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第四章
三角函数、解三角形
4.1　任意角、弧度制及三角函数的概念
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.角的概念的推广
(1)角的定义:一条射线绕着它的　　旋转所成的图形.?
(2)角的分类
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:长度等于　　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号rad表示,读作弧度.?
(2)公式:
角α的弧度数公式
|α|=(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°=
rad,②1
rad=°
弧长公式
弧长l=　　　　?
扇形面积公式
S=lr=|α|r2
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定　义
设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)
把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin
α,即y=sin
α
把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cos
α,即x=cos
α
把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切,记作tan
α,即=tan
α(x≠0)
各象
限符
号
Ⅰ
+
+
+
Ⅱ
+
-
-
Ⅲ
-
-
+
Ⅳ
-
+
-
1.任意角的三角函数
α是一个任意角,终边上任意一点P(不与圆点O重合)的坐标为(x,y),点P与原点的距离为r,则sin
α=,cos
α=,tan
α=(x≠0).
2.三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
3.象限角
4.轴线角
5.若α∈0,,则sin
α<αα.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)小于90°的角是锐角.
(　　)
(2)若sin
α>0,则α是第一、第二象限的角.
(　　)
(3)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.
(　　)
(4)若角α为第一象限角,则sin
α+cos
α>1;若α∈,则tan
α>cos
α>sin
α.
(　　)
2.已知扇形的半径为12
cm,弧长为18
cm,则扇形圆心角的弧度数是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.π
D.π
3.sin
2cos
3tan
4的值(　　)
A.小于0
B.大于0
C.等于0
D.不存在
4.设角α的终边与单位圆相交于点P,-,则sin
α-cos
α的值是(　　)
A.-
B.-
C.
D.
5.(2020北京东城一模,12)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点(-1,),则sin
α=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
角的表示及象限的判定
【例1】(1)(2020江西九江一模)若sin
α<0,且sin(cos
α)>0,则角α是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
(2)终边在直线y=x上的角的集合为　　　　　　　　　.?
(3)若角θ的终边与角的终边相同,则在[0,2π)内终边与角的终边相同的角为　　　　　.?
解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.
2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α的象限即可.
3.确定角kα,(k≥2,且k∈N
)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或的范围,最后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.
对点训练1(1)设集合M=x·180°+45°,k∈Z,N=x·180°+45°,k∈Z,那么(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.M=N
B.M?N
C.N?M
D.M∩N=N
(2)(2020陕西榆林一中检测,3)若角θ满足sin
θ>0,tan
θ<0,则是(　　)
A.第二象限角
B.第一象限角
C.第一或第三象限角
D.第一或第二象限角
(3)已知角α为第三象限角,则2α的终边所在的位置范围为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.?
考点
三角函数定义的应用
(多考向探究)
考向1　利用定义求三角函数值
【例2】(1)(2020山东潍坊一模,3)在平面直角坐标系xOy中,点P(,1),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量,则点Q的坐标是(　　)
A.(-,1)
B.(-1,)
C.(-,1)
D.(-1,)
(2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sin
α+5cos
α+4tan
α=　　　　　　　　.?
解题心得用三角函数定义求三角函数值的两种情况:
(1)已知角α终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求解三角函数值;
(2)已知角α的终边所在的直线方程,注意终边位置有两个,对应的三角函数值有两组.
对点训练2(2020陕西宝鸡一中检测)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若角α的终边过点P,-,则cos
αtan
α的值是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-
B.
C.-
D.
考向2　利用定义求参数的值
【例3】已知角α终边上一点P(m,4),且cos
α=m,则m的值为　　　　.?
解题心得利用三角函数的定义求参数的值应用的方程思想,由已知条件及三角函数的定义得到关于参数的一个方程,解方程得参数的值.
对点训练3已知角α的终边过点P(-8m,-6sin
30°),且cos
α=-,则m的值为(　　)
A.-
B.
C.-
D.
考向3　利用定义判定三角函数值的符号
【例4】若角α的终边落在直线y=-x上,则　　　0(填“>”“<”或“=”).?
解题心得判定三角函数值的符号,先搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正弦、余弦函数值在各象限的正负情况确定.如果不知角所在象限,需要分类讨论求解.
对点训练4若θ是第二象限角,则　　　0.(填“>”“<”或“=”)?
考点
扇形弧长、面积公式的应用
【例5】(1)(2020山东历城二中模拟四,4)如图2,在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.3-
D.-2
(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角(正角)α=　　　弧度时,其面积最大,最大面积是　　　　.?
解题心得求扇形面积的最值常用的思想方法是转化法.一般从扇形面积公式出发,在弧度制下先使问题转化为关于α的函数,再利用基本不等式或二次函数求最值.
对点训练5(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的圆心角(正角)是　　　　弧度,扇形的面积是　　　　.?
(2)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,则弦AB所对的圆心角α的大小为　　　,α所在的扇形弧长l为　　　　,弧所在的弓形的面积S为　　　　　.?
【典例】如图,在平面直角坐标系xOy中,某单位圆的圆心的初始位置在点(0,1)处,此时圆上一点P的位置在点(0,0)处,圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为　　　　　　　.?
审题要点(1)已知条件:滚动后的圆心坐标为(2,1)和圆的半径长为1;(2)隐含条件:点P转动的弧长是2;(3)等量关系:P转动的弧长等于弧长所对的圆心角;(4)解题思路:求点P坐标可借助已知坐标(2,1),通过构造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函数定义求出.
答案(2-sin
2,1-cos
2)
解析如图,作CQ∥x轴,PQ⊥CQ,Q为垂足.
根据题意得劣弧的长为2,故∠DCP=2.
则在△PCQ中,∠PCQ=2-,|CQ|=cos=sin2,|PQ|=sin=-cos2,所以点P的横坐标为2-|CQ|=2-sin2,点P的纵坐标为1+|PQ|=1-cos2,所以点P的坐标为(2-sin2,1-cos2).
故=(2-sin2,1-cos2).
反思提升1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解直角三角形等知识来解决.
2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探索解题突破口.
第四章　三角函数、解三角形
4.1　任意角、弧度制及三角函数的概念
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)端点　(2)正角　负角　零角　象限角
2.(1)半径长　(2)|α|r
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.B　由题意知l=|α|r,∴|α|=.
3.A　∵sin2>0,cos3<0,tan4>0,
∴sin2cos3tan4<0.
4.A　由题意知sinα=-,cosα=,所以sinα-cosα=-=-.故选A.
5.1　由题意,α+为第二象限角.tanα+==-,所以α+,此时α=,故sinα=1.
关键能力·学案突破
例1(1)D　(2)α+kπ,k∈Z
(3)　(1)∵-1≤cosα≤1,且sin(cosα)>0,∴0∴角α为第四象限角,故选D.
(2)∵在(0,2π)内终边在直线y=x上的角是,与角终边相同的角分别为2kπ+,2kπ+=(2k+1)π+,k∈Z,
∴终边在直线y=x上的角的集合为.
(3)∵θ=+2kπ(k∈Z),
∴(k∈Z).
依题意,0≤<2π,k∈Z,解得-≤k<,k∈Z.
∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与相同的角为.
对点训练1(1)B　(2)C　(3)第一或第二象限或y轴的非负半轴　(1)由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)45°,2k+1是奇数;而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)45°,k+1是整数,因此必有M?N.
(2)由sinθ>0,tanθ<0,知θ为第二象限角,∴2kπ+<θ<2kπ+π(k∈Z),∴kπ+(3)由α是第三象限角,得π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z),
则2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).故角2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴.
例2(1)D　(2)-2或-4　(1)设向量与x轴的夹角为α,向量与x轴的夹角为β,点Q的坐标为(x,y).
由三角函数的定义得tanα=,所以α=.由题意β=,|OP|=2,所以sinβ=sin,得y=;
cosβ=cos,得x=-1.故选D.
(2)设α终边上任意一点为P(-4a,3a),r=|5a|.当a>0时,r=5a,sinα=,cosα=-,tanα=-,
5sinα+5cosα+4tanα=3-4-3=-4;
当a<0时,r=-5a,sinα=-,cosα=,tanα=-,5sinα+5cosα+4tanα=-3+4-3=-2.
综上可知,5sinα+5cosα+4tanα=-4或5sinα+5cosα+4tanα=-2.
