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第五章
平面向量、复数
5.1　平面向量的概念及线性运算
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.平面向量的有关概念
名称
定　义
备　注
向量
既有　　　　　又有　　　　　的量叫做向量;向量的大小称为向量的　　　　　(或称　　　　　)?
记作||
零向量
长度为　　　　　的向量叫做零向量;其方向是任意的?
记作0
单位
向量
长度等于　　　　　　　的向量,叫做单位向量?
非零向量a的单位向量为±
平行
向量
方向　　　　或　　　　的非零向量叫做平行向量?
零向量与任意向量　　　　或共线?
共线
向量
　　　　　　　的非零向量又叫做共线向量?
相等
向量
长度　　　　且方向　　　　的向量叫做相等向量?
两向量只有相等或不相等,不能比较大小
相反
向量
长度　　　　且方向　　　　的向量叫做相反向量?
零向量的相反向量仍是零向量
2.平面向量的线性运算
向量运算
定　　义
法则(或几何意义)
运　算　律
加法
求两个向量和的运算,叫做向量的加法
(1)交换律:a+b=　　　　　?
(2)结合律:
(a+b)+c=
　　　?
减法
向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差.求两个向量差的运算叫做向量的减法
a-b=a+(-b)
续　表
向量运算
定　　义
法则(或几何意义)
运　算　律
数乘
求实数λ与向量a的积的运算叫做向量的数乘
(1)|λa|=　　　　;?
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向　　　;当λ<0时,λa的方向与a的方向　　　　;当λ=0时,λa=0?
λ(μa)=　　　;?
(λ+μ)a=　　;?
λ(a+b)=?
(λ,μ为实数)
3.向量共线定理
(1)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使　　　　　　　.?
注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.
(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数λ,使得=(1-λ)+λ.
1.P为线段AB的中点?).
2.若G为△ABC的重心,则有
(1)=0;(2)).
3.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.
4.对于起点相同、终点共线的三个向量(O与P1,P2不共线),总有=u+v,u+v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1.
5.对于任意两个向量a,b,都有:
(1)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.
(　　)
(2).
(　　)
(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.
(　　)
(4)若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.
(　　)
(5)若a∥b,b∥c,则a∥c.
(　　)
2.(2020河南开封模拟)=(　　)
A.
B.
C.
D.
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的中点为D,则下列结论正确的是
(　　)
A.G是△ABC的三条中线的交点
B.=0
C.=2
D.
4.(2020山东菏泽调研)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ=　　　　.?
5.(2020全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
平面向量的有关概念
【例1】给出下列四个说法:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.
其中正确说法的序号是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.②③
B.①②
C.③④
D.②④
解题心得平面向量有关概念的关键点
(1)平面向量定义的关键是方向和大小.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是长度都是1个单位长度.
(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.
对点训练1设a,b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使=0成立的是(　　)
A.a=2b
B.a∥b
C.a=-b
D.a⊥b
考点
平面向量的线性运算
【例2】(1)在△ABC中,,若=a,=b,则=(　　)
A.a+b
B.a+b
C.a-b
D.a-b
(2)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于(　　)
A.1
B.
C.
D.
解题心得平面向量的线性运算的求解策略
(1)进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量,运用向量加法、减法运算及数乘运算来求解.
(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
对点训练2(1)在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且||=3||,当=x+y时,x-y=
(　　)
A.-2
B.-3
C.2
D.3
(2)如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则=(　　)
A.
B.
C.
D.
考点
向量共线定理的应用
【例3】设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
变式发散1若将本例(1)中“=2a+8b”改为“=a+mb”,则当m为何值时,A,B,D三点共线?
变式发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
解题心得
[提醒]证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
使用向量共线定理的大前提是至少有一个向量是非零向量.
对点训练3(1)在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是
(　　)
A.矩形
B.平行四边形
C.梯形
D.菱形
(2)已知O为△ABC内一点,且),=t,若B,O,D三点共线,则t=(　　)
A.
B.
C.
