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第一章　集合、常用逻辑用语与不等式
1.1　集合
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.集合的含义与表示
(1)集合元素的三个特征:　　　　　、　　　　　、　　　　　.?
(2)元素与集合的关系有　　　　或　　　　　两种,用符号　　或　　表示.?
(3)集合的表示方法:　　　　　、　　　　　、　　　　　.?
(4)常见数集的记法.
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
　　　?
　　　?
　　?
　　　?
　　　?
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号表示
Venn图
子集
对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集
　　　?
真子集
如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,就称集合A是集合B的真子集
　　　?
集合
相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等
　　　?
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
Venn图
符号
语言
A∪B=　　　?
A∩B=　　　?
?UA=?
1.并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A.
2.交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B.
3.补集的性质:A∩(?UA)=?;A∪(?UA)=U;?U(?UA)=A;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).
4.若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.
5.
如图所示,用集合A,B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B,A∩(?UB),B∩(?UA),?U(A∪B).
6.card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)集合{x2+x,0}中的实数x可取任意值.
(　　)
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.
(　　)
(3)对任意集合A,B,一定有A∩B?A∪B.
(　　)
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.
(　　)
(5)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}.
(　　)
2.(2020全国3,文1)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.3
C.4
D.5
3.(2020山东济南一模,1)已知全集U=R,集合A={x|x2>x},则?UA=(　　)
A.[0,1]
B.(0,1)
C.(-∞,1]
D.(-∞,1)
4.(2020山东潍坊二模,1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则A∩(?UB)=(　　)
A.{1,4}
B.{1,4,5}
C.{4,5}
D.{6,7}
5.(2020江苏南京六校5月联考,1)已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|x<1},则A∪B=　　　.?
关键能力学案突破　
考点
集合的基本概念
【例1】(1)已知集合A={x∈Z|-x2+x+2>0},则集合A的真子集个数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3
B.4
C.7
D.8
(2)(2020山东潍坊临朐二模,13)已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B,则a=　　　　.?
解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:
(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集,还是其他类型的集合.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
对点训练1(1)(2020河北唐山一模,理1)已知集合A={-1,0,1,2},B={y|y=2x},M=A∩B,则集合M的子集个数是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.3
C.4
D.8
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为　　　　　.?
考点
集合间的基本关系
【例2】(1)(2020浙江镇海中学摸底,1)设集合A={y|y=},B={x|y=},则下列结论正确的是
(　　)
A.A=B
B.A?B
C.B?A
D.A∩B={x|x≥1}
(2)(2020河北石家庄二中模拟,理2)设集合P={x||x|>3},Q={x|x2>4},则下列结论正确的是(　　)
A.Q?P
B.P?Q
C.P=Q
D.P∪Q=R
解题心得1.判定集合间的基本关系的方法有两种:一是化简集合,从表达式中寻找集合间的关系;二是用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找集合间的关系.
2.解决集合间基本关系问题的常用技巧有:(1)若给定的集合是不等式的解集,则结合数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则用Venn图求解.
对点训练2(1)已知集合A=x,B={x|≤2,x∈Z},则满足条件A?C,且C?B的集合C的个数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.2
C.4
D.8
(2)集合M=x,N=yy=m+,m∈Z,则两集合M,N的关系为(　　)
A.M∩N=?
B.M=N
C.M?N
D.N?M
考点
集合的运算
(多考向探究)
考向1　利用集合运算的定义进行运算
【例3】(1)(2020新高考全国1,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{x|2B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x<4}
D.{x|1(2)(2020全国3,理1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N
,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.6
(3)(2020全国2,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则?U(A∪B)=(　　)
A.{-2,3}
B.{-2,2,3}
C.{-2,-1,0,3}
D.{-2,-1,0,2,3}
解题心得1.求解思路:一般是先化简集合,再由交集、并集、补集的定义求解.
2.求解原则:一般是先算括号里面的,再按运算顺序求解.
对点训练3(1)(2020江西名校大联考,理1)已知集合A={x|x2-4x>0},B={x|x2-4≤0},则A∩B=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[-2,0]
B.(-∞,0)
C.[-2,0)
D.[-4,4]
(2)(2021年1月8省适应测试)已知M,N均为R的子集,且?RM?N,则M∪(?RN)=(　　)
A.?
B.M
C.N
D.R
(3)(2020山东潍坊一模,1)设集合A={2,4},B={x∈N|x-3≤0},则A∪B=(　　)
A.{1,2,3,4}
B.{0,1,2,3,4}
C.{2}
D.{x|x≤4}
考向2　定义新集合运算法则进行集合运算
【例4】(多选)(2020福建双十中学期中,1)集合A,B是实数集R的子集,定义A-B={x|x∈A,且x?B},若集合A={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3},B={y|y=x2+1,1≤x≤3},则以下说法正确的是(　　)
A.A=[-1,5]
B.B=[2,10]
C.A-B=[1,2)
D.B-A=(5,10]
解题心得求解集合新定义运算的关键是仔细分析新定义运算法则的特点,把新定义运算法则所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中.
对点训练4定义A
B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A
B=　　　　　;(A∩(A
B))∪B=　　　　　.?
考点
求集合中参数的值或取值范围
【例5】(1)(2020全国1,理2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=
(　　)
A.-4
B.-2
C.2
D.4
(2)已知集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|x+1≥a},若A∪B=R,则实数a的取值范围是(　　)
A.[2,+∞)
B.(-∞,2]
C.[1,+∞)
D.(-∞,1]
解题心得一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn图表示,根据Venn图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾;若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的取值范围,此时要注意端点的取舍.