对点训练2A　由三角函数的定义知cosα=,tanα==-,故cosαtanα=×-=-.
例30或±　由三角函数定义,cosα=m,解得,m=0或m=±.故m的值为0或±.
对点训练3B　∵r=,∴cosα==-,∴,且m>0,∴m=.
例4=　因为角α的终边落在直线y=-x上,所以角α的终边位于第二或第四象限.当角α的终边位于第二象限时,=0;当角α的终边位于第四象限时,=0.所以=0.
对点训练4<　∵θ是第二象限角,
∴-1∴sin(cosθ)<0,cos(sinθ)>0.
∴<0.
例5(1)B　(2)2　　(1)设∠AOB=θ,半圆O的半径为r,扇形OCD的半径为r1,依题意,有,即,故=2,得.
(2)设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S.
(方法1)∵c=2r+l,∴r=(l∴S=rl=×l=-l-2+,∴当l=时,Smax=,r=,此时α==2.
(方法2)S=rl=(c-l)l≤2=,当且仅当c-l=l,即l=时等号成立,此时Smax=,r=,α==2.
对点训练5(1)π-2　(π-2)r2　(2)　50　(1)设扇形的圆心角为θ,则扇形的周长是2r+rθ.
由题意知2r+rθ=πr,∴θ=π-2.
∴扇形的面积S=r2θ=(π-2)r2.
(2)在△AOB中,AB=OA=OB=10,
故△AOB为等边三角形.
因此弦AB所对的圆心角α的大小为.
故α所在的扇形弧长为l=×10=,S弓=S扇-S△AOB=×10-×102×sinπ-=50.4.2　同角三角函数的基本关系及诱导公式
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=　　　　.?
(2)商数关系:=　　　?.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α
(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sin
α
　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
余弦
cos
α
　　?
　　?
　　?
　　?
　　?
正切
tan
α
　　?
　　?
　　?
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,
符号看象限
1.特殊角的三角函数值
2.同角三角函数基本关系式的常用变形
(1)(sin
α±cos
α)2=1±2sin
αcos
α;
(2)sin
α=tan
αcos
αα≠+kπ,k∈Z;
(3)sin2α=;
(4)cos2α=.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)对任意的角α,β有sin2α+cos2β=1.
(　　)
(2)若α∈R,则tan
α=恒成立.
(　　)
(3)sin(π+α)=-sin
α成立的条件是α为锐角.
(　　)
(4)若cos(nπ-θ)=(n∈Z),则cos
θ=.
(　　)
2.(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cosα-=-,α∈π,,则tan
α=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.
C.1
D.
3.(2020河北唐山模拟,理4)已知角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点A(2sin
α,3)(sin
α≠0),则cos
α=(　　)
A.
B.-
C.
D.-
4.函数f(x)=sinx++cosx-的最大值为(　　)
A.
B.1
C.
D.
关键能力学案突破　
考点
同角三角函数基本关系式的应用
【例1】(1)若tan(α-π)=,则=
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-
B.-2
C.
D.2
(2)已知tan
θ=2,则sin2θ+sin
θcos
θ-2cos2θ等于
(　　)
A.-
B.
C.-
D.
解题心得1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用tanα=可以实现角α的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos2α+sin2α=(sinα+cosα)2-2sinαcosα=tan.
3.关于sinα,cosα的齐次式,往往化为关于tanα的式子.
对点训练1(1)已知α是第四象限角,sin
α=-,则tan
α等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-
B.
C.-
D.
(2)若3sin
α+cos
α=0,则的值为
(　　)
A.
B.
C.
D.-2
考点
利用sinα±cosα与sinαcosα关系求值
【例2】(1)(2020山西太原三模,理3)已知sin
θ-cos
θ=,θ∈(0,π),则tan
θ=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1
B.-
C.
D.1
(2)已知θ为第二象限角,sin
θ,cos
θ是关于x的方程2x2+(-1)x+m=0(m∈R)的两根,则sin
θ-cos
θ=
(　　)
A.
B.
C.
D.-
解题心得1.通过平方,对称式sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα之间可建立联系,若令sinα+cosα=t,则sinαcosα=,sinα-cosα=±(注意根据α的范围选取正、负号).
2.利用上述关系,对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三个式子,可以知一求二.
对点训练2(2020江西名校大联考,理3)已知α∈,sin(π-2α)=-,则sin
α-cos
α=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.-
C.
D.-
考点
诱导公式的应用
【例3】(1)已知sin(π-α)=log8,且α∈-,0,则tan(2π-α)的值为(　　)
A.-
B.
C.±
D.
(2)已知θ是第四象限角,且sinθ+=,则tanθ-=　　　　.?
解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等.
对点训练3(1)已知A=(k∈Z),则A的值构成的集合是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{1,-1,2,-2}
B.{-1,1}
C.{2,-2}
D.{1,-1,0,2,-2}
(2)sin
600°+tan
240°的值等于　　　　.?
(3)已知sin+α=,则cosα-=　　　.?
考点
同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【例4】(1)(2020河北邯郸联考)已知3sin+α=-5cos+α,则tan+α=(　　)
A.-
B.-
C.
D.
(2)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin
α=(　　)
A.
B.
C.
D.
解题心得1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
对点训练4(1)已知角tan
θ=,则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-
B.
C.-
D.
(2)已知sin
α=,则tan(π+α)+=　　　　.?
4.2　同角三角函数的基
本关系及诱导公式
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)1　(2)tan
α
2.-sin
α　-sin
α　sin
α　cos
α　cos
α　-cos
α　cos
α　-cos
α　sin
α　-sin
α
tan
α　-tan
α　-tan
α
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.A　∵cosα-=sinα=-,又α∈π,,∴cosα=-,∴tanα=2.故选A.
3.A　由三角函数定义得tanα=,即,得3cosα=2sin2α=2(1-cos2α),解得cosα=或cosα=-2(舍去).故选A.
4.A　因为cosx-=cos-x+=sinx+,所以f(x)=sinx++sinx+=sinx+,故函数f(x)的最大值为.故选A.
关键能力·学案突破
例1(1)D　(2)D　(1)tan(α-π)=-tan(π-α)=tanα=,
==2.
(2)sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ
=
=,
又tanθ=2,故原式=.
对点训练1(1)C　(2)A　(1)因为α是第四象限角,sinα=-,所以cosα=,故tanα==-.
(2)由题知,3sinα+cosα=0,且cosα≠0,故tanα=-,
.
例2(1)A　(2)B　(1)由sinθ-cosθ=,得1-2sinθcosθ=2,所以2sinθcosθ=-1,又α∈(0,π),所以cosθ<0,所以θ∈,π,则(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=0,解得sinθ+cosθ=0,所以tanθ=-1.
(2)由题意,sinθ+cosθ=,sinθcosθ=,则(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ·cosθ=1+m=,
解得m=-.因为θ为第二象限角,所以sinθ>0,cosθ<0,即sinθ-cosθ>0,
因为(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-m=1+,所以sinθ-cosθ=.故选B.
对点训练2D　因为sin(π-2α)=-,所以sin2α=-,即2sinαcosα=-.所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+.又因为α∈,所以sinα例3(1)B　(2)-　(1)sin(π-α)=sinα=log8=-,
又因为α∈-,0,则cosα=,
∴tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=-.
(2)∵sinθ+=,
∴cosθ-=cosθ+-=sinθ+=.
又θ是第四象限角,
∴θ-是第三或第四象限角.
∴sinθ-=-.
∴tanθ-=-.
对点训练3(1)C　(2)　(3)-
(1)当k为偶数时,A==2;
当k为奇数时,A==-2.
(2)sin600°+tan240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=-sin120°+tan60°=-.
(3)cosα-=cos-α=cosπ-+α=-cos+α,而sin+α=sin++α=cos+α=,故cosα-=-.
例4(1)A　(2)C　(1)由3sin+α=-5cos+α,得sin+α=-cos+α,
所以tan+α==-.
(2)由已知得
消去sinβ,得tanα=3,
∴sinα=3cosα,代入sin2α+cos2α=1,
化简得sin2α=,则sinα=(α为锐角).
对点训练4(1)D　(2)或-　
(1)sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ
=sin2θ+sinθcosθ-cos2θ
=
=
=.
(2)∵sinα>0,∴α为第一或第二象限角,tan(α+π)+=tanα+.
