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第十章
概率、随机变量及其分布
10.1　随机事件与概率、事件的相互独立性
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.事件的分类
确定事件
必然事件
Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件
不可能
事件
空集?不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称?为不可能事件
随机事件
我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件
基本事件
把只包含一个样本点的事件称为基本事件
2.频率与概率
(1)频率的稳定性:一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
(2)大数定律阐述了随着试验次数的增加,频率稳定在概率附近.
(3)①概率的定义:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率.
②范围:[0,1].
③意义:概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.
温馨提示理解频数与频率需注意:
①前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现.
②频数:指的是n次试验中事件A出现的次数nA.频率:指的是事件A出现的比例fn(A)=.
问题思考如何理解频率与概率的关系?
3.事件的关系与运算
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A?B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A+B
续　表
事件的关系或运算
含义
符号表示
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B=?
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B=?,
A∪B=Ω
温馨提示定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.
4.相互独立事件
(1)定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(2)若事件A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B).由此可得出P(AB)=P(A)P(B)是事件A与B相互独立的充要条件.
(3)如果事件A与B相互独立,那么A与10.2　古典概型、条件概率与全概率公式
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知识梳理
一、古典概型
1.基本事件
在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为　　　　　　.?
2.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是　　　　的.?
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成　　　　　　　　的和.?
3.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)有限性:样本空间的样本点　　　　　　　;?
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性　　　　.?
4.古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=　　　　　　　.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.?
二、条件概率
1.条件概率的定义
一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B│A)=　　　　　　　为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.?
温馨提示计算条件概率需要注意的问题
①公式P(B│A)=仅限于P(A)>0的情况.当P(A)=0时,我们不定义条件概率.
②计算条件概率P(B│A)时,不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB).
③P(B|A)与P(A|B)的意义不同,“|”后面的表示条件,一般情况下,二者不相等.
2.条件概率的性质
条件概率是概率的一种,具有概率的一般性质.设P(A)>0,则
(1)P(Ω│A)=1.
(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C│A)=　　　　　　　　.?
(3)设10.3　离散型随机变量及其分布列
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知识梳理
1.随机试验
一个试验如果具有以下三个特点:①试验可以在　　　　的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且　　　　　　;③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却　　　　　　这次试验会出现哪一个结果.那么这个试验就叫做随机试验.?
2.随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有　　　　的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.通常用大写英文字母表示,例如X,Y,Z;随机变量的取值用小写英文字母表示,例如x,y,z.?
3.离散型随机变量:可能取值为　　　　　或可以　　　　　　的随机变量.?
4.离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的　　　　　　　　　　　　　　为X的概率分布列,简称分布列.?
(2)离散型随机变量的分布列的其他表示
①表格表示:
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
②图形表示(概率分布图):
例:掷骰子实验中掷出的点数X的分布列
(3)离散型随机变量的分布列的性质
①pi　　　0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=　　　.?
5.两点分布
若随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1-p
p
我们称X服从两点分布或0—1分布,X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1),p=P(X=1)为成功概率.
如果X是一个离散型随机变量且Y=aX+b,其中a,b是常数且a≠0,那么Y必是离散型随机变量.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.(　　)
(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(　　)
(3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出.(　　)
(4)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)
(5)随机试验的结果与随机变量是对应关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个,可以作为随机变量的是(　　)
A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到的球的个数
3.设随机变量ξ的概率分布列如下表,则P(|ξ-2|=1)=(　　)
ξ
1
2
3
4
P
a
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
4.某射击选手射击环数的分布列为
X
7
8
9
10
P
0.3
0.3
a
b
若射击一次不小于9环为优秀,其射击一次优秀的概率为　　　　　.?
5.已知随机变量X的分布规律为P(X=i)=(i=1,2,3),则P(X=2)=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
离散型随机变量分布列的性质
【例1】若离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=(1≤k≤5,k∈Z),则P的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
解题心得1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,要注意检查每个概率值均为非负数.
2.求随机变量在某个范围内的概率,根据分布列,将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.
对点训练1设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
(1)求随机变量Y=2X+1的分布列;
(2)求随机变量η=|X-1|的分布列;
(3)求随机变量ξ=X2的分布列.
考点
求离散型随机变量的分布列(多考向探究)
考向1　与互斥事件、独立事件有关的分布列
【例2】为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场滑雪,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为;两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与数学期望E(ξ).