对点训练5(1)(2020湖南湘潭三模,理1)已知集合A={x|ax=x2},B={0,1,2},若A?B,则实数a的值为
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1或2
B.0或1
C.0或2
D.0或1或2
(2)已知集合A={x|x<-3,或x>7},B={x|x<2m-1},若B?A,则实数m的取值范围是　　　　　.?
变式发散1将本题(2)中的B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余条件不变,该如何求解?
变式发散2将本题(2)中的A改为A={x|-3≤x≤7},B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余条件不变,又该如何求解?
由于图形简明、直观,因此很多数学问题的求解往往借助于图形来分析,下面例析运用集合中Venn图的三层次:识图——用图——构图.
阶梯一　识图:用集合的交、并、补运算表示给出的Venn图
【例1】(2020山东泰安一模,1)已知全集U=R,集合M={x|-3　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[-1,1]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-1,+∞)
D.(-3,-1)
答案D
解析由图可知,阴影部分表示的集合为M∩(?UN).由U=R,N={x||x|≤1},可得?UN={x|x<-1,或x>1},
又M={x|-3对点训练1如图,I是全集,M,P,S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(M∩P)∩S
B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩(?IS)
D.(M∩P)∪(?IS)
阶梯二　用图:借助Venn图求集合或集合的交、并、补
【例2】设全集U={x|0},若A∩B={3},A∩(?UB)={1,5,7},(?UA)∩(?UB)={9},则A=　　　　　,B=　　　　　.?
答案{1,3,5,7}　{2,3,4,6,8}
解析由题知U={1,2,3,…,9},根据题意,画出Venn图如下,
由Venn图易得A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.
对点训练2已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(?IM)=?,则M∪N=　　　　.?
阶梯三　构图:构造Venn图解某些应用题
【例3】(2020新高考全国1,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.62%
B.56%
C.46%
D.42%
答案C
解析设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.
由Venn图可知,82%-x+60%=96%,
解得x=46%,故选C.
对点训练3向100名学生调查对A,B两件事的看法,得到如下结果:赞成A的人数是全体的,其余不赞成;赞成B的人数比赞成A的人数多3人,其余不赞成.另外,对A,B都不赞成的人数比对A,B都赞成的学生人数的多1人,对A,B都赞成的学生人数为　　　　人,对A,B都不赞成的学生人数为　　　　　人.?
第一章　集合、
常用逻辑用语与不等式
1.1　集合
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)确定性　互异性　无序性　(2)属于　不属于　∈　?　(3)列举法　描述法　Venn图法　(4)N　N
(或N+)　Z　Q　R
2.A?B(或B?A)　A?B(或B?A)　A=B
3.{x|x∈A,或x∈B}　{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x?A}
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.B　根据交集的定义,得A∩B={5,7,11},则A∩B中元素的个数为3.故选B.
3.A　由x2>x,得x>1或x<0,即A={x|x>1,或x<0},所以?UA={x|0≤x≤1}=[0,1].
4.C　由题意得?UB={1,4,5},又A={2,3,4,5},所以A∩(?UB)={4,5},故选C.
5.(-∞,2)　∵集合A={x|x2-2x<0}=|x|0关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)0或　(1)因为A={x∈Z|-x2+x+2>0}={x∈Z|-1(2)因为A∩B=A∪B,所以A=B,则解得(舍去)或故a=0或.
对点训练1(1)C　(2)-　(1)因为B={y|y=2x}={y|y>0},A={-1,0,1,2},所以M=A∩B={1,2},因此,集合M的子集个数是22=4.故选C.
(2)由题意得m+2=3,或2m2+m=3,解得m=1或m=-.当m=1时,m+2=3,且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-时,m+2=,而2m2+m=3,故m=-.
例2(1)D　(2)B　(1)∵A={y|y=}={y|y≥0},B={x|y=}={x|x≥1,或x≤-1},∴A∩B={x|x≥1},故选D.
(2)由题得,集合P={x||x|>3}={x|x<-3,或x>3},Q={x|x2>4}={x|x<-2,或x>2},所以P?Q,故选B.
对点训练2(1)D　(2)D　(1)由≤0,得0(2)∵M=x,N=y,又n+2为整数,2m+1为奇数,且奇数是整数的一部分,
∴N?M,故选D.
例3(1)C　(2)C　(3)A　(1)(数形结合)由数轴可知
所以A∪B={x|1≤x<4},故选C.
(2)满足x,y∈N
,y≥x,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故A∩B中元素的个数为4.
(3)∵A∪B={-1,0,1,2},
∴?U(A∪B)={-2,3}.故选A.
对点训练3(1)C　(2)B　(3)B　(1)由题得A={x|x2-4x>0}={x|x<0,或x>4},B={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2},则A∩B={x|-2≤x<0},故选C.
(3)因为A={2,4},B={x∈N|x-3≤0}={0,1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3,4}.
例4BCD　A={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3}={y|1≤y≤5},B={y|y=x2+1,1≤x≤3}={y|2≤y≤10},故A-B={x|x∈A,且x?B}={x|1≤x<2},B-A={x|x∈B,且x?A}={x|5对点训练4{3,4,5,6,7}　{1,2,3}　∵A={1,2,3},B={1,2},∴A
B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B}={3,4,5,6,7};(A∩(A
B))∪B=({1,2,3}∩{3,4,5,6,7})∪{1,2}={3}∪{1,2}={1,2,3}.
例5(1)B　(2)B　(1)由已知得A={x|-2≤x≤2},B=.
因为A∩B={x|-2≤x≤1},
所以-=1,解得a=-2.