①当α是第一象限角时,cosα=,原式=;
②当α是第二象限角时,cosα=-=-,原式==-.
综合①②知,原式=或-.4.3　三角函数的图象与性质
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y=sin
x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,0),,1,(π,0),,-1,(2π,0).
(2)余弦函数y=cos
x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,1),,0,(π,-1),,0,(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y=sin
x
y=cos
x
y=tan
x
图象
续　表
函数
y=sin
x
y=cos
x
y=tan
x
定义域
R
R
　　　　?
值域
　　　?
　　　?
R
周期性
2π
　　　?
　　　?
奇偶性
　　　?
　　　?
奇函数
单调递
增区间
(k∈Z)
　　　?
(k∈Z)
续　表
函数
y=sin
x
y=cos
x
y=tan
x
单调递
减区间
(k∈Z)
　　　?
对称
中心
(kπ,0)(k∈Z)
(k∈Z)
(k∈Z)
对称轴
x=kπ
(k∈Z)
(x=kπ)
3.三角函数的周期
函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(x∈R,其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期均为T=;函数y=Atan(ωx+φ)x∈R,且ωx+φ≠+kπ,k∈Z,其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0的周期为T=.
1.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
2.辅助角公式:asin
x+bcos
x=sin(x+φ),其中tan
φ=.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)y=cos
x在第一、第二象限内是单调递减的.
(　　)
(2)若y=ksin
x+1,x∈R,则y的最大值是k+1.
(　　)
(3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.
(　　)
(4)函数y=sin
x图象的对称轴方程为x=2kπ+(k∈Z).(　　)
(5)函数y=tan
x在整个定义域上是增函数.
(　　)
2.(2020北京房山二模,3)函数f(x)=sin
πxcos
πx的最小正周期为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.2
C.π
D.2π
3.(2020山东淄博一模,5)函数f(x)=sin(x+θ)在[0,π]上单调递增,则θ的值可以是(　　)
A.0
B.
C.π
D.
4.函数f(x)=sin2x-在区间0,上的最小值为(　　)
A.-1
B.-
C.
D.0
5.函数y=tan的单调递增区间是　　　　,最小正周期是　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
三角函数的定义域
【例1】(1)函数y=的定义域为　　　　.?
(2)函数y=lg(sin
x)+的定义域为　　　.?
解题心得三角函数与基本初等函数的组合或复合,其定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集.
对点训练1函数y=lg(sin
2x)+的定义域为　　　　　　　　　　　　　.?
考点
三角函数的值域、最大(小)值
【例2】(1)函数f(x)=3sin2x-在区间0,上的值域为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-
B.-,3
C.-
D.-,3
(2)函数f(x)=sin2x+cos
x-x∈0,的最大值是　　　　.?
解题心得求三角函数值域、最大(小)值的方法:
(1)利用sinx和cosx的值域直接求.
(2)形如y=asinx+bcosx的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最大(小)值).
(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.
对点训练2(1)(2020河北衡水调研)已知函数f(x)=sinx+,其中x∈-,a,若f(x)的值域是-,1,则实数a的取值范围是　　　　　　.?
(2)函数y=sin
x-cos
x+sin
xcos
x的值域为　　　　　　　　.?
考点
三角函数的性质
(多考向探究)
考向1　三角函数的单调性及其应用
【例3】(1)已知函数f(x)=sin
ωx+cos
ωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.kπ-,kπ+,k∈Z
B.kπ+,kπ+,k∈Z
C.kπ-,kπ+,k∈Z
D.kπ+,kπ+,k∈Z
(2)(2020湖南湘潭三模,文10)已知函数f(x)=2sin
ωx(ω>0)在x∈[a,2](a<0)上的最大值为1,且单调递增,则2-a的最大值为(　　)
A.6
B.7
C.9
D.8
解题心得1.求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先把三角函数式化简成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,然后求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把(ωx+φ)看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要把ω化为正数.
2.已知函数在某区间上单调求参数ω的范围的解法:先确定出已知函数的单调区间,再利用已知的单调区间为函数的单调区间的子集的关系求解.
对点训练3(1)若函数f(x)=sin
ωx(ω>0)在区间0,上单调递增,在区间上单调递减,则ω等于
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.2
D.3
(2)函数f(x)=sin-2x+的单调递减区间为　　　　　　.?
考向2　三角函数的周期及其应用
【例4】(1)
(2020全国1,理7,文7)设函数f(x)=cosωx+在[-π,π]的图象大致如右图,则f(x)的最小正周期为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1解题心得若求最小正周期,可把所给三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,则最小正周期为T=;奇偶性的判断关键是解析式是否为y=Asinωx或y=Acosωx+b的形式.
对点训练4(2020河南实验中学4月模拟,4)在函数:①y=cos
|2x|;②y=|cos
x|;③y=cos;④y=tan2x-中,最小正周期为π的所有函数为(　　)
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
考向3　三角函数的对称性及其应用
【例5】(1)已知函数f(x)=asin
x+cos
x(a为常数,x∈R)的图象关于直线x=对称,则函数g(x)=sin
x+acos
x的图象(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.关于点,0对称
B.关于点,0对称
C.关于直线x=对称
D.关于直线x=对称
(2)若函数f(x)=sin
ωx-cos
ωx(ω>0)图象的一个对称中心为M,0,距离点M最近的一条对称轴为直线x=,则ω=　　　　.?
解题心得三角函数图象的对称性包括轴对称和中心对称,求三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)图象的对称轴及对称中心,要把(ωx+φ)看作一个整体,若求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x;若求f(x)的对称中心,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;对于f(x)=Acos(ωx+φ),若求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;若求f(x)的对称中心,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x.
对点训练5(1)(2020湖北武汉调研)设函数f(x)=sinx+θ-cosx+θ|θ|<的图象关于y轴对称,则θ=(　　)
A.-
B.
C.-
D.
(2)(2020河北衡水中学三模,理15)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象关于点,0对称,且f<0,则f=　　　　.?
考向4　三角函数性质的综合应用
【例6】(1)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则
(　　)
A.f(x)在内单调递减
B.f(x)在内单调递减
C.f(x)在内单调递增
D.f(x)在内单调递增
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M,0对称,且在区间0,上是单调函数,则ω=　　　　　,φ=　　　　.?
解题心得1.已知三角函数的周期性、奇偶性判断其单调性的基本思路:根据给出的三角函数的周期性、奇偶性求出三角函数式中的参数,然后把三角函数式化成y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式再判断其单调性.
2.有关三角函数性质的综合性问题,要注重结合函数图象,通过数形结合求解.
对点训练6(1)(2020河北武邑中学三模,10)已知x0=是函数f(x)=coscos
φ+cos
3xsin
φ的一个极小值点,则f(x)的一个单调递增区间是(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期为4π,且?x∈R,有f(x)≤f成立,则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)
A.
B.
C.
D.
4.3　三角函数的图象与性质
必备知识·预案自诊
知识梳理
2.x,且x≠kπ+,k∈Z　[-1,1]　[-1,1]　2π　π　奇函数　偶函数　[2kπ-π,2kπ](k∈Z)　[2kπ,2kπ+π](k∈Z)　
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2.A　f(x)=sinπxcosπx=sin2πx,故周期T==1.故选A.
3.D　当θ=0时,f(x)=sinx在[0,π]上不单调,故A不正确;当θ=时,f(x)=cosx在[0,π]上单调递减,故B不正确;当θ=π时,f(x)=-sinx在[0,π]上不单调,故C不正确;当θ=时,f(x)=-cosx在[0,π]上单调递增,故D正确.故选D.
4.B　由已知x∈0,,得2x-∈-,所以sin2x-∈-,1,故函数f(x)=sin2x-在区间0,上的最小值为-.
5.2kπ-,2kπ+(k∈Z)　2π　由kπ-关键能力·学案突破
例1(1)xx≠+kπ,且x≠+kπ,k∈Z　(2)x2kπ即
故函数的定义域为xx≠+kπ,且x≠+kπ,k∈Z.
(2)函数有意义,则
即
解得
所以2kπ所以函数的定义域为x2kπ对点训练1-3,-∪0,　由题意可知
得
解得-3≤x<-或0故函数y=lg(sin2x)+的定义域为-3,-∪0,.
