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专题17
对数函数
一、基础知识
二、基础知识
【知识点一、对数函数】
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_____．
2．对数函数的结构特征
（1）对数符号前面的系数是1；
（2）对数的底数是不等于1的正实数（常数）；
（3）对数的真数仅有自变量x．
【知识点二、对数函数的图象与性质】
1．一般地，对数函数的图象和性质如下表所示：
图象
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
过定点
过定点，即时，
单调性
在上是___函数
在上是___函数
函数值的变化情况
当时，；当时，
当时，；当时，
【注】速记口诀：
对数增减有思路，函数图象看底数；
底数只能大于0，等于1了可不行；
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减；
无论函数增和减，图象都过（1，0）点．
2．对数函数中的底数对其图象的影响
在直线x=1的右侧，当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0二、题型分析
1．与对数函数有关的函数的定义域和值域
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．同时还要注意偶次方根的被开方数非负，分母不能为零等．
求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围．
例1．（1）（贵州省高中新课程2020—2021学年高二会考试数学试题）函数的图象经过（
）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（0，0）
D．（2，0）
（2）．（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
（3）．（2021·河南高一期中（文））函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-1】．（2021·江苏高二月考）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】．（2021·全国高一课时练习）已知对数式（Z）有意义，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
例2．（2020·湖北武汉二中高一期末）若函数的值域为R，则实数m的取值范围是_________．
【变式训练2-1】．（2021·上海高一专题练习）若函数过定点，则定点的坐标为______.
2．对数函数的图象
对数函数的图象过定点（1，0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标．
当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快．也可作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
例3．（1）（2021·吉林长春市·高三其他模拟（理））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
（2）．（2021·甘肃高三其他模拟（理））函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】．（2021·安徽高三其他模拟（理））函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】．（2021·浙江高二期末）已知函数，则函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
3．对数函数单调性的应用
（1）比较对数式的大小：若比较同底数的两个对数式的大小，可直接利用对数函数的单调性；若比较底数不同、真数相同的两个对数式的大小，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；若比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助1，0等中间量进行比较．
（2）解简单的对数不等式：形如的不等式，常借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况进行讨论；形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解．
例4．（2019·镇江市实验高级中学高一月考）若函数在上为减函数，则a取值范围是___________.
【变式训练4-1】．（2021·全国高三其他模拟）已知不为的正实数满足则下列不等式中一定成立的是
_____.（将所有正确答案的序号都填在横线上）
①；②
；③；④；⑤．
【变式训练4-2】．（2020·贵州高二学业考试）函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，则a的值是（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
例5．（1）（2021·河南新乡县一中高二期末（文））已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2021·宁夏银川二中高二期末（理））设，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-1】．（2021·安徽高三二模（理））已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】．（2021·石嘴山市第三中学高三其他模拟（文））已知，，，则a，b，c的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
4．对数型复合函数的性质及其应用
（1）对数复合函数的单调性
复合函数y=f[g（x）]是由y=f（x）与y=g（x）复合而成，若f（x）与g（x）的单调性相同，则其复合函数f[g（x）]为增函数；若f（x）与g（x）的单调性相反，则其复合函数f[g（x）]为减函数．
对于对数型复合函数y=logaf（x）来说，函数y=logaf（x）可看成是y=logau与u=f（x）两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．
（2）对于形如y=logaf（x）（a>0，且a≠1）的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成y=logau，u=f（x）两个函数；
②求f（x）的定义域；
③求u的取值范围；
④利用y=logau的单调性求解．
例6．（1）（2021·重庆南开中学高二期末）函数的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2021·湖北高一期中）函数的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
例7．（2021·湖南高三月考）已知函数（且），．
（1）若，求的取值范围；
（2）求不等式的解集．
【变式训练7-1】．（2021·福建高二期末）已知函数(a>0且a≠1).
（1）若a>1，求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)的最小值为，求a的值.
例8．（2021·江苏高考真题）已知函数的定义域是.
（1）求实数的取值范围;
（2）解关于的不等式.