(2)由题得集合A={x|x2-3x+2≥0}=|x|x≤1,或x≥2},B={x|x+1≥a}={x|x≥a-1},又A∪B=R,
∴a-1≤1,解得a≤2,
∴实数a的取值范围是(-∞,2].
对点训练5(1)D　(2)(-∞,-1]　(1)因为当a=0时,A={x|0=x2}={0},满足A?B;当a≠0时,A={0,a},若A?B,所以a=1或2.综上a的值为0或1或2.故选D.
(2)由题意知2m-1≤-3,m≤-1,所以m的取值范围是(-∞,-1].
变式发散1解当B=?时,有m+1>2m-1,则m<2.当B≠?时,有解得m>6.综上可知,m的取值范围是(-∞,2)∪(6,+∞).
变式发散2解当B=?时,满足B?A,此时有m+1>2m-1,即m<2;当B≠?时,要使B?A,则有解得2≤m≤4.综上可知,m的取值范围是(-∞,4].
素养提升微专题1——运用Venn图解
题的三个阶梯
对点训练1C　阴影部分是集合M与P的公共部分,且在集合S的外部,即(M∩P)∩(?IS),故选C.
对点训练2M　因为M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,N∩(?IM)=?,所以由Venn图可知N?M,所以M∪N=M.
对点训练336　13　由题意知赞成A的人数为100×=60,赞成B的人数为60+3=63.如图,记100名学生组成的集合为U,赞成A的学生的全体记为集合A,赞成B的学生的全体记为集合B,并设对A,B都赞成的学生数为x,则对A,B都不赞成的人数为+1,由题意,知(60-x)+(63-x)+x++1=100,解得x=36.
所以对A,B都赞成的学生人数为36人,对A,B都不赞成的学生人数为13人.1.2　常用逻辑用语
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
p?q
p是q的　　　　　　　　条件,?
q是p的　　　　　　　　条件?
p?q,且qp
p是q的　　　　　　　　条件?
pq,且q?p
p是q的　　　　　　　　条件?
p?q
p是q的　　　　条件?
pq,且qp
p是q的　　　　　　　　　　　条件?
2.全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
表示符号
全称量词
所有的、一切、任意一个、全部、每一个、任给等
　　?
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
　　?
3.全称量词命题和存在量词命题
命题名称
命题结构
命题简记
全称量词命题
对M中任意一个x,p(x)成立
　　　　?
存在量词命题
存在M中的元素x,p(x)成立
　　　　?
4.全称量词命题和存在量词命题的否定
命　　题
命题的否定
?x∈M,p(x)
　　　　　　　　　　?
?x∈M,p(x)
　　　　　　　　　　?
集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,
(1)p是q的充分不必要条件?A?B;
(2)p是q的必要不充分条件?A?B;
(3)p是q的充要条件?A=B.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.
(　　)
(2)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.
(　　)
(3)“梯形的对角线相等”是存在量词命题.
(　　)
(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.
(　　)
(5)若命题p:?x>0,log2x<2x+3,则?p为?x>0,log2x≥2x+3.
(　　)
2.命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是(　　)
A.所有偶函数的图象不关于y轴对称
B.存在偶函数的图象关于y轴对称
C.存在偶函数的图象不关于y轴对称
D.不存在偶函数的图象不关于y轴对称
3.(2020天津,2)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是(　　)
A.?x∈R,f(-x)≠f(x)
B.?x∈R,f(-x)≠-f(x)
C.?x∈R,f(-x)≠f(x)
D.?x∈R,f(-x)≠-f(x)
5.(2020江苏镇江三模,3)已知α,β是某个平行四边形的两个内角,命题P:α=β;命题Q:sin
α=sin
β,则命题P是命题Q的　　　　　　　　条件.?
关键能力学案突破　
考点
充分条件、必要条件的判断
(多考向探究)
考向1　定义法判断
【例1】(2020辽宁实验中学五模,文3)已知a为正数,则“a>1”是“+log2a>0”的(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考向2　集合法判断
【例2】(2020山东烟台模拟,3)“a<2”是“?x>0,a≤x+”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考向3　等价转化法判断
【例3】函数f(x)=有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)
A.a<0
B.0C.D.a≤0或a>1
解题心得充要条件的三种判断方法:
(1)定义法:根据p?q,q?p是否同时成立进行判断.
(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:指对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成容易判断充要条件为止.
对点训练1(1)(2020河南开封三模,文3,理3)已知a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)设p:关于x的方程4x-2x-a=0有解;q:关于x的不等式log2(x+a-2)>0对于?x>0恒成立,则p是q的
(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(3)(多选)(2020江苏镇江期末,3)使不等式1+>0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.x>2
B.x≥0
C.x<-1或x>1
D.-1考点
充分条件、必要条件的应用
【例4】若不等式m-1解题心得解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解.要注意区间端点值的检验,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
对点训练2已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
变式发散1本题条件不变,若x∈P是x∈S的必要不充分条件,求m的取值范围.
变式发散2本题条件不变,若x∈P的必要条件是x∈S,求m的取值范围.
变式发散3本题条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.
考点
全称量词命题、存在量词命题
(多考向探究)
考向1　全称量词命题、存在量词命题真假的判断
【例5】对于命题:p:?x∈0,,sin
x+cos
x>1,q:?x∈R,sin2x+cos2x>1,则下列判断正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.p假q真
B.p真q假
C.p假q假
D.p真q真
解题心得1.判定全称量词命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断存在量词命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立.
2.不管是全称量词命题,还是存在量词命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.