例2(1)B　(2)1　(1)当x∈0,时,2x-∈-,sin2x-∈-,1,
故3sin2x-∈-,3,即此时函数f(x)的值域是-,3.
(2)由题意可得f(x)=-cos2x+cosx+=-cosx-2+1.
∵x∈0,,∴cosx∈[0,1].
∴当cosx=,即x=时,f(x)取最大值为1.
对点训练2(1),π　(2)-,1　(1)由x∈-,a,知x+∈-,a+,
∵当x+∈-时,f(x)的值域为-,1,
∴由函数的图象知≤a+,
∴≤a≤π.
故实数a的取值范围为,π.
(2)设t=sinx-cosx,则t2=sin2x+cos2x-2sinxcosx,sinxcosx=,且-≤t≤.
∴y=-+t+=-(t-1)2+1.
当t=1时,ymax=1;当t=-时,ymin=-.
∴函数的值域为-,1.
例3(1)C　(2)D　(1)f(x)=sinωx+cosωx=2sinωx+.
由函数y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离为π,知函数y=f(x)的最小正周期T=π,所以T==π,解得ω=2,即f(x)=2sin2x+.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
(2)由题意可知,[a,2]?-,f(2)=2sin2ω=1,2ω=,ω=,
则amin=-6,故2-a的最大值为8.
对点训练3(1)B　(2)kπ-,kπ+(k∈Z)　(1)∵f(x)=sinωx(ω>0)过原点,∴当0≤ωx≤,
即0≤x≤时,y=sinωx单调递增;
当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sinωx单调递减.
由f(x)=sinωx(ω>0)在区间0,上单调递增,
在区间上单调递减知,,∴ω=.
(2)求函数f(x)=sin-2x+的单调递减区间,
只需求f(x)=sin2x-的单调递增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所给函数的单调递减区间为kπ-,kπ+(k∈Z).
例4(1)C　(2)2或3　(1)由题图知f=cos=0,
所以-ω++kπ(k∈Z),
化简得ω=-(k∈Z).
因为T<2π<2T,即<2π<,
所以1<|ω|<2,解得-当且仅当k=-1时,1<|ω|<2.
所以ω=,最小正周期T=.
(2)由题意知1<<2,即k<π<2k.
解得又k∈N,所以k=2或k=3.
对点训练4A　y=cos|2x|=cos2x,该函数为偶函数,最小正周期T==π;将函数y=cosx在x轴下方的图象向上翻折即可得到y=|cosx|的图象,该函数的最小正周期为×2π=π;函数y=cos的最小正周期为T==π;函数y=tan的最小正周期为T=.综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③.故选A.
例5(1)C　(2)3　(1)因为函数f(x)=asinx+cosx(a为常数,x∈R)的图象关于直线x=对称,所以f(0)=f,所以1=a+,a=,所以g(x)=sinx+cosx=sinx+,函数g(x)的对称轴方程为x+=kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z).当k=0时,对称轴为直线x=,所以g(x)=sinx+acosx的图象关于直线x=对称.
(2)函数f(x)=sinωx-cosωx=2sinωx-,
因为图象的一个对称中心为M,0,距离点M最近的一条对称轴为x=,
所以,即T=.
故ω==3.
对点训练5(1)A　(2)-2　(1)f(x)=sinx+θ-cosx+θ=2sinx+θ-,由题意可得f(0)=2sinθ-=±2,
即sinθ-=±1,
∴θ-+kπ(k∈Z),
∴θ=+kπ(k∈Z).
∵|θ|<,∴当k=-1时,θ=-.
(2)函数f(x)的图象关于点,0对称,且函数f(x)周期为π,
而x=距离x=的长度为,所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴,
又,且f<0,所以f=-2.
例6(1)A　(2)或2　　(1)题意知f(x)
=sin.
∵f(x)的最小正周期为π,∴ω=2,
∴f(x)=sin.
由f(x)=f(-x)知f(x)是偶函数,
因此φ+=kπ+(k∈Z).
又|φ|<,∴φ=,
∴f(x)=cos2x.
当0<2x<π,即0(2)由题意,y轴为函数f(x)图象的对称轴,所以f(0)=sinφ=±1,又0≤φ≤π,所以φ=.
由f(x)的图象关于点M,0对称,得f=0,即sinω+=cosω=0.
又ω>0,所以ω=kπ+,
所以ω=k+,k∈Z.
当k=0时,ω=,f(x)=sinx+=cosx,在区间0,上单调递减,
当k=1时,ω=2,f(x)=sin2x+=cos2x,在区间0,上单调递减,
当k≥2时,ω≥,f(x)=sinωx+=cosωx,在区间0,上不是单调函数,
综上,ω=或2,φ=.
对点训练6(1)A　(2)A　(1)f(x)=coscosφ+cos3xsinφ=sin(3x+φ).
由已知直线x0=是函数f(x)=sin(3x+φ)过最小值点的对称轴,
结合图象可知是函数f(x)的一个单调递增区间.
因为,所以是函数f(x)的一个单调递增区间.故选A.
(2)由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=.因为f(x)≤f恒成立,所以f(x)max=f,即+φ=+2kπ(k∈Z),由|φ|<,得φ=,
故f(x)=sin.
令x+=kπ(k∈Z),得x=2kπ-(k∈Z),故f(x)图象的对称中心为2kπ-,0(k∈Z),当k=0时,f(x)图象的对称中心为-,0.4.4　三角恒等变换
第1课时　两角和与差的正弦、余弦与正切公式
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角差的余弦公式:cos(α-β)=　　　　　　　　　;?
两角和的余弦公式:cos(α+β)=　　　　　　　　　;?
两角差的正弦公式:sin(α-β)=　　　　　　　　　;?
两角和的正弦公式:sin(α+β)=　　　　　　　　　;?
两角和的正切公式:tan(α+β)=　　　　　　　　　;?
两角差的正切公式:tan(α-β)=　　　　　　　　　.?
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin
2α=　　　　　　　　;?
(2)cos
2α=　　　　　=　　　　　=　　　　　;?
(3)tan
2α=.
3.半角公式
sin=±,
cos=±,
tan=±.
1.公式的常用变式:tan
α±tan
β=tan(α±β)(1?tan
αtan
β).
2.降幂公式:(1)sin2α=;(2)cos2α=;(3)sin
αcos
α=sin
2α.
3.升幂公式:(1)1+cos
α=2cos2;(2)1-cos
α=2sin2;(3)1±sin
α=sin±cos2.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式中的角α,β是任意的.(　　)
(2)公式asin
x+bcos
x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.(　　)
(3)cos
θ=2cos2-1=1-2sin2.(　　)
(4)当α是第一象限角时,sin.(　　)
(5)=tan.(　　)
2.(2020全国3,理9)已知2tan
θ-tanθ+=7,则tan
θ=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2
B.-1
C.1
D.2
3.(2020广东揭阳一模,4)若sin-2α=,则sin4α-cos4α的值为(　　)
A.
B.
C.-
D.-
4.(2020湖南常德一模,文13)已知sin
20°+mcos
20°=2cos
130°,则m=　　　　　.?
5.(2020全国2,文13)若sin
x=-,则cos
2x=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
公式的直接应用
【例1】(1)(2020湖南郴州二模,文4)已知角α的终边在直线y=x上,则tan-α=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.-
C.7
D.-7
(2)(2020浙江,13)已知tan
θ=2,则cos
2θ=　　　;tan=　　　　.?
解题心得三角函数和、差、倍、半公式对使公式有意义的任意角都成立.在解题时要注意观察已知条件中的角和所求函数值的角之间的和、差、倍、互补、互余等关系,以便于用已知角表示未知角.
对点训练1(1)(2020山西太原五中6月模拟,理8)已知α∈π,,2sin
2α=1-cos
2α,则tan=(　　)
A.
B.-
C.-
D.
(2)已知sin
α=,α∈,π,则=　　　　　.?
考点
公式的逆用及变用
【例2】(1)(2020全国3,文5)已知sin
θ+sinθ+=1,则sinθ+=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)(2020陕西宝鸡三模,文11)数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用,黄金分割比t=≈0.618还可以表示成2sin218°,则=(　　)
A.4
B.-1
C.2
D.
(3)计算:tan
25°+tan
35°+tan
25°tan
35°=　　　.?
