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人教A版（2019）必修第一册—2.1等式性质与不等式性质（1）学案
2.1等式性质与不等式性质(1)
班级：
姓名：
有了目标，才有方向
【知识目标】1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中的不等关系；
2.掌握比较大小的常用方法—做差法.
【能力目标】1.根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出不等式；
2.从数与形两个角度感知不等关系；
3.做差法比较大小时，能够灵活地处理涉及的代数式，使之正负情况容易判断.
导引，助力达标
一、阅读材料
【材料】上周一李婶和王婶下班后逛商场，发现苹果质量非常好，价格为a元/千克，李婶买了三千克，王婶买了10元钱的.
回家之后发现苹果吃起来口感特别好，于是二人约好过几天再去买点.
上周五二人下班后又去了同一商场，但发现苹果价格有了波动，价格变为b元/千克，二人也没在意，李婶又买了三千克，王婶又买了10元钱的.
思考:这两次购买，谁的购买方式比较优惠（两次平均价格低视为优惠)？
分析：
①计算李婶两次购买苹果的平均单价M：
；
②计算王婶两次购买苹果的平均单价N：
；
③计算M－N的差：
.
④判断哪个人的购买方式比较优惠：
.
注：两个数量之间具有相等关系或不等关系，最基本的判定方法是两个量做
法运算，根据
的情况判断.
二、基本事实
1.如果a－b是正数，那么a>b，反之亦然，即：a－b>0
a>b；
2.如果a－b是等于0，那么a=b，反之亦然，即：a－b=0
a=b；
3.如果a－b是负数，那么aa注：以上三个基本事实通常作为判断两个实数大小的
.
【边学边用】
1.?a，b∈R，比较a2+b2与2ab的大小；
2.任意两个正数a，b，比较a+b与2的大小.
提醒：
三、数轴上的点表示的数
数轴上的点表示的数，
边的数大于
边的数，离原点越
的点所表示的数的绝对值越大.
【边学边用】
已知a+b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是
A.a>b>－b>－a
B.a>－b>－a>b
C.a>－b>b>－a
D.a>b>－a>－b
注：
活学活用，发展思维
【例1】比较(x+2)(x+3)与(x+1)(x+4)的大小.
【例1变式】比较(2x+2)(x+3)与(x+1)(x+5)的大小.
解题提醒：
【例2】a，b，m都是正数，比较与的大小.
思考：(m>0)哪个大？与m的大小有关吗？
答：
【例3】若a，b为正数，且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
解题提醒：
对点诊断性训练
选择题：
1.下列说法正确的是
A.
王先生月收入x元不高于5000元可表示为“x<5000”
B.
小明的身高为x，小刚的身高为y，则小明比小刚矮可表示为“x>y”
C.
变量x不小于b可表示为“x≥b”
D.
变量y不超过b可表示为“y≥b”
2.若a>b，则下列不等式中正确的是
A.a2>b2
B.>
C.a2+b2>2ab
D.ac2>bc2
3.已知a1，a2∈(0，1)，记M=a1a2，N=a1+a2－1，则M与N的大小关系是(
)
A.MB.M>N
C.M=N
D.
不确定
填空题：
4.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元.
所列不等式为
.
5.设M=5a2－a+1，N=4a2+a－1，则M与N的大小关系为：M
>N.
解答题：
6.已知a，b∈R，比较a2+b2与2a－4b－5的大小．
自我反馈，总结提升
做差的结果正负判断通常有两种途径：
因式分解，利用各
的符号判断结果的正负情况；
配方，利用“平方数
”的性质判断结果的正负情况．
自我评估，检测自我
选择题：
1.限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式为
A.v<40km/h
B.v>40km/h
C.v=40km/h
D.v≤40km/h
2.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是
A.t>s
B.t≥s
C.tD.t≤s
3(多选题).若aA.>
B.>
C.>
D.a4
>b4.
填空题：
4.设实数a，b，c满足：①b+c=6－4a+3a2，②c－b=4－4a+a2，则a，b，c的大小关系为
.
5.已知a>b>c，比大小：a2b+b2c+c2a
ab2+bc2+ca2．
解答题：
6.
体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置，有两种不同的行走方式(以下x1≠x2).