解题心得1.(1)与互斥事件、独立事件有关的分布列一定要分清每一个事件是由哪几个基本事件组成的,做到不重不漏.
(2)辨别事件的相互关系,是互斥,还是独立关系,确定所利用的公式,一般是P(A+B)=P(A)+P(B),P(AB)=P(A)P(B),P(10.4　二项分布与超几何分布、正态分布
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知识梳理
1.伯努利试验
(1)定义:只包含两个可能结果的试验.
(2)n重伯努利试验:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验.
显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:
①同一个伯努利试验重复做n次,“重复”意味着各次试验成功的概率相同;②各次试验的结果相互独立.
注:独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题.
温馨提示两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验.由此可见,独立重复试验是相互独立事件的特例,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.
2.二项分布
定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).
温馨提示(1)二项式[(1-p)+p]n的展开式中,第k+1项为Tk+1=(1-p)n-kpk,可见P(X=k)就是二项式[(1-p)+p]n的展开式中的第k+1项,故称随机变量X服从二项分布.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:
①在一次试验中,事件A发生与不发生,二者必居其一,且A发生的概率不变;
②试验可以独立重复进行n次.
(3)P(X=k)=(1-p)n-kpk=[p+(1-p)]n=1.
(4)两点分布是特殊的二项分布.
3.超几何分布
(1)定义
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取任取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,
其中n,M,N∈N
,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
(2)超几何分布与二项分布的关系
不同点
联系
假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件,用X表示抽取的n件产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)其中p=;若采用不放回抽样的方法随机抽取则随机变量X服从超几何分布
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,超几何分布可以用二项分布近似
温馨提示超几何分布广泛地存在于现实生活中,如产品中的合格品与不合格品,盒子中的红球与黑球,学生中的男生和女生等.但超几何分布还必须满足以下三个特点:
(1)总体中含有两类不同的个体;
(2)不放回的抽取,且无先后顺序;
(3)随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.
4.正态密度函数与正态曲线
(1)定义
函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.
(2)几何意义:随机变量X落在区间[a,b]的概率为P(a≤X≤b),即由正态曲线、过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积,
如图中阴影部分的面积,就是X落在区间[a,b]的概率.
(3)特点
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.
当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
②曲线与x轴之间的区域的面积为1.
③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
④曲线在x=μ处达到峰值(最大值).
⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布比较集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布比较分散.
5.正态分布
(1)概念:
①定义:若随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数f(x),则称随机变量X服从正态分布.
②表示方法:记为X~N(μ,σ2).
③标准正态分布:当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
(2)正态分布的3σ原则
假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N
,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682
7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954
5,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997
3.
上述结果可用右图表示.
由此看到,尽管正态变量的取值范围是(-∞,+∞),但在一次试验中,X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.002
7,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项,其中a=p,b=1-p.(　　)
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　)
(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.(　　)
(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.(　　)
(5)二项分布是一个用公式P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.(　　)
2.某贫困县的15个小镇中有9个小镇交通比较方便,有6个不太方便.现从中任意选取10个小镇,其中有X个小镇交通不太方便,下列概率中等于的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.P(X=4)
B.P(X≤4)
C.P(X=6)
D.P(X≤6)
3.若随机变量X服从二项分布B4,,则(　　)
A.P(X=1)=P(X=3)
B.P(X=2)=2P(X=1)
C.P(X=2)=P(X=3)
D.P(X=3)=4P(X=1)
4.在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品数,则P(X=2)=　　　　　.?
5.若随机变量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,则P(2关键能力学案突破　
考点
二项分布及其应用
【例1】九节虾的真身是虎斑虾,虾身上有一深一浅的横向纹路,煮熟后有明显的九节白色花纹,肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾,并随机抽取了40只统计质量,得到的结果如下表所示:
质量/g
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55]
数量
4
12
11
8
5
(1)若购进这批九节虾35
000
g,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数);
(2)以频率估计概率,若在本次购买的九节虾中随机挑选4只,记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X,求X的分布列.
解题心得利用二项分布解决实际问题的关键是建立二项分布模型,解决这类问题时要看它是否为n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布.
对点训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为,现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.
(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;
(2)观察3个试用组,用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求η的分布列.
考点
超几何分布
【例2】(2020北京人大附中高三月考)为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.
性别
套数
1
2
3
4
5
男生
1
4
3
2
2
女生
0
1
3
3
1
(1)从这个班的学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成套卷数之和为4的概率;
(2)若从完成套卷数不少于4的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X,求随机变量X的分布列.
