资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题19
指数函数、对数函数与幂函数型复合函数
一、考情分析
二、重难点突破
知识点1
幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
知识点2.函数的周期性定义：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足
，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
①；
②；
③.
知识点3.对称轴与对称中心
①函数关于对称，
也可以写成
或
；
若写成：，函数关于直线
对称.
②函数关于点对称，
或
；
若写成：，函数关于点
对称.
三、题型分析
(一)
指数型复合函数
例1．（2019·江西省吉水县第二中学高一期中）函数f（x）=值域为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先求出指数的范围，结合指数函数单调性求出值域.
【详解】
令，为减函数，所以，结合可得C选项.
【点睛】
本题主要考查复合型函数的值域问题.主要思路是利用换元法把复合函数拆分为简单的初等函数，各个击破.
【变式训练1-1】．（2019·河南南阳中学高一月考）函数得单调递增区间是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
外层函数是减函数，求内层函数的单调减区间，还要注意定义域.
【详解】
令：
单调递减区间是
故选D
【点睛】
本题考查指数函数单调性与复合函数单调性的判断，复合函数的单调性判断方法：同增异减，但要注意定义域的确定.
例2．（【新东方】【2021.4.27】【宁波】【高一上】【高中数学】【00109】）函数（且）在区间上的最大值为8，求它在这个区间上的最小值．
【答案】
【分析】
令，将函数化为，分和两种情况讨论在区间上的最大值，进而求，再求出最小值.
【详解】
令，函数化为，对称轴为，开口向上，
当时，则，利用二次函数性质知，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最大值，即，解得，
此时函数的最小值为；
当时，则，利用二次函数性质知，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最大值，即，解得，
此时函数的最小值为，
综上可知，函数的最小值为.
故答案为：
【点晴】
方法点睛：本题主要考查了函数的最值问题，涉及到指数函数的图象与性质，二次函数的性质及应用本题的解答中换元后，灵活应用二次函数的图象与性质是解答问题的关键，考查学生分类讨论思想，及转化与化归思想的考查，属于中档题.
【变式训练2-1】．（2020·浙江高一期中）已知函数.
（1）若函数为奇函数，求的值，并求此时函数的值域；
（2）若存在，使，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根据奇函数性质，结合复合函数的单调性，即可得解；
（2）根据题意，分以及两种情况讨论，即可得解.
【详解】
（1）∵函数为奇函数，∴，∴.
∴，
∴为奇函数成立，∴.
此时，
由为增函数，根据同增异减原理可得在上单调递增，
∵，∴
∴，∴，
∴，∴
（2）.
①当时，恒大于等于1，故不成立.
②当即时，在上为增函数，且值域为.
（ⅰ）当即时，只要即可，
∴，∴.
（ⅱ）当即时，只需要，
∴.
综上所述，.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性和单调性，考查了分类讨论思想和较高的计算能力，属于较难题.
解决本类问题的关键有：
（1）复合函数的同增异减原理的应用；
（2）分类讨论等逻辑思维的综合应用.
(二)
对数型复合函数
例3．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）函数的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先求出的定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可.
【详解】
令,得f(x)的定义域为,根据复合函数的单调性规律,即求函数在上的减区间,根据二次函数的图象可知为函数的减区间.
故选B
【点睛】
本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型.
【变式训练3-1】．（2020·唐山市第十一中学高二期末）函数的单调增区间为_________.
【答案】
【详解】
额定义域为（0，1），令,则原函数可以写成
为增函数，原函数的增区间即是函数，(0,1)的增区间，
函数)的单调增区间是（0，）
【点睛】
复合函数求其单调区间运用同增异减，先看原函数的单调性，再看复合部分的单调性，从而得出最后的单调区间．
例4．（2021·上海高一专题练习）已知函数是奇函数（，且）.
（1）求的值；
（2）若时，的值域为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由是奇函数知在其定义域内恒成立，从而解出并检验；
（2）令，判断其在上的单调性，再分类讨论，利用复合函数的单调性得，当时，函数在区间上为增函数，当时，函数在区间上为减函数；最后利用的值域求出的值.
