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专题16
对数
一、考情分析
二、基础知识
【知识点一、对数】
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数
x叫做以a为底
N的对数，记作_______，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
（2）常用对数：通常我们将以_______为底的对数叫做常用对数，并把记为lg
N．
（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2．718
28……为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把记为ln
N．
2．对数与指数的关系
当a>0，且a≠1时，．即
3．对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
（1）负数和零没有对数，即；
（2）1的对数等于0，即；
（3）底数的对数等于1，即．
【知识点二、对数的运算】
1．基本性质
若，则
（1）______；
（2）______．
2．对数的运算性质
如果，那么：
（1）；
（2）；
（3）．
【知识点三、换底公式及公式的推广】
1．对数的换底公式
．
【注】速记口诀：
换底公式真神奇，换成新底可任意，
原底加底变分母，真数加底变分子．
2．公式的推广
（1）（其中a>0且；b>0且）；
（2）（其中a>0且；b>0）；
（3）（其中a>0且；b>0）；
（4）（其中a>0且；b>0）；
（5）（其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0）．
三、题型分析
1．对数的概念
解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可．对数的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系．
例1．(1)（2021·全国高一课时练习）已知，则________.
(2)（2021·上海高一课时练习）求值：_________．
(3)（2021·上海高一课时练习）对数的运算性质：如果，那么_____________；
_____________；_____________.
【变式训练1-1】、（2021·上海）指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
【变式训练1-2】、（2021·浙江高二期末）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】、（2021·江西高三其他模拟（文））若，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．对数运算性质的应用
对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原则是：
（1）尽量将真数化为
“底数”一致的形式；
（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；
（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．运算时要灵活运用对数的相关公式求解，如
，等．
例2．（1）（2021·河南高二期末（文））已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2021·上海高一课时练习）下列计算中结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（3）．（2021·上海高一课时练习）计算：（1）_________．
（2）_________．
（3）_________．
（4）__________．
（5）__________．
例3．（2020·江苏）化简计算
(1);
(2).
【变式训练3-1】．（2020·全国高一单元测试）计算下列各式的值．
（1）；
（2）．
3．换底公式的应用
换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数．
例4．（2021·天津高考真题）若，则（
）
A．
B．
C．1
D．
【变式训练4-1】、（2021·全国高一课时练习）的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】、（2021·黎川县第一中学高二期末（文））已知，，则______．
4．对数方程的求解
解对数方程时，（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；（2）化简后得到关于简单对数式的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解．
例5．（2021·全国高一课时练习）方程的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-1】、（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）方程的解为___________．
【变式训练5-2】、（2021·全国高一课时练习）设实数满足，则________．
5．比较大小
例6．（2021·双峰县第一中学高二期末）已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-1】、（2021·全国高三其他模拟（理））已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．对数的实际应用
例7．（2021·河南新乡市·新乡县一中高二期末（文））20世纪30年代，查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差).当地震发生时，震源中心以地震波的形式放出的能量的指示参数，震级越大，震源放出的能量就越大.1989年美国旧金山地震中，一个测震仪记录的最大振幅为8000，此时的标准地震的振幅是0.0001，则预计此次地震震源放出的能量(单位：焦耳)约为(，)（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-1】、（2021·宁夏银川市·银川二中高二期末（文））牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度℃，环境温度℃，常数，大约经过多少分钟水温降为40℃？（结果保留整数，参考数据：）（
）
A．9
B．8
C．7
D．6
例8．（2020·全国高一单元测试）2013年9月22日，为应对台风“天兔”侵袭，我校食堂做好了充分准备，储备了至少三天的食物，食物在储藏时，有些易于保存，而有些却需要适当处理，如牛奶等，它们的保鲜时间会因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192时，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42时.
（1）写出保鲜时间（单位：时）关于储藏温度（单位：℃）的函数解析式；
（2）请运用（1）的结论计算，若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为多少？（精确到整数）.（参考数据：）
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专题16
对数
一、考情分析
二、基础知识
【知识点一、对数】
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数
x叫做以a为底
N的对数，记作_______，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
（2）常用对数：通常我们将以_______为底的对数叫做常用对数，并把记为lg
N．
（3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2．718
28……为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把记为ln
N．
2．对数与指数的关系
当a>0，且a≠1时，．即
3．对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
（1）负数和零没有对数，即；
（2）1的对数等于0，即；
（3）底数的对数等于1，即．
【知识点二、对数的运算】
1．基本性质
若，则
（1）______；
（2）______．
2．对数的运算性质
如果，那么：
（1）；
（2）；
（3）．
【知识点三、换底公式及公式的推广】
1．对数的换底公式
．
【注】速记口诀：
换底公式真神奇，换成新底可任意，
原底加底变分母，真数加底变分子．
2．公式的推广
（1）（其中a>0且；b>0且）；
（2）（其中a>0且；b>0）；
（3）（其中a>0且；b>0）；
（4）（其中a>0且；b>0）；
（5）（其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0）．
三、题型分析
1．对数的概念
解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可．对数的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系．
例1．(1)（2021·全国高一课时练习）已知，则________.
【答案】
【分析】
由已知可得，即可求出.
【详解】
因为，所以，
所以.
故答案为：.
(2)（2021·上海高一课时练习）求值：_________．
【答案】
【分析】
利用对数运算性质计算即可
【详解】
故答案为：
(3)（2021·上海高一课时练习）对数的运算性质：如果，那么_____________；
_____________；_____________.
【答案】
【分析】
直接根据对数的运算性质填写答案即可；
【详解】
解：，，
故答案为：；；
【变式训练1-1】、（2021·上海）指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
【答案】
【分析】
利用指对数的等价关系即可得出.