对点训练3(2020贵州贵阳调研)下列说法中错误的是(　　)
A.?x∈R,x2≥0
B.?x∈R,2x-1>0
C.?x∈R,lg
x<1
D.?x∈R,sin
x+cos
x=2
考向2　全称(存在)量词命题的否定
【例6】(1)(2020山东淄博一模,3)设m∈R,命题“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是(　　)
A.任意m>0,使方程x2+x-m=0无实根
B.任意m≤0,使方程x2+x-m=0有实根
C.存在m>0,使方程x2+x-m=0无实根
D.存在m≤0,使方程x2+x-m=0有实根
(2)命题“实数的平方都是正数”的否定是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.?
解题心得1.对全称(存在)量词命题进行否定的方法是:改量词,否结论.没有量词的要结合命题的含义加上量词.
2.常见词语的否定形式:
词语
是
都是
=
>(<)
至少
有一个
至多
有一个
且
词语的
否定
不是
不都是
≠
≤
(≥)
一个也
没有
至少
有两个
或
对点训练4(1)(2020山东淄博4月模拟,2)命题“?x∈(0,+∞),ln
x=x-1”的否定是(　　)
A.?x∈(0,+∞),ln
x≠x-1
B.?x?(0,+∞),ln
x=x-1
C.?x∈(0,+∞),ln
x≠x-1
D.?x?(0,+∞),ln
x=x-1
(2)命题p:“有些三角形是等腰三角形”,则?p是
(　　)
A.有些三角形不是等腰三角形
B.有些等腰三角形不是三角形
C.所有三角形都不是等腰三角形
D.所有三角形都是等腰三角形
考向3　由全称(存在)量词命题的真假求参数的范围
【例7】(多选)若“?x∈,2,使得2x2-λx+1<0成立”是假命题,则实数λ可能取值是(　　)
A.
B.2
C.3
D.
解题心得以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对命题进行化简,然后看题目中给出的命题是真还是假.若命题为真,则列出使命题为真的含有参数的不等式(组)求解;若命题为假,则找出其等价的真命题,再求此真命题成立的参数范围.
对点训练5(2020山东青岛5月模拟,13)已知命题“?x∈R,x2-mx+1<0”是假命题,则实数m的取值范围是　　　　　　　.?
1.2　常用逻辑用语
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要
2.?　?
3.?x∈M,p(x)　?x∈M,p(x)
4.?x∈M,?p(x)　?x∈M,?p(x)
考点自诊
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2.C　“偶函数的图象关于y轴对称”等价于“所有的偶函数的图象关于y轴对称”,根据全称命题进行否定规则,全称量词改写为存在量词,条件不变,否定结论.所以原命题否定是“存在偶函数的图象不关于y轴对称”.故选C.
3.A　若a>1,则a2>a成立.若a2>a,则a>1或a<0.所以“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件.故选A.
4.C　∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,∴?x∈R,f(-x)=f(x)为假命题,
∴?x∈R,f(-x)≠f(x)为真命题.
5.充分不必要　由α=β?sinα=sinβ,所以充分性成立;由sinα=sinβ,得α=β或α=π-β,必要性不成立.
关键能力·学案突破
例1C　由a>1,可得+log2a>0,反之,令f(a)=+log2a=log2a-+1,易知函数f(a)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=0,所以要使+log2a>0,则a>1,所以“a>1”是“+log2a>0”的充要条件.故选C.
例2A　若?x>0,a≤x+,则a≤x+min,因为x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,所以a≤2,因为{a|a<2}?{a|a≤2},所以“a<2”是“?x>0,a≤x+”的充分不必要条件,故选A.
例3A　因为函数f(x)过点(1,0),即x=1为f(x)的一个零点,所以函数f(x)有且只有一个零点?函数y=-2x+a(x≤0)没有零点?函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1.又因为{a|a<0}?{a|a≤0,或a>1},故选A.
对点训练1(1)C　(2)B　(3)AC　(1)设f(x)=x|x|=由二次函数的单调性可得函数f(x)为增函数,则若a>b,则f(a)>f(b),即a|a|>b|b|,反之也成立,所以“a>b”是“a|a|>b|b|”的充分必要条件,故选C.
(2)若p成立,则a=4x-2x=,所以a≥-,即a的取值范围为;若q成立,则x+a-2>1对?x>0恒成立,所以a>3-x对?x>0恒成立,则a≥3.即a的取值范围为[3,+∞).由于[3,+∞)?,所以p是q的必要不充分条件,故选B.
(3)不等式1+>0?>0?(x+1)x>0,故不等式的解集为(-∞,-1)∪(0,+∞).A,B,C,D四个选项中,只有A,C对应的集合为(-∞,-1)∪(0,+∞)的真子集.故选AC.
例4-　∵∴?(m-1,m+1),
即
∴-≤m<,或-∴-≤m≤.
对点训练2解由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,∴P={x|-2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件,则S?P.
∴解得m≤3.
又S为非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0.综上,m的取值范围是[0,3].
变式发散1解由原题知P={x|-2≤x≤10},由题意得S?P,
∴
解得0≤m≤3或0≤m<3,∴0≤m≤3,故m的取值范围是[0,3].
变式发散2解由原题知P={x|-2≤x≤10},∵x∈P的必要条件是x∈S,即x∈S是x∈P的必要条件,∴P?S,
∴解得m≥9.
故m的取值范围是[9,+∞).
变式发散3解不存在.由原题知P={x|-2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
∴m不存在.
例5B　sinx+cosx=sinx+,
∵x∈0,,∴x+∈,∴sinx+∈,1,
∴sinx+cosx=sinx+∈(1,].∴命题p为真.