【变式训练8-1】．（2021·全国高一单元测试）已知函数．
（1）当时，求该函数的值域；
（2）求不等式的解集；
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精品试卷·第
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页
（共
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专题17
对数函数
一、基础知识
二、基础知识
【知识点一、对数函数】
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_____．
2．对数函数的结构特征
（1）对数符号前面的系数是1；
（2）对数的底数是不等于1的正实数（常数）；
（3）对数的真数仅有自变量x．
【知识点二、对数函数的图象与性质】
1．一般地，对数函数的图象和性质如下表所示：
图象
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
过定点
过定点，即时，
单调性
在上是___函数
在上是___函数
函数值的变化情况
当时，；当时，
当时，；当时，
【注】速记口诀：
对数增减有思路，函数图象看底数；
底数只能大于0，等于1了可不行；
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减；
无论函数增和减，图象都过（1，0）点．
2．对数函数中的底数对其图象的影响
在直线x=1的右侧，当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0二、题型分析
1．与对数函数有关的函数的定义域和值域
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．同时还要注意偶次方根的被开方数非负，分母不能为零等．
求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围．
例1．（1）（贵州省高中新课程2020—2021学年高二会考试数学试题）函数的图象经过（
）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（0，0）
D．（2，0）
【答案】C
【分析】
利用的对数等于0求解.
【详解】
解方程，得.
所以函数的图象过定点.
故选：C.
（2）．（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据对数的真数大于零求解即可.
【详解】
由，得，所以函数的定义域为.
故选：C
（3）．（2021·河南高一期中（文））函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据函数解析式，列出不等式组，解不等式组，即可得到函数的定义域.
【详解】
要使函数有意义，只需，即，解得或．
故选：．
【变式训练1-1】．（2021·江苏高二月考）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据偶次方根的被开方数非负、对数的真数大于零，以及对数函数的性质解得即可；
【详解】
解：因为，所以，即，所以，解得，即函数的定义域为
故选：C
【变式训练1-2】．（2021·全国高一课时练习）已知对数式（Z）有意义，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可.
【详解】
由题意可知:，解之得:且.
∵Z，∴的取值范围为.
故选：C.
例2．（2020·湖北武汉二中高一期末）若函数的值域为R，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
因为函数的值域为R，所以真数能取到大于0的一切实数，分类讨论和两种情况讨论，再取并集即可.
【详解】
令，由题意得出真数能取到大于0的一切实数.
①当时，，函数为，此时函数的值域为，不符合题意；
②当时，则有，解得：.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：本题考查利用二次不等式在实数集上恒成立求参数的取值范围，解题时要对首项系数的符号以及判别式的符号进行分析，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
【变式训练2-1】．（2021·上海高一专题练习）若函数过定点，则定点的坐标为______.
【答案】
【分析】
结合过定点，令得到，再带入函数解析式求得，即可求得点的坐标.
【详解】
因为过定点，所以令，即，此时，所以定点的坐标为，
故答案为：
2．对数函数的图象
对数函数的图象过定点（1，0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标．
当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快．也可作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
例3．（1）（2021·吉林长春市·高三其他模拟（理））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】B
【分析】
根据对数函数图象特征及与图象的关于轴对称即可求解.
【详解】
解：由对数函数图象特征及与的图象关于轴对称，
可确定②不是已知函数图象.
故选：B.
（2）．（2021·甘肃高三其他模拟（理））函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据函数图象的变换，求得函数，根据当时，得到，可排除A、B；当时，得到，可排除C，进而求解.
【详解】
由题意，可得，其定义域为，
当时，，函数，
故排除A、B选项；
当时，0，故函数，故排除C选项；
当时，函数，
该函数图象可以看成将函数的图象向右平移一个单位得到，选项D符合.
故选：D.
【变式训练3-1】．（2021·安徽高三其他模拟（理））函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由时的单调性排除一个选项，得正确选项．
【详解】
易知是非奇非偶函数，所以排除选项A，C；
当x>0时，单调递増?所以排除选项B.
故选：D．
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
【变式训练3-2】．（2021·浙江高二期末）已知函数，则函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据定义域和零点进行排除，即可判断结果.
【详解】
由可得，排除C，
令，则，所以函数只有一个零点，故排除B
、D两项，
故选：A
3．对数函数单调性的应用
（1）比较对数式的大小：若比较同底数的两个对数式的大小，可直接利用对数函数的单调性；若比较底数不同、真数相同的两个对数式的大小，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；若比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助1，0等中间量进行比较．
（2）解简单的对数不等式：形如的不等式，常借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况进行讨论；形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解．
例4．（2019·镇江市实验高级中学高一月考）若函数在上为减函数，则a取值范围是___________.
【答案】
【分析】
令，且
，，由是增函数且恒成立，列出关于的不等式组并解之即可.
【详解】
令，且
，，
因为函数在上是减函数且在上是减函数，
所以是增函数且恒成立，
即，解之得的取值范围是.
故答案为：.
【变式训练4-1】．（2021·全国高三其他模拟）已知不为的正实数满足则下列不等式中一定成立的是
_____.（将所有正确答案的序号都填在横线上）
①；②
；③；④；⑤．
【答案】④⑤.
