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专题18
幂函数
一、考情分析
二、基础知识
【知识点一、幂函数】
1．幂函数的概念
一般地，函数是常数）叫做幂函数，其中是自变量，是常数．
2．幂函数的结构特征
幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：
（1）指数为常数；
（2）底数为自变量；
（3）系数为1．
3．幂函数与指数函数的区别与联系
函数
解析式
相同点
不同点
指数函数
右边都是幂的形式
指数是自变量，底数是常数
幂函数
底数是_______，指数是_______
【知识点二、幂函数的图象与性质】
1．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
过定点
过定点
过定点
【注】幂函数是常数）中，的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样．注意是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同．
2．幂函数是常数）的指数对图象的影响
（1）当_______时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；
（2）当_______时，函数图象向x轴弯曲，类似于的图象；
（3）当_______时，函数图象向y轴弯曲，类似于的图象，而且逆时针方向指数在增大．
具体如下：
α
α>1
0<α<1
α<0
图象
特殊点
过（0，0），（1，1）
过（0，0），（1，1）
过（1，1）
凹凸性
下凸
上凸
下凸
单调性
递增
递增
递减
举例
y=x2
、
3．常用结论
（1）幂函数在_______
上都有定义．
（2）幂函数的图象均过定点_______．
（3）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调_______．
（4）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调_______．
（5）幂函数在第四象限无图象．
三、题型分析
1．幂函数的定义
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足：
（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．
例1．（1）（2021·黑龙江鹤岗一中高二期末（理））已知幂函数的图象过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求的值
【详解】
解：设，则，得，
所以，
所以，
故选：D
（2）．（2019·贵州高二学业考试）已知幂函数y=xa的图像经过点（3，9），则a=________.
【答案】2
【分析】
将点的坐标代入函数解析式计算即可.
【详解】
由题意知，点在图像上，
所以，所以.
故答案为：2
（3）．（【新东方】【2021.5.25】【NB】【高一上】【高中数学】【NB00101】）幂函数的图像过点，则________．
【答案】3
【分析】
由幂函数的图像过点可得，即可得解.
【详解】
设幂函数，
由的图像过点，
所以，
所以，
，
，
故答案为：3.
【变式训练1-1】．（第06章幂函数、指数函数和对数函数（A卷基础篇）-2020-2021学年高一数学必修第一册同步单元AB卷（新教材苏教版））已知幂函数图像过点，则该幂函数的解析式是______________
【答案】
【分析】
设出幂函数的函数表达，然后代点计算即可.
【详解】
设，因为，所以，所以函数的解析式是．
故答案为：.
【变式训练1-2】．（2021·乌苏市第一中学高一开学考试）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为________.
【答案】
【分析】
由幂函数的定义求出的值，利用定点求出的值，代入函数，进而得出函数的单调递增区间．
【详解】
函数是幂函数，则，解得，
又，则，解得，即
令，解得，则的单调增区间为
故答案为：
【变式训练1-3】．（【新东方】【2021.5.25】【NB】【高一上】【高中数学】【NB00100】）若函数为幂函数，则实数的值为________；当此幂函数在单调递减，则实数的值为_________．
【答案】或
【分析】
由幂函数定义可知，由此解得或；将和分别代入，由单调性可确定结果.
【详解】
由幂函数定义知：，解得：或；
当时，，此时幂函数在单调递减；
当时，，此时幂函数在单调递增；
当幂函数在单调递减时，.
故答案为：或；.
【变式训练1-4】．（2021·广东高一期末）幂函数为偶函数且在区间上单调递减，则________，________.
【答案】或3
4
【分析】
根据题意可得：
【详解】
区间上单调递减，，
或3，
当或3时，都有，
，
.
故答案为：或3;
4.
2．幂函数的图象
要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：
（1）当的值在（0，1）上时，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴（简记为“指大图低”）；当的值在（1，+∞）上时，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
（2）任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限．
例2．（1）（2021·湖北高二学业考试）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据常见幂函数的图像即可得出答案.
【详解】
解：由图知：①表示，②表示，③表示，④表示.
故选：C.