D.
第五章　平面向量、复数
5.1　平面向量的概念及线性运算
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.大小　方向　长度　模　0　1个单位长度
相同　相反　方向相同或相反　平行　相等　相同　相等　相反
2.b+a　a+(b+c)　|λ||a|　相同　相反
(λμ)a　λa+μa　λa+λb
3.(1)b=λa
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2.D　,故选D.
3.ABC　对于A,△ABC三条中线的交点就是重心,故A正确;对于B,根据平行四边形法则可知=2,因为点G是△ABC的重心,所以=-2,所以=0,故B正确;
对于C,因为点G是△ABC的重心,所以AG=2GD,所以=2,故C正确,D错误.故选ABC.
4.-　依题意知向量a+λb与2a-b共线,设a+λb=k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以解得k=,λ=-.
5.　∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,
∴a·b=-,
∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=.
关键能力·学案突破
例1A　①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵,∴||=||,方向相同,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,则||=||,方向相同,因此.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.
综上所述,正确说法的序号是②③.
对点训练1C　由a,b都是非零向量及=0,得=-≠0,即a=-·|a|≠0,则a与b方向相反,因此当向量a与向量b方向相反时,能使=0成立.对照各个选项可知,选项A中a与b的方向相同;选项B中a与b方向相同或相反;选项C中a与b的方向相反;选项D中a与b互相垂直.
例2(1)A　(2)B　(1)∵=a,=b,
,∴),∴a+b.故选A.
(2)∵E为线段AO的中点,
∴=λ+μ,∴λ+μ=.故选B.
对点训练2(1)A　(2)D　(1)如图.
∵||=3||,
∴=3.
∴).
∴)=-.又=x+y,∴x=-,y=.
∴x-y=-2,故选A.
(2)根据题意得),又因为,
所以=.故选D.
例3(1)证明∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5,
∴共线,又它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)解∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是两个不共线的非零向量,
∴∴k2-1=0.∴k=±1.
变式发散1解=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,
若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使=λ,即4a+(m-3)b=λ(a+b),
∴解得m=7.
故当m=7时,A,B,D三点共线.
变式发散2解因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),所以所以k=±1.
又因为λ<0,k=λ,所以k=-1.
故当k=-1时,两向量反向共线.
对点训练3(1)C　(2)B　(1)由已知,得=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故.又因为不平行,所以四边形ABCD是梯形.
(2)设E是BC边的中点,则)=,由题意得,所以)=.又因为B,O,D三点共线,所以=1,解得t=,故选B.5.2　平面向量基本定理及坐标表示
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个　　　　　向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=　　　　　　　.若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个　　　　.把一个向量分解为两个　　　　　　的向量,叫做把向量作正交分解.?
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底,对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对　　　　　　叫做向量a的坐标,记作a=　　　　　.?
3.平面向量的坐标运算
运算
坐标表示(设a=(x1,y1),b=(x2,y2))
和
a+b=(x1+x2,y1+y2)
差
a-b=(x1-x2,y1-y2)
数乘
λa=(λx1,λy1),其中λ∈R
设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?　　　　　　.?
1.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0.
2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为.
3.已知△ABC的重心为G,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则G.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.
(　　)
(2)平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标不变.
(　　)
(3)已知{a,b}是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.
(　　)
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是.
(　　)
2.(2019全国2,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=(　　)
A.
B.2
C.5
D.50
3.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=0,,则c可用向量a,b表示为(　　)
A.a+b
B.-a-b
C.a+b
D.a-b
4.已知向量a=(1,-2),同时满足条件①a∥b,②|a+b|<|a|的一个向量b的坐标为　　　　　.?
5.(2020北京海淀区调研)在△ABC中,D为三角形所在平面内一点,且.延长AD交BC于点E,若=λ+μ,则λ-μ的值是　　　　.?