解题心得运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练公式的直接应用,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
对点训练2(1)设a=cos
50°cos
127°+cos
40°cos
37°,b=(sin
56°-cos
56°),c=,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.a>c>b
(2)已知cosα-+sin
α=,则sinα+=　　　　.?
考点
角的变换与名的变换(多考向探究)
考向1　三角公式中角的变换
【例3】(1)(2020河北石家庄二模,文7)在平面直角坐标系中,角α+的终边经过点P(1,2),则sin
α=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)(2020山东聊城二模,13)已知cosα+=,α∈0,,则sin2α-=　　　.?
解题心得1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
2.常见的配角技巧
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=,α==α+-+β.
对点训练3(1)(2020四川成都模拟,理7)在平面直角坐标系xOy中,若角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆O交于点P(x0,y0),且α∈-,0,cosα+=,则x0的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)(2020山东济宁5月模拟,14)已知tan(α+β)=,tan
β=,则tanα+的值为　　　　.?
考向2　三角公式中名的变换
【例4】已知α,β为锐角,tan
α=,cos(α+β)=-.
(1)求cos
2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
解题心得三角函数名的变换技巧:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.
对点训练4(1)已知tan
θ+=4,则cos2θ+=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)(2019江苏,13)已知=-,则sin2α+的值是　　　　　.?
4.4　三角恒等变换
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.cos
αcos
β+sin
αsin
β　cos
αcos
β-sin
αsin
β　sin
αcos
β-cos
αsin
β　sin
αcos
β+cos
αsin
β　
2.(1)2sin
αcos
α　(2)cos2α-sin2α　2cos2α-1　1-2sin2α
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2.D　由已知得2tanθ-=7,即tan2θ-4tanθ+4=0,解得tanθ=2.
3.D　sin-2α=cos2α=,sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=-cos2α=-.
4.-　已知sin20°+mcos20°=2cos130°=-2cos50°=-2cos(20°+30°)=sin20°-cos20°,所以m=-.
5.　∵sinx=-,
∴cos2x=1-2sin2x=1-2×.
关键能力·学案突破
例1(1)B　(2)-　(1)因为角α的终边在直线y=x上,所以tanα=,则tan-α==-.故选B.
(2)cos2θ=cos2θ-sin2θ==-;
tan.
对点训练1(1)B　(2)-　(1)由2sin2α=1-cos2α,得4sinαcosα=2sin2α,即2cosα=sinα,所以tanα=2,
由tanα==2,得tan2+tan-1=0,所以tan.
因α∈π,,则∈,
所以tan<0,
所以tan=-.
(2)∵sinα=,α∈,π,
∴cosα=-,
=
=cosα-sinα
=-.
例2(1)B　(2)D　(3)　(1)根据两角和的正弦公式展开得sinθ+sinθ+=sinθ+sinθ+cosθ=sinθ+cosθ=1,即sinθ+=1,解得sinθ+=.故选B.
(2)∵t=2sin18°,∴.
(3)原式
=tan(25°+35°)(1-tan25°tan35°)+tan25°tan35°
=(1-tan25°tan35°)+tan25°tan35°
=.
对点训练2(1)D　(2)　(1)a=cos50°cos127°+cos40°cos37°
=cos50°cos127°+sin50°sin127°
=cos(50°-127°)=cos(-77°)
=cos77°=sin13°,
b=(sin56°-cos56°)=sin56°-cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,
c=
=cos239°-sin239°=cos78°=sin12°.
因为函数y=sinx,在区间0,上单调递增,
所以sin13°>sin12°>sin11°,所以a>c>b.
(2)由cosα-+sinα=,可得cosα+sinα+sinα=,
即sinα+cosα=,
∴sinα+=,即sinα+=.
例3(1)A　(2)-　(1)由题意知sinα+=,cosα+=,
sinα=sinα+-
=sinα+cos-cosα+·sin
=,
故选A.
(2)由α∈0,,得α+∈,又cosα+=,
所以sinα+=.
sin2α-=sin2α-π+
=-sinπ-2α+
=-sin2α+
=-2sinα+cosα+
=-2×=-.
对点训练3(1)A　(2)　(1)由α∈-,0,得α+∈-,若α+∈0,,cosα+>cos,不符合题意,
所以α+∈-,0,sinα+=-,
所以x0=cosα=cosα+-=+-×.
(2)因为tanα=tan[(α+β)-β]=,
tanα+=
=.
例4解(1)因为tanα=,tanα=,
所以sinα=cosα.
因为sin2α+cos2α=1,
所以cos2α=,
所以cos2α=2cos2α-1=-.
(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).
又因为cos(α+β)=-,
所以α+β∈,π.
所以sin(α+β)=,所以tan(α+β)=-2.
因为tanα=,
所以tan2α==-.
所以tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.
对点训练4(1)C　(2)　(1)由tanθ+=4,得=4,即=4,∴sinθcosθ=,
∴cos2θ+=.
(2)由=-,得3tan2α-5tanα-2=0,解得tanα=2或tanα=-.
又sin=sin2αcos+cos2αsin(sin2α+cos2α)
=
=.(
)
①当tanα=2时,(
)式=;
②当tanα=-时,(
)式=.
综上,sin.第2课时　简单的三角恒等变换
必备知识预案自诊　
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)y=3sin
x+4cos
x的最大值是7.
(　　)
(2)在斜三角形ABC中,tan
A+tan
B+tan
C=tan
Atan
Btan
C.
(　　)
(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.
(　　)
(4)存在实数α,使tan
2α=2tan
α.
(　　)
2.化简:=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2cos
B.cos
C.2sin
D.sin
3.已知sin-α=,那么cos
2α+sin
2α=
(　　)
A.
B.-
C.-
D.
4.若tan
α=-3,则的值为(　　)
A.
B.
C.
D.-2
5.设α1,α2∈R,且=2
019,则tan(α1+α2)=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
三角函数式的化简
【例1】(1)等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.-sin
α
B.-cos
α
C.sin
α
D.cos
α
(2)化简:-2cos(α+β).
解题心得1.三角函数式化简、求值的一般思路:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化等.
2.三角化简的标准:三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.
3.化简、求值的主要技巧:
(1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;
(2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值.
对点训练1(1)化简:=　　　　.?
(2)化简:.
考点
三角函数式的求值
(多考向探究)
考向1　给角求值
【例2】的值是　　　　.?
解题心得三角函数给角求值问题的解题策略:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.
对点训练2求值:=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.2
C.
D.
考向2　给值求值
【例3】已知sinα+=,α∈,π.
求:(1)cos
α的值;
(2)sin2α-的值.
解题心得三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
对点训练3(1)(2020河北保定二模,文6,理6)已知sin+α=cos-α,则cos
2α=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.0
B.1
C.
D.
(2)设α为锐角,若cosα+=,则sin2α+的值为　　　　　.?
考向3　给值求角
【例4】(1)(2020湖南师大附中一模,理7)已知α为锐角,且cos
α(1+tan
10°)=1,则α的值为(　　)
A.20°
B.40°
C.50°
D.70°
(2)若sin
2α=,sin(β-α)=,且α∈,π,β∈π,,则α+β的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
解题心得解决“给值求角”问题的一般思路:从给的条件中先求出角的某种三角函数的值;然后根据已知条件确定角的范围;最后根据角的范围写出所求的角.在求角的某种三角函数值时,选函数的原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是0,,选正弦、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为-,选正弦较好.
对点训练4(1)已知锐角α,β满足sin
α=,cos
β=,则α+β等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.2kπ+(k∈Z)
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan
β=-,则2α-β的值为　　　　　.?
考点
三角恒等变换的综合应用
【例5】(2020陕西宝鸡三模,文17)已知函数f(x)=cos
xsin(π-x)+sin2x-,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在-上的值域.
解题心得三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将f(x)化为asinx+bcosx的形式;
(2)利用和(差)角公式,将f(x)=asinx+bcosx转化为f(x)=Asin(x+φ)的形式;
(3)利用f(x)=Asin(x+φ)研究三角函数的性质.
对点训练5(2019浙江,18)设函数f(x)=sin
x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=fx+2+fx+2的值域.
第2课时　简单
的三角恒等变换
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.A　原式==2cos.
3.A　∵cos2α+sin2α=2sin2α+=2sin+2α=2sin-2-α=2cos
=2-4sin2-α=.