【分析】
根据对数函数单调性先分析出的大小关系，然后结合函数性质以及不等式的性质逐项分析.
【详解】
因为且不为，由对数函数的单调性可知，
①当时，，所以，故①不一定成立；
②因为，由指数函数的单调性可知,故②不成立；
③当时，，所以，故③不一定成立；
④因为，所以，故④一定成立；
⑤因为，所以，故⑤一定成立；
故答案为：④⑤.
【变式训练4-2】．（2020·贵州高二学业考试）函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，则a的值是（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】
由题意可得，从而可求出a的值，
【详解】
解：因为，所以函数在区间[1，3]上为增函数，
因为函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，
所以，解得，
故选：C
例5．（1）（2021·河南新乡县一中高二期末（文））已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
运用指对数函数的知识判断出的范围即可.
【详解】
因为，，，
所以，故.
故选：C
（2）．（2021·宁夏银川二中高二期末（理））设，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用指数函数、对数函数的性质并借助中间数即可得解.
【详解】
因，则，
函数在上单调递增，，于是有，即，
函数在R上单调递增，，则，即，
所以的大小关系是.
故选：D
【变式训练5-1】．（2021·安徽高三二模（理））已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
直接利用对数函数的性质比较大小即可.
【详解】
，，，，
.
故选：C.
【点睛】
知识点点睛：当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.
【变式训练5-2】．（2021·石嘴山市第三中学高三其他模拟（文））已知，，，则a，b，c的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据指对数的性质，比较指数式、对数式的大小.
【详解】
，
∴.
故选：A.
4．对数型复合函数的性质及其应用
（1）对数复合函数的单调性
复合函数y=f[g（x）]是由y=f（x）与y=g（x）复合而成，若f（x）与g（x）的单调性相同，则其复合函数f[g（x）]为增函数；若f（x）与g（x）的单调性相反，则其复合函数f[g（x）]为减函数．
对于对数型复合函数y=logaf（x）来说，函数y=logaf（x）可看成是y=logau与u=f（x）两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．
（2）对于形如y=logaf（x）（a>0，且a≠1）的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成y=logau，u=f（x）两个函数；
②求f（x）的定义域；
③求u的取值范围；
④利用y=logau的单调性求解．
例6．（1）（2021·重庆南开中学高二期末）函数的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用换元法求解，先求出函数的定义域，然后换元，令，则，求出函数的单调区间，再利用“同增异减”可求得答案
【详解】
解：由，得，得或，
令（或），则，
因为二次函数在单调递减，在上单调递增，而在定义域内单调递增，
所以的单调递减区间为，
故选：A
（2）．（2021·湖北高一期中）函数的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案.
【详解】
由题意得的定义域为，设，
根据二次函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减，
又因为在为增函数，
根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为.
故选：D
例7．（2021·湖南高三月考）已知函数（且），．
（1）若，求的取值范围；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）
．
【分析】
（1）根据求出的值，由得出的范围，由对数函数的性质可得结果；
（2）由对数的性质可得，进而可得的范围.
【详解】
（1）函数（且），，
，函数．
若，，
故的取值范围为．
（2）不等式，即，，解得，
故不等式的解集为．
【变式训练7-1】．（2021·福建高二期末）已知函数(a>0且a≠1).
（1）若a>1，求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)的最小值为，求a的值.
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，（2）
【分析】
（1）首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断可得；
（2）令，则，根据对数函数的性质分类讨论计算可得；
【详解】
解：（1）因为，所以，解得，即函数的定义域为，
，
因为在上单调递增，在上单调递减，又，所以在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
（2）由（1）令，则，，当时，函数在上单调递增，函数不存在最小值，故舍去；
当时，函数在上单调递减，，所以，解得；
例8．（2021·江苏高考真题）已知函数的定义域是.
（1）求实数的取值范围;
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）本题可根据对数函数的性质得出恒成立，然后通过即可得出结果；
（2）本题首先可根据得出，然后通过计算即可得出结果.
【详解】
（1）因为函数的定义域是，
所以恒成立，
则，解得，的取值范围为.
（2），即，
因为，所以，即，解得，
故不等式的解集为.
【变式训练8-1】．（2021·全国高一单元测试）已知函数．
（1）当时，求该函数的值域；
（2）求不等式的解集；
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）令，化为关于的二次函数可求出结果；
（2）将看成整体解一元二次不等式可得或，再根据对数函数的单调性可解得结果.
【详解】
（1）令，，则，
则在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
所以当时，求该函数的值域为.
（2）不等式可化为，
分解因式得，
所以或，
所以或.
所以不等式的解集为或
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