解题心得求超几何分布的分布列的步骤
第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;
第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;
第三步,用表格的形式列出分布列.
对点训练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:
PM2.5日均
值(微克/
立方米)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
[75,85]
频数
3
1
1
1
1
3
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;
(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列.
考点
正态分布及其应用(多考向探究)
考向1　正态分布的概率计算
【例3】(1)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X≥4)=0.158
7,则P(2　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0.682
6
B.0.341
3
C.0.460
3
D.0.920
7
(2)某校在一次月考中有900人参加考试,数学考试的成绩服从正态分布X~N(90,a2)(a>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有　　　　　人.?
解题心得正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.
对点训练3(1)(2020河北开滦高三检测)已知随机变量X~N(7,4),且P(5A.
B.
C.
D.
(2)(2020吉林扶余一中月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,25),若P(ξ>c)=P(ξA.4
B.3
C.2
D.1
考向2　正态分布的实际应用
【例4】为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的均值.
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性;
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04,
10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95.
经计算得10.5　离散型随机变量的数字特征
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.离散型随机变量的均值
(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则称E(X)=　　　　　　　　　　　　　　　为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.?
问题思考随机变量的均值与样本的平均值有什么区别和联系?
(2)均值的性质
若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的均值是E(X),则E(Y)=E(aX+b)=　　　　　.?
特别提示①当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身;
②当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数之和;
③当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量X乘积的均值等于这个常数与X的均值的乘积.
2.离散型随机变量的方差
(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则称D(X)=　　　　　　　　　　　　为随机变量X的方差,并称为随机变量X的标准差,记为σ(x).?
温馨提示①随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的.
②(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度,而D(X)是上述偏离程度的加权平均数,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
③标准差与随机变量有相同的单位,而方差的单位是随机变量单位的平方.
(2)方差的性质
若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的方差是D(X),则D(Y)=　　　　　=　　　　.?
特别提示①当a=0时,D(b)=0,即常数的方差等于0.
②当a=1时,D(X+b)=D(X),即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差.
③当b=0时,D(aX)=a2D(X),即随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积.
3.几种特殊分布的均值和方差
(1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,则E(X)=　　　,D(X)=　　　　.?
(2)二项分布:若X~B(n,p),则E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.?
(3)超几何分布:设随机变量X服从参数为N,M,n(n,N,M∈N
,M≤N,n≤N)的超几何分布,令p=,
则E(X)=　　　　　,D(X)=.?
1.若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).
2.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).
3.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.
4.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
5.若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为E(X)=μ,D(X)=σ2.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.
(　　)
(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.
(　　)
(3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.
(　　)
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.
(　　)
2.(2020江苏镇江高三检测)若X~B80,,则D(X)=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.20
B.40
C.15
D.30
3.已知X的分布列为:
X
-1
0
1
P
设Y=2X+3,则E(Y)的值为(　　)
A.
B.4
C.-1
D.1
4.设0X
0
a
1
P
则当a在(0,1)内增大时(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
5.(多选)(2020山东聊城高三质检)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(　　)
A.P(X=1)=E(X)
B.E(4X+1)=4
C.D(X)=
D.D(4X+1)=4
关键能力学案突破　
考点
求离散型随机变量的均值与方差
【例1】(2020江苏盐城模拟,18)为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念,某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用公共自行车出行,公共自行车按每车每次的租用时间进行收费,具体收费标准如下:
①租用时间不超过1小时,免费;
②租用时间为1小时以上且不超过2小时,收费1元;
③租用时间为2小时以上且不超过3小时,收费2元;
④租用时间超过3小时的时段,按每小时2元收费.(不足1小时的部分按1小时计算)
已知甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,两人租车时间都不会超过3小时,设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5,租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3.
(1)求甲、乙两人所付租车费相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).
解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:
(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
(4)由均值的定义求E(X).
(5)由方差的定义求D(X).
2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量aX+b的均值是aE(X)+b,方差为a2D(X).
对点训练1某投资公司在2020年年初准备将1
000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为;
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为.
针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
考点
二项分布的均值与方差
【例2】一个盒子中装有大量形状、大小一样,质量不完全相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的质量(单位:克),质量分组区间为[5,15),[15,25),[25,35),[35,45],由此得到样本的频率分布直方图,如图.
