
【详解】
（1）因为，所以．
所以是周期为4的周期函数．
当时，，由已知得，
又是奇函数，所以，所以．
当时，，所以，
又是周期为4的周期函数，
所以．
故当时，．
（2），，，，
又是周期为4的周期函数，
所以
，
所以．
【点睛】
（1）求函数解析式的方法：
①待定系数法；②代入法；③换元法；④列方程组法；
（2）求函数值通常由下列类型：
①直接求出；②利用奇偶性转化；③利用周期性转化；④分段函数求值.
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函数的奇偶性
一、考情分析
二、经验分享
【知识点一、函数的奇偶性】
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f（x）就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f（x）就叫做奇函数．
名师解读：函数具有奇偶性的条件
（1）①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；
②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定是否等于．
（2）分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．
（3）若奇函数的定义域包括，则．
【知识点二、函数的奇偶性的图像特征】
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以___________为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以___________为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于___________对称，则这个函数是偶函数．
名师解读：奇、偶函数的单调性
根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：
（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．
（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
名师解读：性质法判断函数的奇偶性
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
三、题型分析
(一)
证明或判断函数的奇偶性
例1．（2020·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）
【变式训练1-1】．（2020·上海高一专题练习）判断下列函数的奇偶性．
（1）；　
　　　　　
（2）
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
例2．（1）（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）函数是偶函数（
）
A．对
B．错
（2）．（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】（2021·浙江高二期末）若函数为奇函数，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．
【变式训练2-2】（2021·全国高三专题练习）下列函数中，是偶函数且值域为的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3】．（2021·云南省大姚县第一中学高一期末）给出函数，则下列说法正确的是（
）．
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的图像关于原点中心对称
D．函数的图像关于直线轴对称
(二)
函数奇偶性的应用
例3．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））函数的部分图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】．（2021·兰州市第二十七中学高三月考（文））函数的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
.
【变式训练3-2】．（2021·全国高三专题练习）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
例4．（1）（2019·张家港高级中学高二月考（文））已知偶函数在上是增函数，则不等式的解集是________．
（2）．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高一月考）已知)是R上的奇函数，且当时，，则的解析式_________．
例5．（2021·浙江高一期末）函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定的解析式；
（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于t的不等式．
例6．（2021·全国高三专题练习（文））设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有．当时，．
（1）当时，求的解析式；
（2）计算的值．
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