【详解】
解：（1）是奇函数，
在其定义域内恒成立，
即，
，
或（舍去），
．
（2）由（1）得（，且），
令在单调递减，，
而，
所以当时，函数在区间上为减函数，
值域为，与题意相违背，故舍去；
当时，函数在区间上为增函数；
值域为，
因为函数值域为，
所以，
所以.
总上所述：.
【变式训练4-1】．（2020·浙江省春晖中学高一期中）设函数是R上的奇函数，且当时，，，
（1）若，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（2）对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围；
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据奇函数的对称性推出函数在R上为增函数，根据奇函数性质将不等式化为恒成立，根据单调性化为恒成立，利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解;
（2）设，将问题转化为的值域是的值域的子集，而的值域为，所以的值域也为，再根据奇函数的对称性得到当时，的值域包含，利用对称轴和判别式可解得结果.
【详解】
（1）若，在时为增函数，
又因为函数是R上的奇函数，所以函数在R上为增函数，
所以恒成立可化为恒成立，所以恒成立，即恒成立；
因为，当且仅当时等号成立，所以，即，所以实数k的取值范围为．
（2）对任意的，总存在，使得，设，可知的值域是的值域的子集，而的值域为，所以的值域也为，
因为为上的奇函数，所以当时，的值域应包含，即能取遍上的实数，所以，所以，解得或．又对称轴，即，所以．
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；
(三)
幂函数型复合函数
例5．（2020·南昌市八一中学高二期中）已知幂函数在区间上单调递减，
（1）求幂函数的解析式及定义域
（2）若函数，满足对任意的时，总存在使得，求k的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）利用幂函数的定义及函数的单调性列出关于t的方程，求解即可.
（2）分别求出的值域A，的值域B，由题设将问题转化为，利用集合的包含关系求出k的取值范围.
【详解】
为幂函数，且在区间上单调递减，
，即，解得或（舍去）
所以幂函数的解析式为
，且，所以函数的定义域为
（2）由（1）知在区间上单调递减，所以当，，即，令；
，由指数函数性质知，单调递增，所以当，，即，令；
因为对任意的时，总存在使得，则
结合数轴可知，解得，即k的取值范围
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集
．
【变式训练5-1】．（2020·四川仁寿一中高一期中）已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)由幂函数概念及偶函数性质求解析式
(2)由(1)知，再由在上恒成立，即的最小值恒大于等于0，应用函数思想分类讨论，求a的范围
【详解】
（1）由为幂函数知，得或
为偶函数
∴当时，，符合题意；
当时，，不合题意，舍去
所以
（2），令在上的最小值为
①当，即时，，所以
又，所以a不存在；
②当，即时，
所以.又，所以
③当，即时，
所以.又
所以.
综上可知，a的取值范围为
(四)
其他综合问题
例6．（2020·重庆高三其他模拟（文））已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（
）
A．1
B．﹣1
C．0
D．
【答案】B
【分析】
由题目条件，可判定出函数是周期为4的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得答案.
【详解】
,
又为上的奇函数，
，
是周期为4的周期函数，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的周期性，奇偶性等性质，对数函数的函数值，是基础题.
【变式训练6-1】．（2018·江西抚州市·高一学业考试）若函数满足，且当时，则______．
【答案】1009
【分析】
推导出，当时，从而当时，，，由此能求出的值．
【详解】
∵函数满足，
∴，
∵当时，．
∴当时，，，
∴．
故答案为1009．
【点睛】
本题主要考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
例7．（2017·青海平安一中高三（文））定义在上的函数满足则的值为
A．-4
B．2
C．
D．4
【答案】D
【详解】
试题分析：因为在上的函数满足，则,选D.
考点：分段函数值.
【变式训练7-1】．（2019·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高一期中）已知函数,
满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，2)
B．
C．(－∞，2]
D．
【答案】B
【详解】
试题分析：由题意有,函数在上为减函数,所以有,解出,选B.
