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专题15
指数函数
考情分析
二、考点梳理
【知识点一、指数函数】
1．指数函数的概念
一般地，函数____________叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
2．指数函数的结构特征
（1）底数：大于零且不等于1的常数；
（2）指数：仅有自变量x；
（3）系数：ax的系数是____________．
【知识点二、指数函数的图象与性质】
1．一般地，指数函数的图象和性质如下表所示：
图象
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y=a?x与y=ax的图象关于y轴对称
过定点
过定点，即时，
单调性
在上是____________函数
在上是____________函数
函数值的变化情况
当时，；当时，
当时，；当时，．
2．指数函数中的底数对其图象的影响
指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0三、题型分析
重难点题型突破1．指数函数的概念
例1．（1）设则的大小关系是
A．
B．
C．
D．
（2）．已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（
）
A．(－1，5)
B．(－1，4)
C．(0，4)
D．(4，0)
（3）．若函数是指数函数，则（
）
A．
B．
C．或
D．且
【变式训练1-1】．若函数，且的图像恒过点P，则点P为________．
【变式训练1-2】．已知指数函数图像经过点，则_____.
例2．若函数是上的增函数，则实数的取值范围为__________．
【变式训练2-1】．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________．
重难点题型突破2．指数函数的图象
例3．函数的图像可能是（
）．
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】．函数的图象可能是
(　
　)
A．
B．
C．
D．
重难点题型突破3．与指数函数相关的定义域和值域问题
例4．（1）函数的定义域为______________．
（2）．函数在上的值域为_________.
【变式训练4-1】．若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．
【变式训练4-2】．函数的值域为______．
重难点题型突破4．指数函数单调性的应用
例5．（1）已知函数，则不等式的解集为(　　)
A．
B．
C．
D．
（2）．不等式的解集为__________．
【变式训练5-1】．不等式的解集为_______.
【变式训练5-2】．设，则，，的大小关系是______________
重难点题型突破5．复合函数
例6．（1）若关于的方程有解，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
（2）．函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-1】．函数在区间上的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．13
【变式训练6-2】．已知的单调递增区间是
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-3】．若函数的值域是，则的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
例7．已知．
（1）求的值域．
（2）若对任意和都成立，求的取值范围．
【变式训练7-1】．．已知函数．
（1）若函数在，上有最大值，求实数的值；
（2）若方程在，上有解，求实数的取值范围．
【变式训练7-2】函数，其中
（1）求的最大值与最小值；
（2）若存在使成立，求实数的范围.
【变式训练7-3】．已知，求的最小值与最大值．
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精品试卷·第
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专题15
指数函数
考情分析
二、考点梳理
【知识点一、指数函数】
1．指数函数的概念
一般地，函数____________叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
2．指数函数的结构特征
（1）底数：大于零且不等于1的常数；
（2）指数：仅有自变量x；
（3）系数：ax的系数是____________．
【知识点二、指数函数的图象与性质】
1．一般地，指数函数的图象和性质如下表所示：
图象
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y=a?x与y=ax的图象关于y轴对称
过定点
过定点，即时，
单调性
在上是____________函数
在上是____________函数
函数值的变化情况
当时，；当时，
当时，；当时，．
2．指数函数中的底数对其图象的影响
指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0三、题型分析
重难点题型突破1．指数函数的概念
例1．（1）设则的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
由在区间是单调减函数可知，，又，故选.
考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.
（2）．已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（
）
A．(－1，5)
B．(－1，4)
C．(0，4)
D．(4，0)
【答案】A
【分析】
令，即可求出定点坐标；
【详解】
当，即时，，为常数，
此时，即点P的坐标为(－1，5).
故选：A.
【点睛】
本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题.
（3）．若函数是指数函数，则（
）
A．
B．
C．或
D．且
【答案】B
【分析】
根据指数函数的定义列出关于a的方程，进行求解即可．
【详解】
由指数函数的定义，得，解得．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了根据函数是指数函数求参数范围，属于基础题.
【变式训练1-1】．若函数，且的图像恒过点P，则点P为________．
【答案】
【分析】
令x-1=0,得x=1,再把x=1代入函数解析式即得定点P的坐标.