【详解】
.
故答案为：，，，.
【变式训练1-2】、（2021·浙江高二期末）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据幂的运算及对数的运算法则计算可得；
【详解】
解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D
【变式训练1-3】、（2021·江西高三其他模拟（文））若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由指数与对数关系可表示出，根据对数运算法则化简可求得结果.
【详解】
由得：，
.
故选：B.
2．对数运算性质的应用
对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原则是：
（1）尽量将真数化为
“底数”一致的形式；
（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；
（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．运算时要灵活运用对数的相关公式求解，如
，等．
例2．（1）（2021·河南高二期末（文））已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先将化为，然后利用换底公式和对数的运算性质对化简变形即可得答案
【详解】
解：由，得，
因为，
所以，
故选：D
（2）．（2021·上海高一课时练习）下列计算中结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；
【详解】
解：对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：A
（3）．（2021·上海高一课时练习）计算：（1）_________．
（2）_________．
（3）_________．
（4）__________．
（5）__________．
【答案】1
）
【分析】
（1）利用对数的运算及换底公式得解；
（2）利用对数的运算性质即可得解；
（3）利用对数的运算性质及换底公式即可得解；
（4）利用对数的运算性质即可得解；
（5）先利用对数的运算性质计算，即可求解。
【详解】
（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）
所以原式
故答案为：1，，，，
例3．（2020·江苏）化简计算
(1);
(2).
【答案】（1）；（2）．
【分析】
(1)根据分数指数幂的运算性质直接求解即可；(2)根据对数的运算性质直接求解即可．
【详解】
(1)
．
(2)
.
【点睛】
方法点睛：对于对数的运算有两种处理方法：
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
【变式训练3-1】．（2020·全国高一单元测试）计算下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）1．
【分析】
（1）利用分数指数幂的性质计算即可求解；
（2）利用对数的运算性质和法则即可求解.
【详解】
（1）
；
（2）
＝．
3．换底公式的应用
换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数．
例4．（2021·天津高考真题）若，则（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】
由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】
，，
.
故选：C.
【变式训练4-1】、（2021·全国高一课时练习）的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据对数的运算性质可求出结果.
【详解】
原式＝.
故选：C
【变式训练4-2】、（2021·黎川县第一中学高二期末（文））已知，，则______．
【答案】15
【分析】
利用指数式与对数式的关系求出，然后利用对数的运算性质求解即可
【详解】
由，得，，则，．
所以，所以．
故答案为：15
4．对数方程的求解
解对数方程时，（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；（2）化简后得到关于简单对数式的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解．
例5．（2021·全国高一课时练习）方程的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
通过对数运算性质转化为一元二次方程即可求解.
【详解】
，
∴．
设，则，解之得：．
∴或，解之得：或．
经检验，和均符合题意，∴该方程的解集是．
故选：B
【变式训练5-1】、（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）方程的解为___________．
【答案】
【分析】
结合对数运算以及指数运算，解方程求得的值.
【详解】
依题意，
，
，
，
，
即或，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去.
所以.
故答案为：
【变式训练5-2】、（2021·全国高一课时练习）设实数满足，则________．
【答案】或2
【分析】
结合对数的换底公式整理得，求出，结合对数和指数式的互化即可求出.
【详解】
由于，所以原式转化为，
即，解得或，所以或．
故答案为:
或2.
5．比较大小
例6．（2021·双峰县第一中学高二期末）已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用对数性质比较的大小关系，即得的关系.
【详解】
由对数运算公式得，，，
，易知，即，
故.
故选：A.
【变式训练6-1】、（2021·全国高三其他模拟（理））已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先由对数的性质可得，，，然后利用作差法判断的大小即可
【详解】
首先，，
因为，，所以，所以，因为，所以.
故选：A.
6．对数的实际应用
例7．（2021·河南新乡市·新乡县一中高二期末（文））20世纪30年代，查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差).当地震发生时，震源中心以地震波的形式放出的能量的指示参数，震级越大，震源放出的能量就越大.1989年美国旧金山地震中，一个测震仪记录的最大振幅为8000，此时的标准地震的振幅是0.0001，则预计此次地震震源放出的能量(单位：焦耳)约为(，)（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由题设震级的计算公式，应用对数运算求震级，根据条件计算此次地震震源放出的能量即可.
【详解】
∵，
∴焦耳.
故选：C
【变式训练7-1】、（2021·宁夏银川市·银川二中高二期末（文））牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度℃，环境温度℃，常数，大约经过多少分钟水温降为40℃？（结果保留整数，参考数据：）（
）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】C
【分析】
根据题设的温度冷却模型有，应用对数的运算性质即可求值.
【详解】
由题意知：分钟，
故选：C.
例8．（2020·全国高一单元测试）2013年9月22日，为应对台风“天兔”侵袭，我校食堂做好了充分准备，储备了至少三天的食物，食物在储藏时，有些易于保存，而有些却需要适当处理，如牛奶等，它们的保鲜时间会因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192时，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42时.
（1）写出保鲜时间（单位：时）关于储藏温度（单位：℃）的函数解析式；
（2）请运用（1）的结论计算，若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为多少？（精确到整数）.（参考数据：）
【答案】（1）；（2）14℃.
【分析】
（1）运用代入法进行求解即可；
（2）由（1）的函数解析式，根据题意得到不等式，利用换底公式进行求解即可.
【详解】
（1）设（且），则有，，.
（2）依题意有，
若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为14℃.
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