考点：分段函数的单调性.
【易错点晴】
本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题.
从题目中对任意的实数，都有成立，得出函数在上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点处,有,解出.
本题容易出错的地方是容易漏掉分界点处的情况.
例8．（2019·安徽屯溪一中高一月考）定义在上的函数满足：对任意的，都有：
（1）求证：函数是奇函数；
（2）若当时，有，求证：在上是减函数；
（3）在（2）的条件下解不等式：;
（4）在（2）的条件下求证：.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）（4）详见解析
【分析】
（1）令x＝y＝0
可求得f（0）＝0；令y＝﹣x代入可判断f（x）的奇偶；
（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，利用f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2），分析判断出﹣10，再结合条件即可证明结论；
（3）根据奇偶性与单调性可得不等式组，解之即可；
（4）可得，结合（2）可得结果.
【详解】
解：（1）令得：
设，则，，即，
函数是奇函数；
（2）设，则，
由知：，且，所以，即，
，又
即，从而，故，即，
即，所以在上是减函数
（3），又由为奇函数，即，
由（2）知在上是减函数，
解得：，故不等式的解集为；
（4）
，
故
由，，
即
【点睛】
本题考查函数的性质，难点在于第（2）问函数单调性的证明中﹣10的分析，以及第（4）中裂项相消求和，综合考查学生的分析，计算及正确推理的能力，是难题．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题19
指数函数、对数函数与幂函数型复合函数
一、考情分析
二、重难点突破
知识点1
幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
知识点2.函数的周期性定义：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足
，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
①；
②；
③.
知识点3.对称轴与对称中心
①函数关于对称，
也可以写成
或
；
若写成：，函数关于直线
对称.
②函数关于点对称，
或
；
若写成：，函数关于点
对称.
三、题型分析
(一)
指数型复合函数
例1．（2019·江西省吉水县第二中学高一期中）函数f（x）=值域为（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-1】．（2019·河南南阳中学高一月考）函数得单调递增区间是
A．
B．
C．
D．
例2．（【新东方】【2021.4.27】【宁波】【高一上】【高中数学】【00109】）函数（且）在区间上的最大值为8，求它在这个区间上的最小值．
【变式训练2-1】．（2020·浙江高一期中）已知函数.
（1）若函数为奇函数，求的值，并求此时函数的值域；
（2）若存在，使，求实数的取值范围.
(二)
对数型复合函数
例3．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）函数的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1】．（2020·唐山市第十一中学高二期末）函数的单调增区间为_________.
例4．（2021·上海高一专题练习）已知函数是奇函数（，且）.
（1）求的值；
（2）若时，的值域为，求的值.
【变式训练4-1】．（2020·浙江省春晖中学高一期中）设函数是R上的奇函数，且当时，，，
（1）若，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（2）对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围；
(三)
幂函数型复合函数
例5．（2020·南昌市八一中学高二期中）已知幂函数在区间上单调递减，
（1）求幂函数的解析式及定义域
（2）若函数，满足对任意的时，总存在使得，求k的取值范围.
【变式训练5-1】．（2020·四川仁寿一中高一期中）已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
(四)
其他综合问题
例6．（2020·重庆高三其他模拟（文））已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（
）
A．1
B．﹣1
C．0
D．
【变式训练6-1】．（2018·江西抚州市·高一学业考试）若函数满足，且当时，则______．
例7．（2017·青海平安一中高三（文））定义在上的函数满足则的值为
A．-4
B．2
C．
D．4
【变式训练7-1】．（2019·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高一期中）已知函数,
满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，2)
B．
C．(－∞，2]
D．
例8．（2019·安徽屯溪一中高一月考）定义在上的函数满足：对任意的，都有：
（1）求证：函数是奇函数；
（2）若当时，有，求证：在上是减函数；
（3）在（2）的条件下解不等式：;
（4）在（2）的条件下求证：.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