∵sin2x+cos2x=1,∴命题q为假.故选B.
对点训练3D　A显然正确;由指数函数的性质知2x-1>0恒成立,故B正确;当0例6(1)A　(2)至少有一个实数的平方不是正数　(1)由存在量词命题的否定是全称量词命题,知“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是“任意m>0,使方程x2+x-m=0无实根”.故选A.
(2)全称量词命题的否定一定是存在量词命题.“实数的平方都是正数”是全称量词命题,只是省略了“所有”两字.故该命题的否定为“至少有一个实数的平方不是正数”.
对点训练4(1)A　(2)C　(1)因为已知的是存在量词命题,所以它的否定为全称量词命题,故选A.
(2)因命题p:“有些三角形是等腰三角形”是存在量词命题,所以?p为全称量词命题,由存在量词命题的否定得命题?p:“所有三角形都不是等腰三角形”,故选C.
例7AB　∵若“?x∈,2,使得2x2-λx+1<0成立”是假命题,
即“?x∈,2,使得λ>2x+成立”是假命题,
即等价于“?x∈,2,使得λ≤2x+成立”是真命题,
令f(x)=2x+,x∈,2,
由对勾函数的性质可知,当x∈,2时,f(x)在区间上单调递减,在区间,2上单调递增,
∴当x=时,函数f(x)取最小值,即f(x)min=f=2,
∴λ≤f(x)min=2,故实数λ的取值范围为(-∞,2].故选AB.
对点训练5[-2,2]　因为命题“?x∈R,x2-mx+1<0”是假命题,所以命题“?x∈R,x2-mx+1≥0”是真命题,所以Δ=m2-4≤0,解得-2≤m≤2.1.3　等式、不等式的性质与基本不等式
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b?b(2)传递性:a>b,b>c?a>c.
(3)可加性:a>b?a+c>b+c;a>b,c>d?a+c>b+d.
(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?acb>0,c>d>0?ac>bd.
(5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2).
(6)可开方:a>b>0?(n∈N,n≥2).
3.基本不等式:
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当　　　　时,等号成立.?
(3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则
(1)当积xy等于定值p时,那么当且仅当　　　　时,x+y有最　　　　值2(简记:积定和最小).?
(2)当和x+y等于定值s时,那么当且仅当　　　　时,xy有最　　　　值(简记:和定积最大).?
1.若a>b>0,m>0,则(b-m>0);(b-m>0).
2.a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
3.ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
4.(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
5.≥2(a,b同号),当且仅当a=b时,等号成立.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)a>b?ac2>bc2.
(　　)
(2)a>b>0,c>d>0?.
(　　)
(3)若aab>b2.
(　　)
(4)两个不等式a2+b2≥2ab与成立的条件是相同的.
(　　)
(5)y=sin
x+(0(　　)
2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.M>N
B.M=N
C.MD.与x有关
3.设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论中正确的是(　　)
A.
B.a-c>b-d
C.ac>bd
D.a+c>b+d
4.(2020山东潍坊临朐模拟一,3)设p:a,b是正实数,q:a+b>2,则(　　)
A.p是q的充分条件但不是必要条件
B.p是q的必要条件但不是充分条件
C.p是q的充要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
5.(2020山东淄博4月模拟,14)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
比较两个数(式)的大小
【例1】(1)已知a,b∈(0,1),且a≠b,下列各式中最大的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a2+b2
B.2
C.2ab
D.a+b
(2)若a=,b=,c=,则(　　)
A.aB.cC.cD.b解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.
(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.
(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.
对点训练1(1)已知a>b>0,m>0,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.的大小关系不确定
(2)已知a,b是实数,且e考点
不等式的性质及应用
【例2】(1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(　　)
A.b-aB.c2C.
D.|b|c<|a|c
(2)(2020山西太原三模,理3)已知a>b>1,c<0,则
(　　)
A.
B.caC.acD.loga(b-c)>logb(a-c)
解题心得1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;
2.不等式两边都乘以一个负数时要改变不等号的方向;
3.当不等式两边异号时,两边同时平方后不等号不确定;
4.当ab>0时,对不等式a>b两边取倒数,即两边同乘以,化简得.
对点训练2(1)已知<0,给出下列三个结论:①a22;③lg
a2>lg
ab.其中所有正确结论的序号是(　　)
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
(2)(多选)(2020山东青岛5月模拟,9)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式中正确的是(　　)
A.log2(ab)>log2b2
B.ac2>bc2
C.<1<
D.a>b
考点
基本不等式及其应用
(多考向探究)
考向1　利用基本不等式证明不等式
【例3】已知a,b,c>0,且a+b+c=1,求证:
(1)≥9;
(2)-1-1-1≥8.
解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.
对点训练3已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≥9.
考向2　求不含等式条件的最值问题
【例4】(1)已知x>0,则函数y=的最小值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.3
C.6
D.8
(2)(2020山西运城期末,理15)对任意的θ∈0,,不等式≥2x-1恒成立,则实数x的取值范围是　　　.?
解题心得1.应用基本不等式应注意:(1)在应用基本不等式求最值时,判断是否具备了应用基本不等式的条件,即“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”.
2.在利用基本不等式求不含条件等式的最值时,先根据式子的特征灵活变形,配凑出积或和为常数的等式,再利用基本不等式求最值.
对点训练4(1)设x≥0,则函数y=的最小值为　　　.?
(2)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为　　　.?
考向3　求含有等式条件的最值问题
【例5】(1)若x>0,y>0,x+2y=1,则的最大值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则的最小值为　　　　　.?
解题心得1.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造积或和为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.