(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球质量的众数与平均数;
(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中质量在[5,15]内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望以及方差(以直方图中的频率作为概率).
解题心得求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
对点训练2(2019天津,16)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
考点
均值与方差在决策中的应用
【例3】某地区拟建立一个艺术博物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,已知这6个招标问题中,甲公司可正确回答其中的4道题目,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为,甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立,互不影响的.
(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率;
(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?
解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.
对点训练3为回馈顾客,某商场拟通过模拟兑奖的方式对1
000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:
①顾客所获的奖励额为60元的概率;
②顾客所获的奖励额的分布列及均值;
(2)商场对奖励总额的预算是60
000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N
,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.X的均值为E(X)=,X的方差为D(X)=.
【典例】已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,则取出的3件产品中次品数的均值是　　　,方差是　　　　.?
答案0.3　0.264
5
解析(方法1)用随机变量ξ表示取出的3件产品中的次品数,
则ξ的所有可能取值是0,1,2,3,且有P(ξ=0)=≈0.7265,P(ξ=1)=≈0.2477,
P(ξ=2)=≈0.0250,P(ξ=3)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=2)≈0.0008,
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.7265
0.2477
0.0250
0.0008
从而E(ξ)=0×0.7265+1×0.2477+2×0.0250+3×0.0008=0.3001≈0.3,
D(ξ)≈(0-0.3)2×0.7265+(1-0.3)2×0.2477+(2-0.3)2×0.0250+(3-0.3)2×0.0008≈0.2645.
(方法2)这是超几何分布问题,其中N=100,M=10,n=3,
故E(ξ)==0.3,
D(ξ)=≈0.2645.
解题心得求超几何分布的均值时,直接应用公式E(X)=比较简单,而方差公式不太容易记忆,一般是根据超几何分布的概率公式求出分布列,代入离散型随机变量的方差公式计算.
对点训练从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数.
(1)求ξ的分布列;
(2)求ξ的均值与方差;
(3)求ξ≤1的概率.
概率问题与现实生活联系密切,所以高考等各类综合考试中常以实际应用题形式呈现,多为解答题,有较大的阅读量,与社会热点问题紧密结合,考查概率与统计中的众多知识.有时也会与函数、导数、数列、不等式等知识综合命题,考查形式新颖,有一定的难度.
【典例】某病毒存在人与人之间的传染,可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者,每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0(1)求一天内被感染人数X的概率P(X=k)(k=0,1,2,…,a)与a、p的关系式和X的数学期望;
(2)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期,在这14天的潜伏期内患者无任何症状,为病毒传播的最佳时间,设每位患者在被感染后的第二天又有a位密切接触者,把某一名患者被感染的当天按第1天算起,第n天新增患者的数学期望记为En.
①求数列{En}的通项公式;
②若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率,降低后的患病概率p'=ln
(1+p)-p,当p'取最大值时,计算此时p'所对应的E6'值和此时p对应的E6值,根据计算结果说明戴口罩的必要性.(取a=10)
结果保留整数,参考数据:ln
3≈1.1,ln
2≈0.7,≈0.3
解(1)由题意,被感染人数服从二项分布:X~B(a,p),
则P(X=k)=pk(1-p)a-k(k=0,1,2,…,a),X的数学期望E(X)=ap.
(2)①由题意可知当n=1时,E1=0,当n≥2时,第n天被感染人数为(1+ap)n-1,第n-1天被感染人数为(1+ap)n-2,
En=(1+ap)n-1-(1+ap)n-2=ap(1+ap)n-2,
则=1+ap,且E2=ap.则En=
②令f(p)=ln(1+p)-p,则f'(p)=.
∴f(p)在0,上单调递增,在,1上单调递减.
f(p)max=f=ln=ln3-ln2-≈1.1-0.7-0.3=0.1.
则当a=10,n=6时,
E6'=10×0.1(1+10×0.1)4=16.E6=10×0.5(1+10×0.5)4=6480.
∵E6>E6',∴戴口罩很有必要.
对点训练1(2020山东威海一模,22)新药在进入临床实验之前,需要先通过动物进行有效性和安全性的实验.现对某种新药进行5
000次动物实验,一次实验方案如下:选取3只白鼠对药效进行检验,当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”,即确定“实验成功”;若有且只有1只“效果明显”,则再取2只白鼠进行二次检验,当2只白鼠均使用“效果明显”,即确定“实验成功”,其余情况则确定“实验失败”.设对每只白鼠的实验相互独立,且使用“效果明显”的概率均为p(0(1)若p=,设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为p0,求p0的值;
(2)若动物实验预算经费700万元,对每只白鼠进行实验需要300元,其他费用总计为100万元,问该动物实验总费用是否会超出预算,并说明理由.