关键能力学案突破　
考点
平面向量基本定理及其应用
【例1】(1)(2020河南郑州模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.-
D.-
(2)(多选)(2020山东聊城一中高三模考)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是AB,CD的中点,AC与BD交于点M,设=a,=b,则下列结论正确的是(　　)
A.a+b
B.=-a+b
C.=-a+b
D.=-a+b
解题心得平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
对点训练1(1)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若=2=3=λ-μ(λ,μ∈R),则μ-λ=(　　)
A.-
B.1
C.
D.-3
(2)在下列向量组中,可以把向量a=(2,3)表示成λe1+μe2(λ,μ∈R)的是(　　)
A.e1=(0,0),e2=(2,1)
B.e1=(3,4),e2=(6,8)
C.e1=(-1,2),e2=(3,-2)
D.e1=(1,-3),e2=(-1,3)
(3)设{e1,e2}是平面内一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基底{a,b}的线性组合,即e1+e2=　　　　　.?
考点
平面向量的坐标化及运算
【例2】(1)已知M(3,-2),N(-5,-1),且,则点P的坐标为(　　)
A.(-8,1)
B.-1,-
C.1,
D.(8,-1)
(2)
如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为(　　)
A.　　　　　　　　　B.
C.2
D.
解题心得求解平面向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化
向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算.
(2)巧借方程思想求坐标
平面向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.
(3)妙用待定系数法求系数
利用平面向量坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.
对点训练2(1)已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),||=2||,则向量的坐标是　　　　.?
(2)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设=λ+μ(λ,μ∈R),则=(　　)
A.
B.
C.3
D.2
考点
平面向量共线的坐标表示
类型1　利用向量共线求向量或点的坐标
【例3】已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.?
类型2　利用向量共线求参数
【例4】已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-3b共线,则=　　　　.?
解题心得平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
对点训练3(1)设向量=(1,-2),=(2m,-1),=(-2n,0),m,n∈R,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则m+n的最大值为(　　)
A.-3
B.-2
C.2
D.3
(2)(2018全国3,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　　.?
(3)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为　　　　　.?
素养解读
最近几年的高考试题中,很多题目都是以向量知识为背景,以共线向量为载体的向量分解与合成问题.以向量共线定理为“数”和“形”的纽带,旨在考查学生分析问题的能力,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
点O是直线l外一点,点A,B,P是直线l上任意三点,求证:存在实数t,使得关于基底{}的分析式为=(1-t)+t.
反之,若=(1-t)+t,则A,P,B三点共线.
附:[共线定理]已知为平面内两个不共线的向量,设=x+y,则A,B,C三点共线的充要条件为x+y=1.
[推广形式]如图所示,直线DE∥AB,C为直线DE上任一点,设=x+y(x,y∈R).当直线DE不过点P时,直线PC与直线AB的交点记为F,因为点F在直线AB上,所以由三点共线结论可知,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=1.由△PAB与△PED相似,知必存在一个常数m∈R,使得=m,则=m=mλ+mμ.
又因为=x+y(x,y∈R),
所以x+y=mλ+mμ=m.以上过程可逆.
因此得到结论:=x+y,则x+y=m(定值),反之亦成立.
类型一　感受平面内三点共线的结论在解题中的简明快捷
【例1】在△ABC中,,P是BN上的一点,若=m,则实数m=　　　　.?
答案
解析∵,∴.
∵B,P,N三点共线,
∴=m+(1-m).
又=m,∴m=.
解题心得共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上,那么用其中两个向量表示另一个向量时,等式左边系数之和等于右边系数之和.
对点训练1在△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若=a,=b,|a|=1,|b|=2,则=(　　)
A.a+b
B.a+b
C.a+b
D.a+b
类型二　感受共线向量数、形二重性在平面几何探究中的独特魅力
【例2】在平行四边形OACB中,BD=BC,OD与BA相交于E,求证:BE=BA.
证明如图,设E'是线段BA上的一点,且BE'=BA,只需证E,E'重合即可,
设=a,=b,则a,=b+a.
=b+=b+(a-b)=(a+3b)=b+a=,
∴O,E',D三点共线,
∴E,E'重合,∴BE=BA.