（2）．（2021·湖南高一期末）已知三个函数的图象示，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据指数、对数、幂函数的图象特征即可求解.
【详解】
由指数函数图象可知，，
由幂函数的图象可知，，
由对数函数的图象可知，
故可得，
故选：C
【变式训练2-1】．（2021·内蒙古赤峰学院附属中学高一期末）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据和分类讨论可得．
【详解】
A中没有的图象，
时，只可能为B，B中另一图象不是的图象，不合；
时，的图象可能为C或D，D中另一图象是的图象，
故选：D．
【变式训练2-2】．（3.3幂函数（精练）-2020-2021学年一隅三反系列之高一数学新教材必修第一册（人教版A版））函数的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据函数的定义域和幂函数的性质可判断出结果．
【详解】
由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，
故选：A．
3．幂函数性质的应用
（1）幂函数的单调性主要用来比较指数相同、底数不同的幂的值的大小，这时需要注意幂函数的定义域和利用幂函数的奇偶性进行转化；
（2）与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等．
例3．（1）（2021·辽宁庄河高中高一开学考试）若幂函数的图象不经过坐标轴，则实数m的值为___________.
【答案】1或2
【分析】
由题意利用幂函数的定义和性质,即可求解.
【详解】
解：由题意得：，解得：m=1或2，
故答案为：1或2.
（2）．（2021·山东高一期末）已知，若幂函数在上单调递增，则______.
【答案】2
【分析】
根据单调性可得，则可得出所求.
【详解】
在上单调递增，，
，，则，
.
故答案为：2.
（3）．（2021·安徽高一开学考试）已知幂函数是偶函数，则________.
【答案】
【分析】
根据函数是幂函数，且为偶函数可求得实数的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.
【详解】
因为函数为幂函数，所以，解得或.
当时，，函数为奇函数，不合题意；
当时，，函数为偶函数，所以.
故答案为：.
【变式训练3-1】．（2021·沙坪坝区·重庆一中高一期末）已知幂函数在区间上单调递减，则___________.
【答案】
【分析】
根据幂函数定义求出值，再根据单调性确定结果．
【详解】
由题意，解得或，
又函数在区间上单调递减，则，∴．
故答案为：．
【变式训练3-2】．（2021·浙江省德清县第三中学高一开学考试）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________.
【答案】
【分析】
结合指数函数和幂函数的性质求解．
【详解】
时，，所以函数图象恒过定点．
故答案为：．
【变式训练3-3】．（2018·浙江高一期中）已知幂函数的图象经过点，则___，函数的定义域为____．
【答案】
【分析】
利用幂函数经过的点，求出幂函数的解析式
【详解】
幂函数的图象经过点，所以，．
所以幂函数为：，
故，
由，解得：，
故答案为，
【点睛】
本题考查了幂函数的定义，考查函数求值问题，是一道基础题．
例4．（2021·湖南高三其他模拟）若，，，则a，b，c的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数与幂函数的图象与性质确定的范围,对于需要借助中间数据进行比较，然后与比较大小即可.
【详解】
函数在R上是减函数，
，
又幂函数在上单调递增，，
，所以，
而函数是R上增函数，
，
故选：B.
【变式训练4-1】．（2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用指数函数、幂函数的性质，即可判断的大小.
【详解】
∵，
∴.
故选：A
【变式训练4-2】．（【新东方】【2021.5.25】【NB】【高一上】【高中数学】【NB00100】）设，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据指数函数与幂函数的单调性判断的大小关系.
【详解】
因为函数在上是增函数，所以，即，又因为函数在上是增函数，所以，所以，故.
故选：C
4．幂函数单调性的应用
（1）注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．
第一步，根据指数分清正负；
第二步，正数区分大于1与小于1的情况，a>1，α>0时，aα>1；00时，01，α<0时，01；
第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．
（2）给定一组数值，比较大小的步骤．
第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．
第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1．
第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．
第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底（化同指）、或放缩、有时作商（或作差）、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．
例5．（2020·贵州高二学业考试）下列函数中，
在区间（1，3）上为增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．y=x
【答案】D
【分析】
根据幂函数与指数函数的性质即可判定函数的单调性.