2.多次使用基本不等式求最值时,要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号.
对点训练5(1)(2020江西名校大联考,理11)若x>0,y>-1且满足2x+y=1,则的最小值是
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3
B.
C.2
D.
(2)(2020辽宁实验中学五模,文9)已知实数x,y满足x2-xy+y2=1,则x+y的最大值为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
考向4　基本不等式的实际应用
【例6】某厂家拟定在2021年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?
解题心得1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.
2.在求所列函数的最值时,当用基本不等式时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.
3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
对点训练6为改善实体店经营状况,某童装专卖店拟举行促销活动,经调查,该品牌童装的年销量x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x=4-,已知每年该专卖店的固定投入为7万元,每件童装进价为12元,销售价格定为+18元.
(1)将该专卖店2020年的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;
(2)该专卖店2020年的年促销费用投入多少万元时,利润最大?
1.3　等式、不等式的性质
与基本不等式
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)>　=　<　(2)>　=　<
3.(2)a=b
4.(1)x=y　小　(2)x=y　大
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2.A　M-N=x2+x+1=x+2+>0,所以M>N.故选A.
3.D　因为a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,根据不等式的同向可加性,得a+c>b+d,故选D.
4.D　由a,b是正实数,不一定得到a+b>2,如a=b=1;反之,由a+b>2,不一定得到a,b是正实数,如a=1,b=0.所以p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.故选D.
5.　2a+=2a+2-3b≥2=2=2×2-3=2-2=.当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,等号成立.
关键能力·学案突破
例1(1)D　(2)B　(1)∵a,b∈(0,1),且a≠b,则显然有a+b>2,a2+b2>2ab.下面比较a2+b2与a+b的大小.由于a,b∈(0,1),∴a2(2)(方法1)易知a,b,c都是正数,=log8164<1,所以a>b;=log6251024>1,
所以b>c.故c(方法2)对于函数y=f(x)=,y'=,易知当x>e时,函数f(x)单调递减.
因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即c对点训练1(1)C　(2)ab>ba　(1).
因为a>b>0,m>0,所以b-a<0,a+m>0,
所以<0,即<0,所以.
(2)令f(x)=,则f'(x)=,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减,因为ef(b),即?blna>alnb?ab>ba.
例2(1)D　(2)C　(1)(方法1)根据数轴可得c|b|>|a|,对于A:因为cb,则c+a|b|>|a|,所以c2>b2>a2,且b2>ab,所以c2>b2>ab,即c2>ab,故B错误;对于C:因为b|a|,且c<0,所以|b|c<|a|c,故D正确.
(方法2)不妨令c=-5,b=-4,a=-1,则c+a=-6ab=4,故B错误;=5,故C错误;|b|c=-20<|a|c=-5,故D正确.故选D.
(2)由于a>b>1,所以0<,又c<0,故,选项A错误;当c=-2,a=4,b=3时,ca>cb,故选项B错误;由于a>b>1,c<0,故acb>1,c<0,所以a-c>b-c,故loga(b-c)对点训练2(1)A　(2)AC　(1)(方法1)
∵<0,∴b∴a20,>0,∴>2=2;∵a<0,a-b>0,∴a2-ab=a(a-b)<0,∴lga2(方法2)不妨设a=-1,b=-2,满足<0.代入验证①(-1)2<(-2)2成立,代入②>2成立,代入③lg(-1)2=0(2)由a>b>0,得ab>b2,
所以log2(ab)>log2b2,故A正确;
因为c2≥0,当c2=0时,选项B不成立,故B不正确;
由a>b>0,两边同乘,得>1,由a>b>0,两边同乘,得<1,故C正确;
由a>b,函数y=x为减函数,得a例3证明(1)∵a,b,c>0,且a+b+c=1,
∴=(a+b+c)=3+++≥3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
(2)-1-1-1=-1-1-1==8.
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
对点训练3证明(方法1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+=1+=2+.同理,1+=2+.
∴=2+2+=5+2≥5+4=9,当且仅当,即a=b=时,等号成立.
∴≥9,当且仅当a=b=时,等号成立.
(方法2)=1+=1+=1+,
∵a,b为正数,a+b=1,
∴ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立.于是≥4,≥8,当且仅当a=b=时,等号成立.
因此≥1+8=9,
当且仅当a=b=时,等号成立.
例4(1)B　(2)(-∞,5]　(1)因为x>0,所以函数y==4x+-1≥2-1=3.
当且仅当4x=,即x=时,等号成立,即函数y取得最小值3.故选B.
(2)不等式≥2x-1恒成立,即2x-1≤min,
因为=·(sin2θ+cos2θ)=1+4+≥5+2=9,
当且仅当cos2θ=2sin2θ=时取得等号.则2x-1≤9,解得x≤5,故x的取值范围为(-∞,5].
对点训练4(1)9　(2)4　(1)令x+1=t,则t≥1,y==t++5≥4+5=9,当且仅当t=,即t=2,x=1时,等号成立,故最小值为9.
(2)∵a,b∈R,且ab>0,
∴=4ab+≥4,
当且仅当时,等号成立,故最小值为4.
例5(1)C　(2)4　(1)由题意知,又x>0,y>0,x+2y=1,
∴=(x+2y)=+5≥2+5=4+5=9.
当且仅当,即x=y=时,等号成立,所以的最大值为.故选C.
(2)∵ab=1,∴b=.
∴.
令+a=t>0,则原式=≥2=4.
当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时+a=4.故原式=×4+=4.
对点训练5(1)B　(2)B　(1)=2x++y+-1=,
因为2x+y+1=2,
所以(2x+y+1)=3+≥(3+2),
当且仅当,2x+y=1时取等号,即x=2-,y=2-3时取得最小值.故选B.