解题心得将平面几何中的有向线段转化为平面向量→应用平面向量基本定理分解→推理三点共线→转化为几何关系证明成立.
对点训练2如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求的值.
类型三　感受共线向量在探求分量系数满足条件时的动态思维
【例3】如图所示,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D,若=m+n,则m+n的取值范围是　　　　.?
答案(-1,0)
解析由点D是圆O外的一点,可设=λ(λ>1),
则+λ=λ+(1-λ).
因为C,O,D三点共线,令=-μ(μ>1).
所以=-(λ>1,μ>1).
因为=m+n,所以m=-,n=-,
所以m+n=-=-∈(-1,0).
解题心得结合图象构造三点共线→列出向量条件→用共起点的向量表示向量→应用参数求范围.
5.2　平面向量基本定理及坐标表示
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.不共线　λ1e1+λ2e2　基底　互相垂直
2.(x,y)　(x,y)
4.x1y2-x2y1=0
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.A　由题意,得a-b=(-1,1),
则|a-b|=,故选A.
3.A　设c=xa+yb,则0,=(2x-y,x+2y),所以
解得则c=a+b.
4.(-1,2)(答案不唯一)　∵a∥b,∴b=λa(λ∈R),|a+b|<|a|?|a+λa|<|a|?|a(1+λ)|<|a|?|1+λ|<1.∴-2<λ<0,不妨取λ=-1,∴向量b的坐标为(-1,2).
5.-　设=x,∵,∴.
∵E,B,C三点共线,∴=1,x=.根据平面向量基本定理,得λ=,μ=.因此λ-μ==-=-.
关键能力·学案突破
例1
(1)C　(2)ABD　(1)如图,取AB的中点G,连接DG,CG,易知四边形DCBG为平行四边形,所以,所以=,于是-=-,故选C.
(2)对于A,a+b,故A正确;对于B,=-=-a+b,故B正确;对于C,=-=-a+b,故C错误;对于D,=-=-a+b,故D正确.故选ABD.
对点训练1(1)A　(2)C　(3)a-b
(1)=λ-μ=λ-μ()=(λ-μ)-μ=2(λ-μ)-3μ.因为E,M,F三点共线,所以2(λ-μ)+(-3μ)=1,即2λ-5μ=1,所以μ-λ=-.
(2)根据平面向量基本定理可知,e1,e2不共线,验证各选项,只有选项C中的两个向量不共线,故选C.
(3)由题意,设e1+e2=ma+nb.
因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,
所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得所以
即e1+e2=a-b.
例2(1)B　(2)B　(1)设P(x,y),则=(x-3,y+2),而×(-8,1)=-4,,所以解得所以点P的坐标为-1,-.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).
不妨设AB=1,则CD=AD=2,∴C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴=(-2,2),=(-2,1),=(1,2).
∵=λ+μ,∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),∴解得则λ+μ=.
对点训练2(1)(4,7)　(2)A　(1)由点C是线段AB上一点,||=2||,得=-2.
设点B的坐标为(x,y),则(2-x,3-y)=-2×(1,2),则解得所以向量的坐标是(4,7).
(2)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),
因为∠DAB=60°,所以设D点的坐标为(m,m)(m≠0).=(m,m)=λ+μ=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),则λ=m,且μ=m,所以.
例3(3,3)　(方法1)由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),则=(4λ-4,4λ).又因为=(-2,6),由共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=,所以=(3,3),所以点P的坐标为(3,3).
(方法2)设点P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且共线,所以,即x=y.
又因为=(x-4,y),=(-2,6),且共线,所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).
例4-　因为,所以a与b不共线.a-3b=(2,3)-3(-1,2)=(5,-3)≠0,那么当ma+nb与a-3b共线时,有,即得=-.
对点训练3(1)A　(2)　(3)60°　(1)由题意易知,,其中=(2m-1,1),=(-2n-1,2),
所以(2m-1)×2=1×(-2n-1),得+2n=1.