对点训练2(2020云南昆明三模,20)某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植,并开设网店进行销售.为了做好苹果的品控,小张从自己果园的苹果树上,随机摘取150个苹果测重(单位:克),其质量分布在区间[100,400]内,根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图.
图1
图2
(1)以上述样本数据中频率作为概率,现一顾客从该果园购买了30个苹果,求这30个苹果中质量在(300,400]内的个数X的数学期望;
(2)小张的网店为了进行苹果的促销,推出了“买苹果,送福袋”的活动,买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏.该游戏的规则如下:买家点击抛掷一枚特殊的骰子,每次抛掷的结果为1或2,且出现这两种结果的概率相同;从出发格(第0格)开始,每掷一次,按照抛掷的结果,按如图2所示的路径向前行进一次,若掷出1点,即从当前位置向前行进一格(从第k格到第k+1格,k∈N),若掷出2点,即从当前位置向前行进两格(从第k格到第k+2格,k∈N),行进至第31格(获得福袋)或第32格(谢谢惠顾),游戏结束.设买家行进至第i格的概率为pi(i=0,1,2,…,32),p0=1.
①求p1,p2,并写出用pi-2,pi-1表示pi(i=2,3,…,31)的递推式;
②求p32,并说明该大学生网店推出的此款游戏活动,是更有利于卖家,还是更有利于买家.
10.5　离散型随机变量的数字特征
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi
问题思考提示①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它是随着样本的不同而变化的.
②联系:对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此,我们常用样本的平均值来估计总体的均值.
(2)aE(X)+b
2.(1)(xi-E(X))2pi　(2)D(aX+b)　a2D(X)
3.(1)p　p(1-p)　(2)np　np(1-p)　(3)
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.C　∵X~B80,,∴D(X)=80×=15.
3.A　∵E(X)=-=-,∴E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=.
4.D　根据题意可得E(X)=,D(X)=,所以D(X)在a∈上单调递减,在a∈上单调递增,
所以D(X)是先减小后增大,故选D.
5.ABC　因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,所以P(X=1)=,E(X)=0×+1×,所以P(X=1)=E(X),故A正确;E(4X+1)=4E(X)+1=4×+1=4,故B正确;D(X)=,故C正确;D(4X+1)=42D(X)=16×=3,故D不正确.
关键能力·学案突破
例1解(1)根据题意,分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件A1,A2,A3,它们彼此互斥,且P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,所以P(A3)=1-0.4-0.5=0.1.分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件B1,B2,B3,它们彼此互斥,且P(B1)=0.5,P(B2)=0.3,所以P(B3)=1-0.5-0.3=0.2.由题知,A1,A2,A3与B1,B2,B3相互独立,记甲、乙两人所付租车费相同为事件M,则M=A1B1∪A2B2∪A3B3,所以P(M)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.2+0.15+0.02=0.37.
(2)据题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,P(ξ=0)=P(A1)P(B1)=0.2;P(ξ=1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37;P(ξ=2)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.4×0.2+0.5×0.3+0.1×0.5=0.28;P(ξ=3)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13;P(ξ=4)=P(A3)P(B3)=0.1×0.2=0.02.
所以ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
3
4
P
0.2
0.37
0.28
0.13
0.02
数学期望E(ξ)=0×0.2+1×0.37+2×0.28+3×0.13+4×0.02=1.4.
对点训练1解若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为
X1
300
-150
P
∴E(X1)=300×+(-150)×=200.若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为
X2
500
-300
0
P
∴E(X2)=500×+(-300)×+0×=200.D(X1)=(300-200)2×+(-150-200)2×=35000,D(X2)=(500-200)2×+(-300-200)2×+(0-200)2×=140000.∴E(X1)=E(X2),D(X1)例2解(1)由题意,得(0.02+0.032+a+0.018)×10=1,解得a=0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克,而样本中小球质量的平均数=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克).故由样本估计总体,可估计盒子中小球质量的平均值为24.6克.
(2)该盒子中小球质量在[5,15)内的概率为,则X~B.X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
则E(X)=3×.
D(X)=3×.