方式一：小明一半的时间以x1m/s的速度行走，剩余一半时间换为以x2m/s的速度行走，平均速度为；
方式二：小明一半的路程以x1m/s的速度行走，剩余一半路程换为以x2m/s的速度行走，平均速度为．
试求两种行走方式的平均速度，；
(2)比较，的大小．
最后的环节
把失误的题落实到作业本上，并反思原因.
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2人教A版（2019）必修第一册—2.1等式性质与不等式性质（1）学案
2.1等式性质与不等式性质(1)
班级：
姓名：
有了目标，才有方向
【知识目标】1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中的不等关系；
2.掌握比较大小的常用方法—做差法.
【能力目标】1.根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出不等式；
2.从数与形两个角度感知不等关系；
3.做差法比较大小时，能够灵活地处理涉及的代数式，使之正负情况容易判断.
导引，助力达标
一、阅读材料
【材料】上周一李婶和王婶下班后逛商场，发现苹果质量非常好，价格为a元/千克，李婶买了三千克，王婶买了10元钱的.
回家之后发现苹果吃起来口感特别好，于是二人约好过几天再去买点.
上周五二人下班后又去了同一商场，但发现苹果价格有了波动，价格变为b元/千克，二人也没在意，李婶又买了三千克，王婶又买了10元钱的.
思考:这两次购买，谁的购买方式比较优惠（两次平均价格低视为优惠)？
分析：
①计算李婶两次购买苹果的平均单价M：M==；
②计算王婶两次购买苹果的平均单价N：N==.
③计算M－N的差：M－N=－
==.
④判断哪个人的购买方式比较优惠：∵a≠b，且都是正数，∴M－N>0，M>N，由此断定王婶的购买方式比较优惠.
注：两个数量之间具有相等关系或不等关系，最基本的判定方法是两个量做减法运算，根据差的情况判断.
二、基本事实
1.如果a－b是正数，那么a>b，反之亦然，即：a－b>0?a>b；
2.如果a－b是等于0，那么a=b，反之亦然，即：a－b=0?a=b；
3.如果a－b是负数，那么a注：以上三个基本事实通常作为判断两个实数大小的依据.
【边学边用】
1.?a，b∈R，比较a2+b2与2ab的大小；
解析：（a2+b2）－2ab
=(a－b)2≥0
当a=b时，(a－b)2=0，a2+b2=2ab；
当a≠b时，a－b)2>0，a2+b2>2ab。
2.任意两个正数a，b，比较a+b与2的大小.
解析：a+b－2
=2＋2－2
=(－)2
当a=b时，(－)2=0，a+b=2；
当a≠b时，(－)2>0，a+b>2。
提醒：“平方式非负”是最后下结论的关键.
三、数轴上的点表示的数
右边的数大于左边的数，离原点越远的点所表示的数的绝对值越大.
【边学边用】
已知a+b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是
A.a>b>－b>－a
B.a>－b>－a>b
C.a>－b>b>－a
D.a>b>－a>－b
【答案】C
解析：∵a+b>0，b<0，
∴a>0，且>，如图1.
因为互为相反数对应的点离原点的距离相等，所以可以把－a、－b对应的点画在上面的数轴上，如图2.
故选C(右边的数大).
注：体会“形”的直观性.
活学活用，发展思维
【例1】比较(x+2)(x+3)与(x+1)(x+4)的大小.
解析：(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)
=(x2+5x+6)－(x2+5x+4)
=2>0，
所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
【例1变式】比较(2x+2)(x+3)与(x+1)(x+5)的大小.
解析：(2x+2)(x+3)－(x+1)(x+5)
=(2x2+8x+6)－(x2+6x+5)
=x2+2x+1
=(x+1)2≥0(当且仅当x=－1时，等号成立)，
所以有结论：
当x=－1时，(2x+2)(x+3)=(x+1)(x+5)；
当x≠－1时，(2x+2)(x+3)>(x+1)(x+5).
解题提醒：体会“平方式非负”的重要性！
【例2】a，b，m都是正数，比较与的大小.
解析：－===.
当a>b时，<0，<；
当a=b时，=0，=；
当a.
思考：(m>0)哪个大？与m的大小有关吗？
答：，依据是例2的第一个结论.