+2n≥2,当且仅当m+1=n时,等号成立.所以,即m+n≤-3.故m+n的最大值为-3,故选A.
(2)2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),
由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.
(3)由p∥q,得(a+c)(c-a)=b(b-a),整理得a2+b2-c2=ab.
由余弦定理得cosC=.∵0°素养提升微专题5——共线定理的推广及应用
对点训练1B　如图,∵CD为∠ACB的角平分线,
∴,∴BD=BA.
∴)=a+b.
对点训练2解设BM=e1,CN=e2,
则=-3e2-e1,
=2e1+e2.
∵A,P,M共线,B,P,N共线,
∴存在实数λ,μ使得
=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2.
∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
而=2e1+3e2,
∴
解得λ=,μ=,
∴.
即=4.5.3　平面向量的数量积与平面向量的应用
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.向量的夹角
已知两个　　　　向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作　　　　.?
2.平面向量的数量积
(1)平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把数量　　　　　　　　　叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos
θ.?
(2)投影向量:如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.
3.向量数量积的运算律
交换律
a·b=b·a
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
数乘结
合律
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)
4.平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
向量的有
关概念
几何表示
坐标表示
模
|a|=
|a|=
数量积
|a||b|cos
θ
x1x2+y1y2
夹角
cos
θ=
cos
θ=
A(x1,y1),
B(x2,y2)
两点的距离
|AB|=||
|AB|=
a⊥b的充
要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|与
|a||b|的关系
|a·b|≤
|a||b|
|x1x2+y1y2|≤
5.向量在平面几何中的应用
(1)要证AB=CD,可转化为证明或||=||.
(2)要证两线段AB,CD平行,只要证存在唯一实数λ≠0,使等式=λ成立即可.
(3)要证两线段AB,CD垂直,只需证=0.
(4)求夹角问题,利用夹角公式cos
θ=.
1.平面向量数量积运算的常用公式:
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在△ABC中,向量的夹角为∠ABC.
(　　)
(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.
(　　)
(3)若a·b=0,则必有a⊥b.
(　　)
(4)(a·b)·c=a·(b·c).
(　　)
(5)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.
(　　)
2.已知向量a,b满足a·(b+a)=2,且a=(1,2),与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.e
B.-e
C.-e
D.-e
3.(多选)(2020海南三亚华侨学校高三模考)已知a=(3,-1),b=(1,-2),则正确的有(　　)
A.a·b=5
B.与a同向的单位向量是,-
C.a与b的夹角为
D.a与b平行
4.(2020新高考全国1,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是(　　)
A.(-2,6)
B.(-6,2)
C.(-2,4)
D.(-4,6)
5.(2021年1月8省适应测试)已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=a+b,则sin=(　　)
A.
B.
C.
D.
关键能力学案突破　
考点
平面向量数量积的运算
【例1】(1)(2019天津,14)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=　　　　.?
(2)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,且a与b的夹角为,则(a+b)·(2a-b)=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.-
C.-
D.
解题心得1.求两个向量的数量积的方法:
(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(其中θ是向量a与b的夹角).
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加、减、数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
对点训练1在?ABCD中,||=8,||=6,N为DC的中点,=2,则=　　　　.?
考点
平面向量数量积的性质及其应用
(多考向探究)
考向1　求平面向量的模
【例2】(1)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a⊥(a-2b),则|2a+b|的值是　　　　.?
(2)已知向量a,b为单位向量,且a·b=-,向量c与a+b共线,则|a+c|的最小值为(　　)
A.1
B.
C.
D.
考向2　求平面向量的夹角
【例3】(1)(2020全国3,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos=(　　)
A.-
B.-
C.
D.
(2)(2019全国1,理7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)
A.
B.
C.
D.
考向3　平面向量的垂直
【例4】(1)(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=　　　　　.?
(2)(2020湖南师大附中高三模拟)已知向量a=,0,b=(0,5)的起点均为原点,而终点依次对应点A,B,线段AB上存在点P,若=xa+yb,则x,y的值分别为(　　)
A.