【详解】
根据幂函数的性质，当时，在区间上为减函数，当时，在区间上为增函数；当时，在区间上为增函数
结合四个选项：满足题意.
故选：D
【变式训练5-1】．（2021·天津高二期末）下列函数中，既是奇函数又是单调递增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据函数的奇偶性与单调性分别判断．
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，为奇函数，但在其区间上为减函数，不符合题意；
对于B，，其定义域为，不是奇函数，不符合题意；
对于C，，是偶函数不是奇函数，不符合题意；
对于D，，有，为奇函数，
又是增函数，是减函数，所以是增函数．满足题意．
故选：D．
例6．（1）（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）幂函数在为增函数，则的值是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】B
【分析】
由幂函数解析式的形式可构造方程求得或，分别验证两种情况下在上的单调性即可得到结果.
【详解】
为幂函数，，解得：或；
当时，，则在上为减函数，不合题意；
当时，，则在上为增函数，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
（2）．（2021·贵州省思南中学高三一模（理））已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.
【答案】，的取值范围为
【分析】
先根据幂函数的定义求出的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可.
【详解】
∵幂函数经过点，
∴，
即
∴=.解得=或=.
又∵，∴=.
∴，则函数的定义域为，并且在定义域上为增函数.
由得解得.
∴的取值范围为.
【点睛】
易错点睛：利用单调性解不等式注意定义域
例7．（【新东方】【2021.4.27】【宁波】【高一上】【高中数学】【00115】）已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求m的值；
（2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
（3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）由幂函数的定义，再结合单调性即得解.
（2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解.
（3）由（1）可得，根据二次函数的性质，分类讨论和两种情况，取并集即可得解.
【详解】
（1）由幂函数的定义得：，或，
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当时，在上单调递增，符合题意；
综上可知：.
（2）由（1）得：，
当时，，即，
当时，，即，
由命题是成立的必要条件，则，显然，则，即，
所以实数k的取值范围为：.
（3）由（1）可得，二次函数的开口向上，对称轴为，
要使在上单调递增，如图所示：
或
即或，解得：或.
所以实数k的取值范围为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查幂函数的定义及性质，必要条件的应用，已知函数的单调性求参数，理解是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集是解题的关键，考查学生的分析试题能力与分类讨论思想，及数形结合思想，属于较难题.
例8．（6.1幂函数（练习）-2020-2021学年上学期高一数学同步精品课堂（新教材苏教版必修第一册））已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据幂函数的定义可得，即可解得或5，根据为奇函数，即可确定m的值.
（2）由（1）可得，，令，，利用换元法，即可求得的值域，即可得答案.
【详解】
（1）∵函数为幂函数，
，解得或5，
当时，，为奇函数，
当时，，为偶函数，
函数为奇函数，；
（2）由（1）可知，，则，，
令，则，，
则，，
函数为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，函数，
当，函数取得最大值为1，
的值域为，故函数的值域为．
【点睛】
解题的关键是熟练掌握幂函数的定义，换元法求值域等知识，易错点为换元后，需写出t的范围，再根据t的范围，进行求值计算，属基础题.
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精品试卷·第
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专题18
幂函数
一、考情分析
二、基础知识
【知识点一、幂函数】
1．幂函数的概念
一般地，函数是常数）叫做幂函数，其中是自变量，是常数．
2．幂函数的结构特征
幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：
（1）指数为常数；
（2）底数为自变量；
（3）系数为1．
3．幂函数与指数函数的区别与联系
函数
解析式
相同点
不同点
指数函数
右边都是幂的形式
指数是自变量，底数是常数
幂函数
底数是_______，指数是_______
【知识点二、幂函数的图象与性质】
1．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
过定点
过定点
过定点
【注】幂函数是常数）中，的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样．注意是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同．
2．幂函数是常数）的指数对图象的影响
（1）当_______时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；
（2）当_______时，函数图象向x轴弯曲，类似于的图象；
（3）当_______时，函数图象向y轴弯曲，类似于的图象，而且逆时针方向指数在增大．
具体如下：
α
α>1
0<α<1
α<0
图象
特殊点
过（0，0），（1，1）
过（0，0），（1，1）
过（1，1）
凹凸性
下凸
上凸
下凸
单调性
递增
递增
递减
举例
y=x2
、
3．常用结论
（1）幂函数在_______
上都有定义．
（2）幂函数的图象均过定点_______．
（3）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调_______．
（4）当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调_______．
（5）幂函数在第四象限无图象．
三、题型分析
1．幂函数的定义
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足：
（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．
例1．（1）（2021·黑龙江鹤岗一中高二期末（理））已知幂函数的图象过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2019·贵州高二学业考试）已知幂函数y=xa的图像经过点（3，9），则a=________.