4.D　tanα=-3,即=-2.故选D.
5.1　∵α1,α2∈R,且=2019,∴sinα1+2=1,2+sin2α2=1,
求得sinα1=-1,sin2α2=-1,
∴α1=2kπ-,且2α2=2nπ-,k,n∈Z,∴α2=nπ-,n∈Z,
∴α1+α2=(2k+n)π-,n,k∈Z,
∴tan(α1+α2)=tan=1.
关键能力·学案突破
例1(1)D　=cosα.
(2)解原式=
=
=
=
=.
对点训练1(1)2cos
α　原式==2cosα.
(2)解原式==1.
例22　原式=
==2.
对点训练2C　原式=
=
=
=
=
=.
例3解(1)由sinα+=,得
sinαcos+cosαsin,
化简得sinα+cosα=,
①
又sin2α+cos2α=1,
②
且α∈,π,
解得cosα=-.
(2)∵α∈,π,cosα=-,
∴sinα=,
∴cos2α=1-2sin2α=-,sin2α=2sinαcosα=-,
∴sin2α-=sin2αcos-cos2αsin=-.
对点训练3(1)A　(2)　(1)由sin+α=cos-α,得cosα+sinα=cosα+sinα,所以sinα=cosα,cos2α=cos2α-sin2α=0.
(2)∵α为锐角,且cosα+=>0,∴α+∈,
∴sinα+=.
∴sin2α+=sin2α+-=sin2α+cos-cos2α+sinsinα+cosα+-2cos2α+-1=2×2-1=.
例4(1)B　(2)A　(1)由cosα(1+tan10°)=1可得cosα·=1,
即cosα·=1,
∴cosα==cos40°.
∵α为锐角,∴α=40°.故选B.
(2)∵α∈,π,∴2α∈,2π.
∵sin2α=,∴2α∈,π,
∴α∈,且cos2α=-.
又sin(β-α)=,β∈π,,
∴β-α∈,cos(β-α)=-,
∴cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]
=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α
=-×--,
又α+β∈,2π,∴α+β=.
对点训练4(1)C　(2)-　(1)由sinα=,cosβ=,且α,β为锐角,可知cosα=,sinβ=,
故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=,
又0<α+β<π,故α+β=.
(2)因为tanα=tan[(α-β)+β]
=
=>0,
所以0<α<.
又因为tan2α=>0,所以0<2α<.
所以tan(2α-β)==1.
因为tanβ=-<0,
所以<β<π,-π<2α-β<0,
所以2α-β=-.
例5解(1)由题意,函数f(x)=cosxsin(π-x)+sin2x-=sinxcosx-cos2x=sin2x-(cos2x+1)=sin2x-cos2x-=sin2x--,
所以函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)因为-≤x≤,则-≤2x-,可得-1≤sin2x-≤,所以-1-≤sin2x--,故f(x)在-上的值域为-1-.
对点训练5解(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sinxcosθ+cosxsinθ=-sinxcosθ+cosxsinθ,故2sinxcosθ=0,所以cosθ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=.
(2)y=fx+2+fx+2=sin2x++sin2x+
=1-cos2x-sin2x
=1-cos2x+.
因此,函数的值域是1-,1+.4.5　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与应用
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0),
x∈[0,+∞)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=
f=
ωx+φ
φ
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示
x
ωx+φ
0
π
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
3.由y=sin
x的图象得y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的作法:
(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.
(2)图象变换法:由函数y=sin
x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先φ后ω”)与“先伸缩后平移”(即“先ω后φ”).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)把y=sin
x的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为y=sinx.(　　)
(2)将y=sin
2x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin的图象.
(　　)
(3)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A.
(　　)
(4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.
(　　)
(5)若函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=2kπ+(k∈Z).
(　　)
2.将函数y=2sin2x+的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=2sin2x+
B.y=2sin2x+
C.y=2sin2x-
D.y=2sin2x-
3.(2020河南开封三模,理6)为了得到函数y=(sin
2x+cos
2x)的图象,只需把函数y=2sin
2x图象上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.(2020安徽马鞍山二模,6)函数f(x)=sinx+的图象平移后对应函数g(x)=sinx++φ的图象,若g(x)为偶函数,则|φ|的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D.
5.(2020江苏,10)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【例1】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
-5
0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.
解题心得对函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ≠0),其图象的基本变换有:
(1)纵向伸缩变换:伸长A增大,缩短A减小.
(2)横向伸缩变换:伸长周期增大ω减小;缩短周期减小ω增大.
(3)横向平移变换:左移1个单位长度,y=Asin[ω(x+1)+φ];右移1个单位长度,y=Asin[ω(x-1)+φ].
(4)上下平移:上移1个单位长度y=Asin(ωx+φ)+1;下移1个单位长度y=Asin(ωx+φ)-1.
对点训练1已知函数y=2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出函数y在一个周期内的图象;
(3)说明y=2sin的图象可由y=sin
x的图象经过怎样的变换而得到.
考点
求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
(多考向探究)
考向1　由函数的图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
【例2】(1)
(多选)(2020山东菏泽一模,11)已知函数f(x)=Asin(ωx+4φ)A>0,ω>0,0<φ<的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象纵坐标不变,横坐标变为原来的,再向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列命题正确的是(　　)
A.函数f(x)的解析式为f(x)=2sinx+
B.函数g(x)的解析式为g(x)=2sin
C.函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=-
D.函数g(x)在区间上单调递增
　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则(　　)
A.y=2sin2x-
B.y=2sin2x-
C.y=2sinx+
D.y=2sinx+
解题心得由图象确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤和方法:
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=.
(2)求ω:确定函数的最小正周期T,则可得ω=.
(3)求φ:①把图象上的一个已知点代入来求.
②寻找“五点法”中的某一个点来求,具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时,ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时,ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时,ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)时,ωx+φ=;“第五点”时,ωx+φ=2π.
对点训练2(1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=2sinx+
B.f(x)=2sinx+
C.f(x)=2sinx+
D.f(x)=2sin2x+
　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则f的值为(　　)
A.-
B.-
C.-
D.-1
考向2　由函数y=Asin(ωx+φ)的性质求解析式
【例3】(2020山东济南三模,19)已知函数f(x)=Asinωx+(A>0,ω>0)只能同时满足下列条件中的两个:①函数f(x)的最大值为2,②函数f(x)的图象可由y=sin的图象平移得到,③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)请写出这两个条件的序号,并求出f(x)的解析式;
(2)求方程f(x)+1=0在区间[-π,π]上所有解的和.
解题心得由函数y=Asin(ωx+φ)的性质确定其解析式的方法:由函数的最值确定A,由函数的周期性确定ω,由函数的奇偶性或对称性确定φ.
对点训练3(2020北京东城一模,17)已知函数f(x)=asin2x--2cos2x+(a>0),且满足　　　　　.?
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.
从①f(x)的最大值为1,②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π,③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.
考点
函数y=Asin(ωx+φ)的模型的应用
【例4】据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的模型波动(x为月份,且1≤x≤12,x∈N
),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元,则7月份的出厂价格为　　　　元.?
解题心得三角函数模型在实际应用中的2种类型及解题策略
1.已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则;
2.把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.
对点训练4(1)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinx+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.5
B.6
C.8
D.10
(2)某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28
℃,12月份的月平均气温最低为18
℃,则10月份的月平均气温为　　　　℃.?
考点
三角变换与函数y=Asin(ωx+φ)的综合
【例5】(2020江西名校大联考,理17)已知函数f(x)=2asin-xcos,且f=1.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期;
(2)若f(α)=-,α∈,求sin
2α.
对点训练5(2020北京八中模拟二,16)已知函数f(x)=sincos+sin2,其中ω>0.
(1)若函数f(x)的最小正周期为2,求ω的值;
(2)若函数f(x)在区间0,上的最大值为,求ω的取值范围.
4.5　函数y=Asin(ωx+φ)
的图象与应用
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2.D　由已知周期T=π,则T=,故右移个单位长度后得y=2sin2x-+=2sin2x-的图象,故选D.
3.B　由题得,y=(sin2x+cos2x)=2sin2x+=2sin2x+,故选B.
4.B　因为函数g(x)=sinx++φ为偶函数,所以+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ+(k∈Z).
当k=0时,φ=,
即|φ|的最小值为.