B.,-
C.
D.-
解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义求解.
2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.
3.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
对点训练2(1)(2020福建厦门一模)已知a=(1,1),b=(2,m),a⊥(a-b),则|b|=(　　)
A.0
B.1
C.
D.2
(2)(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=　　　　　.?
考点
平面向量的综合应用
(多考向探究)
考向1　平面向量在三角函数中的应用
【例5】已知向量a=(cos
x,sin
x),b=(3,-),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解题心得向量与三角函数综合问题的特点与解题策略
(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.
(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.
对点训练3已知两个不共线的向量a,b满足a=(1,),b=(cos
θ,sin
θ),θ∈R.
(1)若2a-b与a-7b垂直,求|a+b|的值;
(2)当θ∈0,时,若存在两个不同的θ,使得|a+b|=|ma|成立,求正数m的取值范围.
考向2　平面向量在解析几何中的应用
【例6】已知圆x2+y2+4x-5=0的弦AB的中点为(-1,1),直线AB交x轴于点P,则的值为　　　　　.?
解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角;数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角.
2.若a,b为非零向量,cosθ=(夹角公式),则a⊥b?a·b=0.
3.向量在解析几何中的作用
(1)载体作用:解决向量在解析几何中的应用问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.
对点训练4若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为　　　　　.?
5.3　平面向量的数量积与
平面向量的应用
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.非零　a⊥b
2.|a||b|cos
θ
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.D　由a=(1,2),可得|a|=,由a·(b+a)=2,可得a·b+a2=2,∴a·b=-3,∴向量b在向量a上的投影向量为·e=-e.
3.ABC　∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,故A正确;
|a|=,∴与a同向的单位向量是,即,-,故B正确;
|b|=,设a与b的夹角为θ,则cosθ=,∵θ∈[0,π],∴θ=,故C正确;
∵,∴a与b不平行,故D错误.故选ABC.
4.A　如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,),C(3,).
设P(x,y),则=(x,y),=(2,0),
∴=2x+0×y=2x.
∵-15.B
关键能力·学案突破
例1(1)-1　(2)A　(1)∵AD∥BC,
且∠DAB=30°,
∴∠ABE=30°.
∵EA=EB,∴∠EAB=30°,
∠AEB=120°.
在△AEB中,EA=EB=2,
=()·()
=-=-12+2×2×cos30°+5×2×cos30°+5×2×cos180°=-22+6+15=-1.
(2)(a+b)·(2a-b)=2a2-b2+a·b=2-3+1×.故选A.
对点训练124　(方法1)=()·()=·=×82-×62=24.
(方法2　特例图形)若?ABCD为矩形,建立如图所示的平面直角坐标系,
则N(4,6),M(8,4).
所以=(8,4),=(4,-2),
所以=(8,4)·(4,-2)=32-8=24.
例2(1)　(2)D　(1)由a⊥(a-2b)得a·(a-2b)=a2-2a·b=0,所以a·b=,所以(2a+b)2=4a2+b2+4a·b=4×12+22+4×=10,所以|2a+b|=.
(2)∵向量c与a+b共线,∴可设c=t(a+b)(t∈R),∴a+c=(t+1)a+tb,∴(a+c)2=(t+1)2a2+2t(t+1)a·b+t2b2.∵向量a,b为单位向量,且a·b=-,∴(a+c)2=(t+1)2-t(t+1)+t2=t2+t+1≥,∴|a+c|≥,∴|a+c|的最小值为,故选D.
例3(1)D　(2)B　(1)∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,
∴|a+b|=7,
∴cos=.
(2)因为(a-b)⊥b,
所以(a-b)·b=a·b-b2=0,
所以a·b=b2.
所以cos=,所以a与b的夹角为,故选B.
例4(1)　(2)C　(1)由题意可知a·b=|a||b|cos45°=.∵ka-b与a垂直,
∴(ka-b)·a=k|a|2-a·b=k-=0,∴k=.