对点训练2解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故X~B3,,从而P(X=k)=k3-k,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)=3×=2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B3,,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=.
例3解(1)由题意可知,所求概率P=1-2+.
(2)设甲公司正确完成面试的题数为X,则X的取值分别为1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.则X的分布列为
X
1
2
3
P
所以E(X)=1×+2×+3×=2,D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×.设乙公司正确完成面试的题为Y,则Y取值分别为0,1,2,3.P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=,则Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
所以E(Y)=0×+1×+2×+3×=2.或∵Y~B,∴E(Y)=3×=2D(Y)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×.由E(X)=E(Y),D(X)对点训练3解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意,得P(X=60)=,即顾客所获的奖励额为60元的概率为.
②依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=,P(X=20)=,故X的分布列为
X
20
60
P
所以顾客所获的奖励额的均值为E(X)=20×+60×=40.
(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元,所以先寻找均值为60的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以均值不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以均值也不可能为60元;因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析.对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为
X1
20
60
100
P
X1的均值为E(X1)=20×+60×+100×=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×+(100-60)2×.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为
X2
40
60
80
P
X2的均值为E(X2)=40×+60×+80×=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.
素养提升微专题16——超几何分布的均值与方差
对点训练解(1)ξ可能取的值为0,1,2,且ξ满足超几何分布.P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(2)E(ξ)=0×+1×+2×,D(ξ)=.
(3)P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=.
案例探究(五)　概率与函数、导数、
数列、不等式的综合问题
对点训练
1.解(1)当p=时,一次检验就取得“实验成功”的概率为p2(1-p)+p3=3×;经过两次检验才取得“实验成功”的概率为[p(1-p)2]p2=;在一次实验方案中“实验成功”的概率为p0=.
(2)设一次实验方案需要用到的经费为X元,则X的可能取值为900,1500.P(X=900)=1-p(1-p)2;
P(X=1500)=p(1-p)2.
所以E(X)=900×[1-p(1-p)2]+1500p(1-p)2=900+1800p(1-p)2,设f(p)=p(1-p)2,则f'(p)=(1-p)2+2p(p-1)=(3p-1)(p-1),当p∈时,f'(p)>0,所以f(p)在区间上单调递增;当p∈时,f'(p)<0,所以f(p)在区间上单调递减.所以f(p)的最大值为f.
因此实施一次此方案最高费用为900+1800×(元),所以动物实验阶段估计最高实验费用为100+×5000×10-4=100+(万元).因为<700,所以该动物实验总费用不会超出预算.
2.解(1)由图可知,苹果的质量在(300,400]内的频率为(0.0036+0.0020)×50=0.28.一顾客从该果园购买的30个苹果中质量在(300,400]内的个数为X,则X~B(30,0.28),所以E(X)=30×0.28=8.4.
(2)①买家要行进至第1格的情况只有一种:买家第一次抛掷骰子,结果为1,行进至第一格,其概率为,则p1=;买家要行进至第2格的情况有以下两种:
当前格在第0格,第一次抛掷骰子,结果为2,行进至第2格,其概率为;当前格在第1格,第二次抛掷骰子,结果为1,行进至第2格,其概率为.所以p2=.
买家要行进至第i格(i=2,…,31)的情况有以下两种:
当前格在第i-2格,抛掷一次骰子,结果为2,行进至第i格,其概率为pi-2;当前格在第i-1格,抛掷一次骰子,结果为1,行进至第i格,其概率为pi-1.所以pi=pi-1+pi-2(i=2,…,31).
②由①得,(pi-pi-1)=-(pi-1-pi-2),即=-(i=2,…,31),又p1-p0=-1=-≠0,所以数列{pi-pi-1}(i=2,…,31)是首项为p1-p0=-,公比为-的等比数列.所以pi-pi-1=(i=2,…,31),所以pi=(pi-pi-1)+(pi-1-pi-2)+…+(p1-p0)+p0=+…++1=,
即pi=(i=2,…,31),当i=0或i=1时,此式仍然成立,所以pi=1--i+1(i=0,1,2,…,31)
所以买家行进至第31格(获得福袋)的概率为p31=1--32=.又买家行进至第32格(谢谢惠顾)的概率为p32=p30=1-=1+31,由于p31-p32=1-32-1-30>0,所以买家行进至第31格的概率大于行进至第32格的概率,即小张网店推岀的此款游戏活动是更有利于买家.

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