5.x=-　将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度后得到函数y=3sin=3sin的图象.
由2x-+kπ,k∈Z,得
平移后的对称轴的方程为x=,k∈Z.
当k=0时,x=,当k=-1时,x=-.
所以与y轴最近的对称轴的方程是x=-.
关键能力·学案突破
例1解(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.
数据补充完整如下表
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
0
-5
0
函数解析式为f(x)=5sin.
(2)由(1)知f(x)=5sin,
得g(x)=5sin.
因为y=sinx图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,所以令2x+2θ-=kπ,k∈Z,
解得x=-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,令-θ=,k∈Z,解得θ=,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.
对点训练1解(1)y=2sin的振幅A=2,周期T==π,初相φ=.
(2)令x'=2x+,
则y=2sin=2sinx'.
列表,
x
-
x'=2x+
0
π
2π
y=2sin
0
2
0
-2
0
描点画图得函数图象,
(3)把y=sinx的图象上所有的点先向左平移个单位长度,得到y=sin的图象,再把y=sinx+的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=sin2x+的图象,最后把y=sin上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.
例2(1)ABD　(2)A　(1)由图可知,A=2,=π,所以T=4π=,解得ω=,故f(x)=2sin.
因为图象过点C(0,1),所以1=2sin4φ,即sin4φ=.
因为0<φ<,所以0<4φ<,所以4φ=,则f(x)=2sin,故A选项正确;若其纵坐标不变,横坐标变为原来的,所得到的函数解析式为y=2sin,
再向右平移个单位长度,所得到的函数解析式g(x)=2sin2x-+=2sin,故B选项正确;
当x=-时,f=2sin0=0,则x=-不是函数f(x)图象的一条对称轴,故C选项错误;
令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
故函数g(x)的单调递增区间是(k∈Z),
当k=1时,g(x)在区间上单调递增,故D选项正确.
(2)由题图知,A=2,周期T=2--=π,
所以ω==2,y=2sin(2x+φ).
(方法1)因为函数图象过点,2,
所以2=2sin2×+φ.
所以+φ=2kπ+(k∈Z).
因为|φ|<,故令k=0,得φ=-,
所以y=2sin2x-,故选A.
(方法2)因为函数图象过点-,-2,所以-2=2sin2×-+φ,
所以2×-+φ=2kπ-,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z.
因为|φ|<,故令k=0,得φ=-,所以y=2sin2x-.故选A.
对点训练2(1)B　(2)D　　(1)由题图可知A=2,T=2×--=4π,
故=4π,解得ω=.
所以f(x)=2sinx+φ.
把点-,2代入可得2sin×-+φ=2,
即sinφ-=1,
所以φ-=2kπ+(k∈Z),
解得φ=2kπ+(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=.
所以f(x)=2sinx+.
(2)由图象可得A=,最小正周期T=4×=π,则ω==2.
由f=sin+φ=-,|φ|<,得φ=,
则f(x)=sin2x+,
所以f=sin=sin=-1.
例3解(1)函数f(x)=Asin满足的条件为①③.
由题意可知,条件①②互相矛盾,故③为函数f(x)=Asin满足的条件之一.
由③可知,T=π,所以ω=2,故②不合题意,所以函数f(x)=Asinωx+满足的条件为①③.
由①可知A=2,
所以f(x)=2sin2x+.
(2)因为f(x)+1=0,
所以sin=-.
所以2x+=-+2kπ(k∈Z)或2x++2kπ(k∈Z),
即x=-+kπ(k∈Z)或x=+kπ(k∈Z).
又因为x∈[-π,π],
所以x的取值为-,-,
所以方程f(x)+1=0在区间[-π,π]上所有解的和为.
对点训练3解(1)因为f(x)=asin2x--cos-1=asin2x--cos2x+-1=asin2x--cos2x-+-1=(a+1)sin2x--1,所以函数f(x)的最小正周期T=π.因为a>0,所以函数f(x)的最大值和最小值分别为a,-a-2.
若选①,则a=1,函数f(x)=2sin2x--1;
若选②,则-3为函数f(x)的最小值,从而a=1,函数f(x)=2sin-1;
若选③,则(a+1)sin2×-1=0,从而a=1,函数f(x)=2sin2x--1.
(2)由(1)知,函数f(x)的最大值为1.
因为关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,当x∈[0,m]时,2x-∈-,2m-,所以≤2m-,解得≤m<.所以实数m的取值范围是.
例46
000　作出函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的简图如图所示,
由题意知A=2000,B=7000,T=2×(9-3)=12,∴ω=.
故f(x)=2000sinx+φ+7000,
∵图象过点(3,9000),则有×3+φ=,∴φ=0,
故f(x)=2000sinx+7000(1≤x≤12,x∈N
),
∴f(7)=2000×sin+7000=6000(元).
对点训练4(1)C　(2)20.5　(1)设水深的最大值为M,由题意并结合函数图象可得解得M=8.
(2)由题意得
即
所以y=23+5cos(x-6),令x=10,得y=20.5.
例5解(1)由已知f=1,得2a×=1,解得a=2.
所以f(x)=4cosxsinx-cosx
=2sinxcosx-2cos2x
=sin2x-cos2x-1
=2sin-1.
所以f(x)=2sin-1的最小正周期为π.
(2)f(α)=-,2sin-1=-,sin,因为α∈,所以2α-.
又因为sin,
所以2α-.
所以cos=
,
则sin2α=sin=sincos+cossin
=.
对点训练5解(1)因为f(x)=
sincos+sin2
=sinωx+
=sinωx-cosωx+
=sinωx-+.
因为f(x)的最小正周期为2,即T==2,所以ω=π.
(2)因为0≤x≤,ω>0,
所以-≤ωx-.
若f(x)在区间0,上的最大值为,只需,所以ω≥,即ω的取值范围为,+∞.4.6　正弦、余弦定理与解三角形
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则
正弦定理
余弦定理
内容
=2R(R为△ABC外接圆的半径)
a2=b2+c2-2bccos
A;
b2=a2+c2-2cacos
B;
c2=a2+b2-2abcos
C
常见
变形
(1)a=2Rsin
A,b=
2Rsin
B,c=2Rsin
C;
(2)sin
A=,sin
B=,sin
C=;
(3)a∶b∶c=sin
A∶
sin
B∶sin
C
cos
A=;
cos
B=;
cos
C=
解决的
问题
(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角
2.△ABC的面积公式
(1)S△ABC=a·h(h表示a边上的高).
(2)S△ABC=absin
C=acsin
B=bcsin
A=.
(3)S△ABC=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
3.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫做仰角,目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1).
(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等.
(3)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如点B的方位角为α(如图2).
(4)坡角:坡面与水平面所成的二面角的平面角.
1.在△ABC中,常有以下结论
(1)∠A+∠B+∠C=π.
(2)在三角形中大边对大角,大角对大边.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(4)sin(A+B)=sin
C;cos(A+B)=-cos
C;tan(A+B)=-tan
C;sin=cos;cos=sin.
(5)tan
A+tan
B+tan
C=tan
A·tan
B·tan
C.
(6)∠A>∠B?a>b?sin
A>sin
B?cos
AB.
2.用余弦定理判断三角形角的大小
设a,b,c是△ABC的角A,B,C的对边,则:
(1)若a2+b2=c2,则C=90°;
(2)若a2+b2>c2,则C<90°;
(3)若a2+b290°.
3.三角形中的射影定理
在△ABC中,a=bcos
C+ccos
B;b=acos
C+ccos
A;c=bcos
A+acos
B.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.
(　　)
(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.
(　　)
(3)在△ABC中,sin
A>sin
B的充分不必要条件是A>B.
(　　)
(4)在△ABC中,a2+b2(　　)
(5)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.
(　　)
2.(2020北京房山区二模,2)在△ABC中,若A=,B=,a=2,则b=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.3
C.2
D.3
3.(2020全国3,理7)在△ABC中,cos
C=,AC=4,BC=3,则cos
B=(　　)
A.
B.
C.
D.
4.(2019全国2,理15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为　　　　.?