(2)由题意,向量a=,0,b=(0,5),所以=xa+yb=x,5y,=b-a=-,5.因为,所以=-x+25y=0,可得x=4y.又A,B,P三点共线,所以x+y=1.联立解得x=,y=.故选C.
对点训练2(1)D　(2)5　(1)由题意知a-b=(-1,1-m),∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=-1+1-m=0,∴m=0,∴b=(2,0),∴|b|=2.故选D.
(2)由a⊥b,可得a·b=1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=5.
例5解(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-),a∥b,所以-cosx=3sinx.
则tanx=-.
又因为x∈[0,π],所以x=.
(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-)=3cosx-sinx=2cosx+.因为x∈[0,π],所以x+∈,从而-1≤cosx+≤.
于是,当x+,即x=0时,f(x)取到最大值3;
当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.
对点训练3解(1)由条件知|a|=2,|b|=1,又因为2a-b与a-7b垂直,所以(2a-b)·(a-7b)=8-15a·b+7=0,所以a·b=1.
所以|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=4+2+1=7,故|a+b|=.
(2)由|a+b|=|ma|,
得|a+b|2=|ma|2.
即|a|2+2a·b+3|b|2=m2|a|2,
即7+2(cosθ+sinθ)=4m2.
所以4sinθ+=4m2-7.
由θ∈0,,得θ+∈,
因为存在两个不同的θ满足题意,所以由数形结合知4sinθ+∈[6,4),即6≤4m2-7<4,即≤m2<.又因为m>0,所以≤m<.故m的取值范围为.
例6-5　设M(-1,1),圆心C(-2,0),
∵kMC==1,∴kAB=-1,
∴AB所在直线方程为y-1=-(x+1),即x+y=0,令y=0,可得P(0,0),
联立方程消y得2x2+4x-5=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-,y1y2=(-x1)(-x2)=-,
=x1x2+y1y2=2x1x2=-5.
对点训练46　由题意,得F(-1,0),设P(x0,y0),则有=1,解得=31-.
因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),
所以=x0(x0+1)++x0+31-=+x0+3=(x0+2)2+2.因为-2≤x0≤2,故当x0=2时,
取得最大值6.5.4　复数
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.复数的有关概念
内　容
意　　义
备　　注
复数
的概念
形如　　　　(a∈R,b∈R)的数叫做复数,其中实部为　　,虚部为　　?
当b=0时,a+bi为实数;当a=0,且b≠0时,a+bi为纯虚数;当b≠0时,a+bi为虚数
复数
相等
a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)?　　　　　?
实数能比较大小,虚数不能比较大小
共轭
复数
a+bi与c+di共轭(a,b,c,d∈R)?　　　　　　　?
实数a的共轭复数是a本身
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,　　　　叫做实轴,y轴叫做虚轴?
实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数
复数的
模
设对应的复数为z=a+bi(a,b∈R),则向量的长度叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|
|z|=|a+bi|=(a,b∈R)
2.复数的几何意义
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=　　　　　　;?
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=　　　　　　;?
③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=　　　　　　;?
④除法:i(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=　　　　　,(z1+z2)+z3=　　　　　　　　.?
(3)复数加、减法的几何意义
设分别与复数a+bi,c+di对应,则=(a,b),=(c,d).由平面向量的坐标运算法则,得=(a±c,b±d),
这说明两个向量的和或差就是与复数(a±c)+(b±d)i对应的向量,因此,复数的加法、减法可以按照向量的加法、减法来进行,这就是复数加法、减法的几何意义.
复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环;
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若a∈C,则a2≥0.(　　)
(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.(　　)
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.(　　)
(4)方程x2+x+1=0没有解.(　　)
(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.(　　)
2.(多选)(2021年1月8省适应测试)设z1,z2,z3为复数,z1≠0.下列命题中正确的是(　　)
A.若|z2|=|z3|,则z2=±z3
B.若z1z2=z1z3,则z2=z3
C.若

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