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专题14
指数与指数幂的运算
一、考情分析
二、基础知识
【知识点一、根式】
1．次方根的概念
一般地，如果____________，那么叫做的次方根，其中，．
2．次方根的性质
（1）当是____________时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，的次方根用符号表示．
（2）当是____________时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成．负数没有偶次方根．
（3）0的任何次方根都为0，记作．
3．根式的概念
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
4．根式的性质
根据次方根的意义，可以得到：
（1）；
（2）当为奇数时，；
（3）当为偶数时，．
【知识点二、实数指数幂】
1．分数指数幂
（1）我们规定正数的正分数指数幂的意义是．
于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式．
（2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且
．
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
2．有理数指数幂
规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：
（1）____________；
（2）____________；
（3）____________．
3．无理数指数幂
对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数．
一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4．分数指数幂与整数指数幂的区别与联系
分数指数幂和整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算，这是他们相同的部分．整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂不可以理解为个a相乘．
二、题型分析
1．分数指数幂与根式的转化
在解决根式与分数指数幂互化的问题时，应熟记根式与分数指数幂的转化公式．当要化简的根式为多重根式时，要搞清楚哪个是被开方数，由里向外用分数指数幂依次写出．
例1．（1）（2020·全国高一课时练习）的值是________.
【答案】－2
【分析】
根据指数运算，即可容易求得结果.
【详解】
因为，故可得.
故答案为：.
【点睛】
本体考查指数的运算，属简单题.
（2）．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中高一月考）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据指数的运算性质逐一判断即可.
【详解】
，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D.
（3）．（2021·全国高一课时练习）若有意义，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据，根据式子有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】
由，要使得有意义，则满足，解得，
即实数的取值范围为．
故选：B．
【变式训练1-1】．（2020·全国高一课时练习）已知，则化为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用根式的运算性质即可得出．
【详解】
解：原式．
故选：B．
【点睛】
本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【变式训练1-2】．（2020·全国高一单元测试）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据条件先分析的正负，然后根据的正负去掉根号得到结果.
【详解】
因为，所以，所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查根式的化简，难度较易.注意.
【变式训练1-3】．（2020·全国高一单元测试）若，，给出下列式子：①
；②
；③
；④．其中恒有意义的式子的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
根据根指数是偶数被开方数非负根式有意义，根指数是奇数被开方数是任何实数都有意义，即可判断①
②
③
④是否正确，进而可得正确答案.
【详解】
根据根指数是偶数时，被开方数非负，可知②无意义；
当时，，此时④无意义；
所以恒有意义的是①③，
故选：B
【变式训练1-4】．（2021·全国高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
直接利用根式与分数指数幂的互化法则判断.
【详解】
A.
，故错误；
B.
，故错误；
C.
,故正确；
D.
，故错误；
故选：C
2．指数幂的运算
进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
例2．（1）（2020·全国高一课时练习）化简所得的结果是（
）
A．5
B．10
C．20
D．25
【答案】B
【分析】
结合二次根式与指数幂的运算即可求解
【详解】
，
故选：B
【点睛】
本题考查根式与指数幂的运算求值，属于基础题
（2）．（2021·全国高一课时练习）化简·的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
结合指数幂的运算性质，可求出答案.
【详解】
由题意，可知，
∴·.
故选：A.
【变式训练2-1】．（2021·全国高一课时练习）设，则下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据指数的运算性质，直接判断即可得解.
【详解】
对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D错误.
故选：B.
【变式训练2-2】．（2021·全国高一课时练习）化简
(a>0，b>0)的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.
【详解】
故选：B
【变式训练2-3】．（2020·江苏高一课时练习）（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据指数的运算法则计算即可.
【详解】
解：原式=﹣
=
=
故选：A.
【变式训练2-4】．（2020·全国高一课时练习）计算的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用指数的运算法则以及零次幂求解即可.
【详解】
；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题.
例3．（2021·全国高一课时练习）求下列各式的值：
（1）．
（2）设，求
的值．
【答案】（1）89
（2）7
【分析】
(1)根据指数运算法则求解;
(2)将变形为,即可得解.
【详解】
(1)原式;
(2),
.
【点睛】
本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算,难度不大.
【变式训练3-1】．．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）6；（2）100；（3）.
【分析】
先把根式转化为指数幂，然后根据指数幂的运算法则运算即可.
【详解】
解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=.
【点睛】
考查根式与指数幂的转化以及指数幂的运算，基础题.
3．知值求值问题
带有附加条件的求值问题，一般不求出单个式子或未知数的值，而是利用整体思想，将所求式子转化为已知的式子．
例4．（1）（2020·全国高一课时练习）已知，则的值是（
）
A．15
B．12
C．16
D．25
【答案】A
【分析】
推导出，再由立方差公式得，从而求出结果．
【详解】
解：∵，
，
由立方差公式得，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查根式的化简、求值，考查有理数指数幂、根式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
（2）．（2020·江苏高一课时练习）已知函数，则________.
【答案】
【分析】
计算出的值，利用倒序相加法可计算得出所求代数式的值.
【详解】
，
设，
.