【详解】
令x-1=0,得x=1,再把x=1代入得
y=1-2=-1,所以图像恒过定点（1，-1）.
故答案为
【点睛】
(1)本题主要考查指数函数的定点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)指数函数的图像过定点（0,1）.
【变式训练1-2】．已知指数函数图像经过点，则_____.
【答案】
【解析】
设指数函数为（且），由题意得，解得，所以，故．答案：．
例2．若函数是上的增函数，则实数的取值范围为__________．
【答案】[4,
【分析】
由两段函数都是增函数且分界点处两函数的单调性与整体保持一致，列不等式组可求实数的取取值范围.
【详解】
函数是上的增函数，
，
解得实数的取取值范围是，故答案为.
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.
【变式训练2-1】．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】
根据函数是上的增函数，则每一段都是增函数且左侧的函数值不大于右侧的函数值.
【详解】
函数是上的增函数，
函数，
解得.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查分段函数的单调性的应用，属于基础题.
重难点题型突破2．指数函数的图象
例3．函数的图像可能是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
试题分析：∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，
当时，∴，所以排除B，
当时，∴，所以排除C，故选D.
考点：函数图象的平移.
【变式训练3-1】．函数的图象可能是
(　
　)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
对进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案.
【详解】
①当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则A错误；
又时，，则函数过点，故B错误；
②当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则D错误；
又时，，则函数过点，故C正确；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了判断指数型函数的图象形状以及函数图象的变换，属于基础题.
重难点题型突破3．与指数函数相关的定义域和值域问题
例4．（1）函数的定义域为______________．
【答案】
【分析】
换元，得出，求出的范围，由此可得出的取值范围，即可得出函数的定义域.
【详解】
换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.
因此，函数的定义域为，故答案为.
【点睛】
本题考查函数定义域的求解，解题的关键利用换元法将指数不等式转化为二次不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.
（2）．函数在上的值域为_________.
【答案】
【分析】
令，原函数的值域等价于函数（）的值域，根据二次函数的性质计算可得.
【详解】
解：，令，因为，所以，
原函数的值域等价于函数（）的值域，
所以在上单调递增，上单调递减，，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查二次函数的性质及换元法求函数的值域，属于基础题.
【变式训练4-1】．若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．
【答案】（﹣∞，﹣2]
【分析】
根据函数的值域为，，等价于，是值域的子集，利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可．
【详解】
设，
若函数的值域为，，
则等价于，是值域的子集，
，
设，则，
则，
，
当对称轴，即时，不满足条件．
当，即时，则判别式△，
即，则，
即实数的取值范围是，.
故答案为：，
【点睛】
本题主要考查函数值域的应用，结合指数函数的性质利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．
【变式训练4-2】．函数的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】
令，则，利用二次函数的性质求解．
【详解】
解：令，则，
当时，；
当时，；
故函数，的值域为．
故答案为：[-4，0]．
【点睛】
本题考查函数的值域求法，运用换元法，属于基础题．
重难点题型突破4．指数函数单调性的应用
例5．（1）已知函数，则不等式的解集为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先判断函数的单调性，把转化为自变量的不等式求解.
【详解】
可知函数为减函数，由，可得，
整理得，解得，所以不等式的解集为．
故选B.
【点睛】
本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.
（2）．不等式的解集为__________．
【答案】（-1，4）
【解析】
分析：利用指数函数的单调性，转化为二次不等式问题.
详解：由可得：
∴，即
∴不等式的解集为（-1，4）
故答案为（-1，4）
点睛：本题考查指数型不等式的解法，解题关键是利用指数函数的单调性转化为一元二次不等式问题即可.
【变式训练5-1】．不等式的解集为_______.