(2)∵实数x,y满足x2-xy+y2=1,
∴(x+y)2=3xy+1≤32+1,
化为(x+y)2≤4,可得x+y≤2,
当且仅当x=y=1时取等号.
则x+y的最大值为2.
例6解(1)由题意知,当m=0时,x=1(万件),所以1=3-k,解得k=2,所以x=3-,每件产品的销售价格为1.5元,
所以2021年的利润y=1.5××x-8-16x-m=-+(m+1)+29(m≥0).
(2)因为m≥0时,+(m+1)≥2=8,所以y≤-8+29=21,
当且仅当=m+1,即m=3时,ymax=21(万元).
故该厂家2021年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元.
对点训练6解(1)由题意可得:x=4-,所以y=+18x-(7+12x)-t=+6x-t=+64--t=-t(t≥0).
(2)由(1)可知:y=-t=28-+t+,因为+t+≥2=6,
当且仅当t=2.5时等号成立.则y=28-+t+≤28-6=22,
即t=2.5时,y取最大值22.
即该专卖店2020年的年促销费用投入2.5万元时,利润最大,为22万元.1.4　一元二次方程与一元二次不等式
必备知识预案自诊　
知识梳理
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1,x2(x1有两个相等的实数根x1=x2=-
没有实数根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
xx≠-
R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
简单分式不等式
(1)≥0?
(2)>0?f(x)g(x)>0.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R),当x=-时,y取得最小值为.
(　　)
(2)一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的函数值恒为负的充要条件是
(　　)
(3)若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.
(　　)
(4)不等式≤0的解集是[-1,2].
(　　)
(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R.
(　　)
2.(2020辽宁沈阳模拟)满足关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集为x3.(2019天津,文10)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　　.?
4.不等式(x+3)(1-x)≥0的解集为　　　　　.?
5.对于任意实数x,不等式mx2+mx-1<0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
一元二次不等式的解法
(多考向探究)
考向1　不含参数的一元二次不等式
【例1】解下列不等式:
(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;
(3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.
解题心得1.解一元二次不等式的4个步骤
变—把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式
↓
判—计算对应方程的判别式
↓
求—求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实数根
↓
写—利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集
2.求解不含参数的一元二次不等式口诀
函数方程不等式,图象交点是标志;
首项系数先化正,判别式,符号定;
若为正,记口诀,小于中间大于侧.
考向2　含参数的一元二次不等式
【例2】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
解题心得解含参数的一元二次不等式的步骤
对点训练1(1)不等式-2x2+x+3<0的解集是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{x|x<-1}
B.xx>
C.x-1D.xx<-1,或x>
(2)(2020云南玉溪一中月考)不等式≥2的解集是(　　)
A.-3,
B.-,3
C.,1∪(1,3]
D.-,1∪(1,3]
(3)(2020福建厦门模拟)求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.
考点
一元二次不等式的实际应用问题
【例3】某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1
000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
解题心得解不等式应用题的步骤
对点训练2
如图所示,某小区内有一个矩形花坛ABCD,现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=3
m,AD=2
m.
要使矩形AMPN的面积大于32
m2,则DN的长度应在什么范围内?
考点
三个“二次”关系的应用
【例4】设抛物线y=x2+mx+2与以A(0,1),B(2,3)为端点的线段总有两个交点,求m的取值范围.
解题心得一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法:
由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根,从而由根与系数的关系,找出系数a,b,c之间的关系,写出不等式的解集.
(2)求解步骤:
第一步:审结论——明确解题方向
如要解cx2+bx+a<0,首先确定c的符号,最好能确定a,b,c的值.
第二步:审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a,b,c的方程组,用a表示b,c.
第三步:建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于a,b,c的方程组→用a表示b,c→代入所求不等式→求解cx2+bx+a<0的解集.
对点训练3设变量x满足x2+bx≤-x(b<-1),并且x2+bx的最小值是-,求b.
考点
一元二次不等式恒成立问题
(多考向探究)
考向1　在R上恒成立
【例5】(2020北京东城高三模拟)若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-3,0]
B.[-3,0)
C.[-3,0]
D.(-3,0)
解题心得一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
考向2　在给定区间上恒成立
【例6】(2020河南豫西南五校联考)若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-3]
B.(-∞,0]
C.[1,+∞)
D.(-∞,1]
解题心得在给定区间上恒成立问题的求解策略
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).
(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,即n≤a.
对点训练4(1)(2020山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,则实数m的取值范围为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞,-3]
B.[-3,+∞)
C.[-3,0)
D.[-4,+∞)
(2)(2020河北石家庄模拟)若不等式x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]都成立,则实数m的取值范围是　　　　　.?
(3)(2020陕西延安高三期末)函数f(x)=x2+ax+3.
①当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
②当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.
【例1】关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围:
(1)两个正根;
(2)有两个负根;
(3)有一正一负根.
思考对于(1)(2)(3)都是判断两根的符号,那么如何利用韦达定理给出判断?
解(1)解得{m|0(2)解得{m|m≥9};
(3)解得{m|m<0}.
【例2】关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围:
(1)一个根大于1,一个根小于1;
(2)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;
(3)一个根小于2,一个根大于4;
(4)两个根都在(0,2)内.
思考对于此题韦达定理适合吗?还有哪些方法可以解决此问题呢?能否利用数形结合的思想列出符合题意的不等式?
解令f(x)=x2+(m-3)x+m,
(1)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根大于1,一个根小于1,则f(1)=2m-2<0,解得m<1,故m的取值范围为(-∞,1).