5.(2020北京东城一模,14)△ABC是等边三角形,点D在边AC的延长线上,且AD=3CD,BD=2,则CD=　　　,sin∠ABD=　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
利用正弦、余弦定理解三角形
【例1】(1)(2019全国1,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin
A-bsin
B=4csin
C,cos
A=-,则=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.6
B.5
C.4
D.3
(2)(2020河北石家庄二模,文5)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin
A-sin
B)=c(sin
C+sin
B),b=1,c=2,则△ABC的面积为(　　)
A.
B.
C.1
D.
解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC能够实现边角互化.
2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的“有界性”和“大边对大角”进行判断.
对点训练1(1)(2020福建福州三模,理15)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin2A+cos
B=1,则的取值范围为　　　　　　.?
(2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin
C+csin
B=4asin
Bsin
C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为　　　　.?
考点
判断三角形的形状
【例2】(1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos
C+ccos
B=asin
A,则△ABC的形状为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
(2)(2020山东济宁5月模拟,17)在①sin
A,sin
B,sin
C成等差数列;②sin
B,sin
A,sin
C成等比数列;③2bcos
C=2a-c三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S.若　　　　　,且4S=(b2+c2-a2),试判断△ABC的形状.?
变式发散1若本例(1)条件改为“asin
A+bsin
BC”,那么△ABC的形状为　　　　　　　　.?
变式发散2若本例(1)条件改为“c-acos
B=(2a-b)cos
A”,那么△ABC的形状为　　　　　　　　　.?
变式发散3若本例(1)条件改为“”,那么△ABC的形状为　　　　　　　　.?
解题心得判断三角形的形状时主要有以下两种方法:
(1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
(2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数之间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
考点
正弦、余弦定理与三角变换的综合问题
【例3】(2020河北保定二模,文16,理16)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c2=absin
C,acos
B+bsin
A=c,a=,则b=　　　　　.?
解题心得在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+C=π的使用;运用正弦定理、余弦定理能够进行边角互化以及化异角为同角,从而实现消元的目的,为三角变换提供了条件.
对点训练2(1)(2020安徽马鞍山二模,9)已知△ABC三内角A,B,C满足cos
2A+cos
2B=1+cos
2C,且2sin
Asin
B=sin
C,则下列结论正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.A=B,C≠
B.A≠B,C=
C.A≠B,C≠
D.A=B,C=
(2)(2020江苏镇江三模,14)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(b-sin
C)cos
A=sin
Acos
C,且a=2,则的最大值为　　　　　.?
考点
正、余弦定理在实际问题中的应用
【例4】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚C在西偏北30°的方向上,行驶600
m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75°的方向上,山顶D的仰角为30°,则此山的高度CD=　　　　　
m.?
解题心得利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路是:
1.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;
2.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先求解条件充足的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.
对点训练3(2020河南实验中学4月模拟,14)如图,为测量出高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°,∠MAC=75°.从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100
m,则山高MN=　　　　　m.?
4.6　正弦、余弦定理与解三角形
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
2.B　根据正弦定理,故,解得b=3.故选B.
3.A　∵AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cosC=16+9-24×=9,∴AB=3,∴cosB=.
4.6　∵b2=a2+c2-2accosB,
∴(2c)2+c2-2×2c×c×=62,
即3c2=36,解得c=2或c=-2(舍去).
∴a=2c=4.∴S△ABC=acsinB=×4×2=6.
5.2　　如图所示,等边△ABC中,因为AD=3CD,所以AC=2CD,
又BD=2,所以BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,
即(2)2=(2CD)2+CD2-4CD·CDcos120°,解得CD=2,所以AD=6.
由,即,解得sin∠ABD=.
关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)B　(1)由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论,得-=cosA=,∴=-,
∴-=-,
∴×4=6,故选A.
(2)由(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC+sinB),应用正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c+b),即a2=b2+c2+bc,故cosA==-,故A=,
又因为b=1,c=2,所以△ABC的面积S=bcsinA=.故选B.
对点训练1(1)(2,3)　(2)　(1)在△ABC中,因为2sin2A+cosB=1,
所以cosB=cos2A,所以B=2A.
由正弦定理,
=
=
=
==2cosA+1,
由得0故(2)由正弦定理及条件,得bc+cb=4absinC,所以=2a.
设△ABC的外接圆半径为R,
则=2R,所以a=R.
因为b2+c2-a2=8>0,
所以cosA>0,0因为=2R,
所以sinA=,A=30°,
所以cosA=,
所以bc=,
所以S△ABC=bcsinA=.
例2(1)B　(方法1)由bcosC+ccosB=asinA,应用正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,即sin(B+C)=sinAsinA,
所以sinA=1,即A=,
因此△ABC是直角三角形.
(方法2)因为bcosC+ccosB=b·+c·=a,
所以asinA=a,即sinA=1,故A=,因此△ABC是直角三角形.
(2)解方案一:选条件①.
由4S=(b2+c2-a2),可得2bcsinA=2bccosA,所以tanA=.
又因为0由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,
因为sinA,sinB,sinC成等差数列,
所以2sinB=sinA+sinC,即2b=a+c,
即(2b-c)2=b2+c2-bc,可得b=c.
所以△ABC为等边三角形.
方案二:选条件②.
由4S=(b2+c2-a2),可得2bcsinA=2bccosA,所以tanA=.
又因为0由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,
因为sinB,sinA,sinC成等比数列,
所以sin2A=sinBsinC,即a2=bc,
所以(b-c)2=0,所以b=c.
所以△ABC为等边三角形.
方案三:选条件③.
由4S=(b2+c2-a2),可得2bcsinA=2bccosA,所以tanA=.
又因为0因为2bcosC=2a-c,
所以2sinBcosC=2sinA-sinC,
即2sinBcosC=2sin(B+C)-sinC,
可得cosB=,所以B=,所以C=.所以△ABC为直角三角形.
变式发散1钝角三角形　根据正弦定理可得a2+b2所以△ABC是钝角三角形.
变式发散2等腰三角形或直角三角形　因为c-acosB=(2a-b)cosA,C=π-(A+B),
所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,
所以cosA(sinB-sinA)=0,
所以cosA=0或sinB=sinA,所以A=或B=A或B=π-A(舍去),所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
变式发散3直角三角形　因为,由正弦定理得,
所以sin2A=sin2B.
由,可知a≠b,所以A≠B.
又因为A,B∈(0,π),所以2A=π-2B,即A+B=,所以C=,于是△ABC是直角三角形.
例33　∵a2+b2-c2=absinC,
即2abcosC=absinC,
∴tanC=2>0,C为锐角.
将sinC=2cosC代入sin2C+cos2C=1,
解得sinC=,cosC=.
∵acosB+bsinA=c,∴sinAcosB+sinAsinB=sinC=sin(A+B)
=sinAcosB+cosAsinB,
∴sinAsinB=cosAsinB.
∵00,则tanA=1,
∵0∴sinB=sin(A+C)=sin+C=(sinC+cosC)=.
由正弦定理得
b==3.
对点训练2(1)D　(2)3-　(1)∵cos2A+cos2B=1+cos2C,
∴1-2sin2A+1-2sin2B=1+1-2sin2C,整理得sin2A+sin2B=sin2C,
由正弦定理得a2+b2=c2,∴C=.
∵2sinAsinB=sinC,
得2sinAsinB=2sinBcosB=2sinAcosA=1,即sin2B=sin2A=1,由于A,B为锐角,可得A=B=.故选D.
(2)由(b-sinC)cosA=sinAcosC,得bcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,
由,得,
∴2cosA=sinA,即tanA=2.
则tan(B+C)=-tanA=-2.
即=-2,
∴tanB+tanC=2tanBtanC-2,
又△ABC为锐角三角形,
∴tanB>0,tanC>0,
∴tanB+tanC≥2,
当且仅当tanB=tanC时,等号成立,
∴2tanBtanC-2≥2,
解得tanBtanC≥,
∴=3-,故的最大值为3-.
例4100　在△ABC中,∵∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,
∴∠BCA=45°.∵AB=600,∴由正弦定理得,解得BC=300.在Rt△BCD中,∠CBD=30°,∠DCB=90°,∴CD=BCtan30°=300=100(m).
对点训练3150　在△ABC中,∵∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100m,
∴AC==100(m).
在△AMC中,∵∠MAC=75°,∠MCA=60°,∴∠AMC=45°,,即,
解得AM=100(m).
在Rt△AMN中,MN=AM·sin∠MAN=100×sin60°=150(m).

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