因此，.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用倒序相加法求和，计算出的值是解题的关键，本题在计算时应充分利用指数的运算法则得出，利用常用的运算技巧计算化简即可.
（3）．（2020·全国高一单元测试）计算=_______
【答案】
【分析】
利用指数幂的运算规则计算可得所求的结果.
【详解】
原式.
故答案为：.
【点睛】
本题考查指数幂的计算，此类问题，应该熟记指数幂的运算规则，本题属于容易题.
【变式训练4-1】．（2020·全国高一课时练习）___________.
【答案】
【分析】
根据指数幂的运算性质直接求解即可．
【详解】
解：原式
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查分数指数幂与根式，考查数学运算，属于基础题．
【变式训练4-2】．（2020·全国高一课时练习）已知，且，求.
【答案】
【分析】
根据题中条件，得到，，进而可求出结果.
【详解】
，，
，
.
【点睛】
本题主要考查指数幂的运算，属于常考题型.
例5．（2020·全国高一课时练习）计算化简
（1）
（2）．
（3）；
（4）
（5）
（6）．
（7）已知=3，求的值．
（8）（-）（3）（-2）
（9）2（-3）÷（-6）
（10）
（11）；
（12）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）0；（4）；（5）；（6）；（7）9；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）．
【分析】
由题意，根据实数指数幂的运算性质可得解.
【详解】
（1），
（2）．
（3）．
（4）
（5）原式
（6）原式．
(7)由，得，即x+2+x-1=9．∴x+x-1=7．
两边再平方得：x2+2+x-2=49，∴x2+x-2=47．∴=．
（8）（-）（3）（-2）==6x0y1=6y；
（9）2（-3）÷（-6）==x2y．
（10）原式．
（11）原式；
（12）若，则，，
故．
【变式训练5-1】．（2020·江苏高一课时练习）已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
．
【分析】
（1）根据计算即可；
（2）根据计算即可；
（3）由于，进而根据即可求解.
【详解】
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴；
（3）∵，，
∴
∴.
【点睛】
本题解题的关键在于合应用，，关系求解，考查运算求解能力，是基础题.
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指数与指数幂的运算
一、考情分析
二、基础知识
【知识点一、根式】
1．次方根的概念
一般地，如果____________，那么叫做的次方根，其中，．
2．次方根的性质
（1）当是____________时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，的次方根用符号表示．
（2）当是____________时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成．负数没有偶次方根．
（3）0的任何次方根都为0，记作．
3．根式的概念
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
4．根式的性质
根据次方根的意义，可以得到：
（1）；
（2）当为奇数时，；
（3）当为偶数时，．
【知识点二、实数指数幂】
1．分数指数幂
（1）我们规定正数的正分数指数幂的意义是．
于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式．
（2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且
．
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
2．有理数指数幂
规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：
（1）____________；
（2）____________；
（3）____________．
3．无理数指数幂
对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数．
一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4．分数指数幂与整数指数幂的区别与联系
分数指数幂和整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算，这是他们相同的部分．整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂不可以理解为个a相乘．
二、题型分析
1．分数指数幂与根式的转化
在解决根式与分数指数幂互化的问题时，应熟记根式与分数指数幂的转化公式．当要化简的根式为多重根式时，要搞清楚哪个是被开方数，由里向外用分数指数幂依次写出．
例1．（1）（2020·全国高一课时练习）的值是________.
（2）．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中高一月考）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（3）．（2021·全国高一课时练习）若有意义，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-1】．（2020·全国高一课时练习）已知，则化为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】．（2020·全国高一单元测试）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】．（2020·全国高一单元测试）若，，给出下列式子：①
；②
；③
；④．其中恒有意义的式子的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练1-4】．（2021·全国高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．指数幂的运算
进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
例2．（1）（2020·全国高一课时练习）化简所得的结果是（
）
A．5
B．10
C．20
D．25
（2）．（2021·全国高一课时练习）化简·的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】．（2021·全国高一课时练习）设，则下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】．（2021·全国高一课时练习）化简
(a>0，b>0)的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3】．（2020·江苏高一课时练习）（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-4】．（2020·全国高一课时练习）计算的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
例3．（2021·全国高一课时练习）求下列各式的值：
（1）．
（2）设，求
的值．
【变式训练3-1】．．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式
（1）；
（2）；
（3）.
3．知值求值问题
带有附加条件的求值问题，一般不求出单个式子或未知数的值，而是利用整体思想，将所求式子转化为已知的式子．
例4．（1）（2020·全国高一课时练习）已知，则的值是（
）
A．15
B．12
C．16
D．25
（2）．（2020·江苏高一课时练习）已知函数，则________.
（3）．（2020·全国高一单元测试）计算=_______
【变式训练4-1】．（2020·全国高一课时练习）___________.
【变式训练4-2】．（2020·全国高一课时练习）已知，且，求.
例5．（2020·全国高一课时练习）计算化简
（1）
（2）．
（3）；
（4）
（5）
（6）．
（7）已知=3，求的值．
（8）（-）（3）（-2）
（9）2（-3）÷（-6）
（10）
（11）；
（12）若，求的值．
【变式训练5-1】．（2020·江苏高一课时练习）已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）；
（3）．
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