(2)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内,则解得-(3)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根小于2,一个根大于4,则解得-5(4)若方程x2+(m-3)x+m=0的两个根都在(0,2)内,则解得【例3】将探究2的问题一般化,即关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)满足下列条件,请画出方程对应函数的图象,列出满足条件的不等式.
(1)一个根在(m,n)内,另一根在(p,q)内;
(2)两个根都在(m,n)内.
解(1)设f(x)=ax2+bx+c(a>0),满足题意的图象如图,
则
(2)
归纳小结设函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)
分布情况
两根都在(m,n)内
两根有且仅有一根在(m,n)内
一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内
大致图象(a>0)
得出的结论
f(m)f(n)<0
大致图象(a<0)
得出的结论
f(m)f(n)<0
1.4　一元二次方程
与一元二次不等式
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2.(-2,-1)答案不唯一　不等式(ax-b)(x-2)>0的解集为x∴方程(ax-b)(x-2)=0的实数根为和2,且即a=2b<0,
则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是(-2,-1).
3.-1,　由3x2+x-2<0,得(x+1)(3x-2)<0.
解得-1满足题意的x的取值范围是-1,.
4.{x|-3≤x≤1}　由题知,(x+3)(1-x)≥0,即(x+3)(x-1)≤0,解得-3≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.
5.(-4,0]　当m=0时,mx2+mx-1=-1<0,不等式恒成立;当m≠0时,由解得-4关键能力·学案突破
例1解(1)Δ=49>0,方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3,x2=,
作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图1所示.
由图可得原不等式的解集为x-3(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.Δ=12>0,解方程3x2-6x+2=0,得x1=,x2=,
作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图2所示,由图可得原不等式的解集为xx≤,或x≥.
图3
(3)∵Δ=0,∴方程4x2+4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=-.作出函数y=4x2+4x+1的图象如图3所示.
由图可得原不等式的解集为xx≠,x∈R.
(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,
∵Δ=-4<0,
∴方程x2-6x+10=0无实根,
∴原不等式的解集为?.
例2解原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
因为a>0,所以x-(x-1)<0.
所以当a>1时,解得当a=1时,解集为?;
当0综上,当0当a=1时,不等式的解集为?;
当a>1时,不等式的解集为x对点训练1(1)D　(2)D　(1)不等式-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0,因为Δ=(-1)2-4×2×(-3)=25>0,所以方程2x2-x-3=0的两根为x1=-1,x2=.又二次函数y=2x2-x-3的图象开口向上,所以不等式-2x2+x+3<0的解集是xx<-1,或x>,故选D.
(2)不等式可化为≤0,即≤0,则解得-≤x<1,或1(3)解原不等式可化为12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0,
令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-,x2=.
当a>0时,不等式的解集为-∞,-∪,+∞;
当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
当a<0时,不等式的解集为-∞,∪-,+∞.
例3解(1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000×(1+0.6x)(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,
则
即
解得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x的范围为0,.
对点训练2解设DN的长为x(x>0)m,则AN的长为(x+2)m.
因为,
所以AM=,
所以S矩形AMPN=AN·AM=.
由S矩形AMPN>32,得>32.
又x>0,得3x2-20x+12>0,
解得06.
即DN的长的取值范围是0,∪(6,+∞).
例4解线段AB的方程为y=x+1(0≤x≤2),代入抛物线方程得x2+(m-1)x+1=0.
则问题转化为方程f(x)=x2+(m-1)x+1=0在[0,2]上总有两个根.
∴由题可得
解得
故m的取值范围是-,-1.
对点训练3解由x2+bx≤-x,得x[x+(b+1)]≤0.
又b<-1,∴b+1<0,-(b+1)>0,
则0≤x≤-(b+1).
①
令f(x)=x2+bx,则f(x)=x+2-.
求f(x)在①的范围内的最小值.
(1)若-(b+1)<-,即-2f(x)min=f(-b-1)
=+12-
=b+1,
因而b+1=-,即b=-.
(2)若-≤-(b+1),即b≤-2,则f(x)在x=-时取到最小值,
f(x)min=f-=-,
因而-=-,即b=±.
b=±不满足b≤-2,故b=±舍去.
综上,得b=-.
例5D　一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则必有解得-3例6A　(方法1)令f(x)=x2-2x+a,则由题意,
得
解得a≤-3,故选A.
(方法2)当x∈[-1,2]时,不等式x2-2x+a≤0恒成立,
等价于a≤-x2+2x恒成立,即在区间[-1,2]上,a小于函数f(x)=-x2+2x的最小值.
而f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,
则当x=-1时,f(x)min=-3,故可得a≤-3,故选A.
对点训练4(1)A　(2)-,0　(1)x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,令f(x)=x2-4x,∵f(x)图象的对称轴为直线x=2,则f(x)在(0,1]上单调递减,∴当x=1时,f(x)取到最小值为-3,即实数m的取值范围是(-∞,-3],故选A.
(2)由题意,得函数f(x)=x2+mx-1在[m,m+1]上的最大值小于0,又抛物线f(x)=x2+mx-1开口向上,所以
即
解得-(3)解①∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,则Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,
解得-6≤a≤2,∴实数a的取值范围是[-6,2].
②对于任意x∈[-2,2],f(x)≥a恒成立,即x2+ax+3-a≥0对任意x∈[-2,2]恒成立,
令g(x)=x2+ax+3-a.则有Δ≤0或
解得-6≤a≤2,或a=?,或-7≤a<-6.
综上可知,实数a的取值范围为[-7,2].

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