（3）．（【新东方】【2021.5.25】【NB】【高一上】【高中数学】【NB00101】）幂函数的图像过点，则________．
【变式训练1-1】．（第06章幂函数、指数函数和对数函数（A卷基础篇）-2020-2021学年高一数学必修第一册同步单元AB卷（新教材苏教版））已知幂函数图像过点，则该幂函数的解析式是______________
【变式训练1-2】．（2021·乌苏市第一中学高一开学考试）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为________.
【变式训练1-3】．（【新东方】【2021.5.25】【NB】【高一上】【高中数学】【NB00100】）若函数为幂函数，则实数的值为________；当此幂函数在单调递减，则实数的值为_________．
【变式训练1-4】．（2021·广东高一期末）幂函数为偶函数且在区间上单调递减，则________，________.
2．幂函数的图象
要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：
（1）当的值在（0，1）上时，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴（简记为“指大图低”）；当的值在（1，+∞）上时，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
（2）任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限．
例2．（1）（2021·湖北高二学业考试）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）．（2021·湖南高一期末）已知三个函数的图象示，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-1】．（2021·内蒙古赤峰学院附属中学高一期末）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】．（3.3幂函数（精练）-2020-2021学年一隅三反系列之高一数学新教材必修第一册（人教版A版））函数的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
3．幂函数性质的应用
（1）幂函数的单调性主要用来比较指数相同、底数不同的幂的值的大小，这时需要注意幂函数的定义域和利用幂函数的奇偶性进行转化；
（2）与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等．
例3．（1）（2021·辽宁庄河高中高一开学考试）若幂函数的图象不经过坐标轴，则实数m的值为___________.
（2）．（2021·山东高一期末）已知，若幂函数在上单调递增，则______.
（3）．（2021·安徽高一开学考试）已知幂函数是偶函数，则________.
【变式训练3-1】．（2021·沙坪坝区·重庆一中高一期末）已知幂函数在区间上单调递减，则___________.
【变式训练3-2】．（2021·浙江省德清县第三中学高一开学考试）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________.
【变式训练3-3】．（2018·浙江高一期中）已知幂函数的图象经过点，则___，函数的定义域为____．
例4．（2021·湖南高三其他模拟）若，，，则a，b，c的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-1】．（2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】．（【新东方】【2021.5.25】【NB】【高一上】【高中数学】【NB00100】）设，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
4．幂函数单调性的应用
（1）注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．
第一步，根据指数分清正负；
第二步，正数区分大于1与小于1的情况，a>1，α>0时，aα>1；00时，01，α<0时，01；
第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．
（2）给定一组数值，比较大小的步骤．
第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．
第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1．
第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．
第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底（化同指）、或放缩、有时作商（或作差）、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．
例5．（2020·贵州高二学业考试）下列函数中，
在区间（1，3）上为增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．y=x
【变式训练5-1】．（2021·天津高二期末）下列函数中，既是奇函数又是单调递增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
例6．（1）（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）幂函数在为增函数，则的值是（
）
A．
B．
C．或
D．或
（2）．（2021·贵州省思南中学高三一模（理））已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.
例7．（【新东方】【2021.4.27】【宁波】【高一上】【高中数学】【00115】）已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求m的值；
（2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
（3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围．
例8．（6.1幂函数（练习）-2020-2021学年上学期高一数学同步精品课堂（新教材苏教版必修第一册））已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
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精品试卷·第
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