【答案】(﹣1，2)
【分析】
利用指数函数的单调性求解即可
【详解】
由题则，故
故填(﹣1，2)
【点睛】
本题考查指数函数的单调性及指数运算，是基础题
【变式训练5-2】．设，则，，的大小关系是______________
【答案】
【分析】
利用指数函数的单调性和特殊点可得，再利用幂函数的单调性，由此求得，，的大小关系．
【详解】
解：由于函数在它的定义域上是减函数，．
由于函数
在它的定义域上是增函数，且，故有，
故，，的大小关系是，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，幂函数的单调性，属于基础题．
重难点题型突破5．复合函数
例6．（1）若关于的方程有解，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
可将看成的平方，等式两边同时除以，可得均值不等式的基本形式，再根据不等式的最值求解即可
【详解】
由，得（当且仅当时等号成立），解得
故选D
【点睛】
本题考查指数函数的值域代换问题，方程有解问题，基本不等式最值求解，同时考查了方程与不等式的转化思想
（2）．函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
令，可得，求出函数的对称轴，由二次函数的性质可得函数的值域.
【详解】
解：令，可得，
可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增，
当时，，故函数的值域为，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数的值域，解题的关键是利用换元法进行换元，根据指数函数的值域与二次函数的性质进行求解.
【变式训练6-1】．函数在区间上的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．13
【答案】B
【分析】
先令，得，再根据范围结合二次函数的性质，即可得解.
【详解】
解：令，，则原函数等价于，，
又二次函数的对称轴为，故最小值是，
即的最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查了指数函数的性质和二次函数的最值的求法，属于基础题.
【变式训练6-2】．已知的单调递增区间是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设，利用二次函数与指数函数的性质，根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论.
【详解】
设，则函数为减函数，
根据复合函数单调性之间的关系知，
要求函数的单调递增区间，
即求函数的递减区间，
的对称轴为，递减区间为，
则函数的递增区间为，故选D.
【点睛】
本题主要考查指数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增
增，减减
增，增减
减，减增
减）.
【变式训练6-3】．若函数的值域是，则的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
令，根据的值域是，得到的值域是，再利用二次函数的性质求得a，然后再利用复合函数的单调性求解.
【详解】
令
由于的值域是，所以的值域是
因此有，解得
这时，
由于的单调递减区间是，在R上递减；
所以的单调递增区间是
答案：A
【点睛】
方法点睛：1、复合函数
的值域的求法：令，则
的值域即原函数的值域；
2、复合函数
的单调性的求法：令，则
，先求定义域，
若这两个函数的单调性相同，则为增函数，在定义域内的增区间为的增区间，在定义域内的减区间为的减区间；
若这两个函数的单调性相异，则为减函数在定义域内的增区间为的减区间，在定义域内的减区间为的增区间；
例7．已知．
（1）求的值域．
（2）若对任意和都成立，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【分析】
（1）利用换元法，将函数转化为关于t的二次函数，根据t的取值范围求得函数的值域．
（2）根据恒成立条件，得到关于m的二次函数表达式；利用变换主元法看成关于a的函数表达式，进而求得m的取值范围．
【详解】
（1）令
原函数变为：
的值域为.
（2）
即
恒成立
令,
图象为线段，
则
解得.
【点睛】
本题考查了换元法及变换主元法在函数最值和取值范围中的综合应用，注意换元后的取值范围，属于中档题．
【变式训练7-1】．．已知函数．
（1）若函数在，上有最大值，求实数的值；
（2）若方程在，上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1），，，，，进而讨论与的关系求解；
（2），，令，，在有解，进而求解．
【详解】
解：（1），，，，，
①时，，解得（舍
②时，，解得，
；
（2），，令，
在有解，
当且仅当，即时等号成立，此时函数的图象如图，
时，取得最大值，
综上，．
【点睛】
本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题．
【变式训练7-2】函数，其中
（1）求的最大值与最小值；
（2）若存在使成立，求实数的范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）令，再利用二次函数配方即可求最值.
（2）将不等式转化为即可求解.
【详解】
（1），，
令，
则，
所以函数在区间上单调递减，
所以，
，
所以，
（2）若存在使成立，
只需，
由（1）可得.
【变式训练7-3】．已知，求的最小值与最大值．
【答案】最小值；最大值57
【解析】
试题分析：
试题解析：
,
∵,
∴.
则当,即时,有最小值；当,即时，有最大值57．
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