【例3】若a，b为正数，且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
解析：(a3+b3)－(a2b+ab2)
=a3+b3－a2b－ab2
=a3－a2b+b3－ab2
=a2(a－b)－b2(a－b)
=(a－b)(a2－b2)
=(a－b)(a－b)(a+b)
=(a－b)2(a+b)
因为a，b为正数，且a≠b，所以(a－b)2(a+b)>0，(a3+b3)>(a2b+ab2).
解题提醒：因式分解的好处在于，每个因式的正负很容易判断，进而判断出这些因式之积的正负.
对点诊断性训练
选择题：
1.下列说法正确的是
A.
王先生月收入x元不高于5000元可表示为“x<5000”
B.
小明的身高为x，小刚的身高为y，则小明比小刚矮可表示为“x>y”
C.
变量x不小于b可表示为“x≥b”
D.
变量y不超过b可表示为“y≥b”
【答案】C
2.若a>b，则下列不等式中正确的是
A.a2>b2
B.>
C.a2+b2>2ab
D.ac2>bc2
【答案】C
3.已知a1，a2∈(0，1)，记M=a1a2，N=a1+a2－1，则M与N的大小关系是(
)
A.MB.M>N
C.M=N
D.
不确定
【答案】B
解析：M－N=a1a2－(a1+a2－1)=a1a2－a1－a2＋1=a1(a2－1)－(a2－1)=(a2－1)(a1－1).
a1，a2∈(0，1)，所以a2－1<0，a1－1<0，(a2－1)(a1－1)>0，M>N.
故选B.
填空题：
4.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元.
所列不等式为(8－)x≥20.
5.设M=5a2－a+1，N=4a2+a－1，则M与N的大小关系为：M
>N.
【答案】
解析M－N=(5a2－a+1)－(4a2+a－1)=a2－2a+2=(a－1)2＋1>0，所以M>N.
解答题：
6.已知a，b∈R，比较a2+b2与2a－4b－5的大小．
解析：(a2+b2)－(2a－4b－5)
=a2+b2－2a＋4b＋5
=(a2－2a＋1)+(b2＋4b＋4)
=(a－1)2＋(b＋2)2≥0
当a=1，且b=－2时，(a－1)2＋(b＋2)2=0，a2+b2=2a－4b－5；
当a≠1，或b≠－2时，(a－1)2＋(b＋2)2>0，a2+b2>2a－4b－5.
自我反馈，总结提升
做差的结果正负判断通常有两种途径：
因式分解，利用各因式的符号判断结果的正负情况；
配方，利用“平方数非负”的性质判断结果的正负情况．
自我评估，检测自我
选择题：
1.限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式为
A.v<40km/h
B.v>40km/h
C.v=40km/h
D.v≤40km/h
【答案】D
2.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是
A.t>s
B.t≥s
C.tD.t≤s
【答案】D
解析：t－s=(a+4b)－(a+b2+4)=4b－b2－4=－(b2－4b＋4=－(b-2)2≤0，t≤s
.
3(多选题).若aA.>
B.>
C.>
D.a4
>b4
【答案】ACD
解析：对于A选项，－=>0，故A正确；
对于B选项，a=－2，b=－1时，<，故B不正确；
对于C选项，数a对应的点离原点远，绝对值大，故C正确；
对于D选项，a4
－b4=(a2＋b2)(a2－b2)=(a2＋b2)(a+b)(a－b)>0，故D正确.
填空题：
4.设实数a，b，c满足：①b+c=6－4a+3a2，②c－b=4－4a+a2，则a，b，c的大小关系为
.
【答案】c≥b>a
解析：c－b=4－4a+a2=(2－a)2≥0，所以c≥b.
①－②，得2b=2a2＋2，b=a2＋1.
b－a
=a2－a＋1=(a－)2＋>0，所以b>a.
综上可得，c≥b>a.
5.已知a>b>c，比大小：a2b+b2c+c2a
ab2+bc2+ca2．
【答案】>
解析：(a2b+b2c+c2a)－(ab2+bc2+ca2)
=a2b+b2c+c2a－ab2－bc2－ca2
=a2b－ca2－ab2+c2a+b2c－bc2
=a2(b－c)－a(b2－c2)＋bc(b－c)
=a2(b－c)－a(b－c)(b＋c)＋bc(b－c)
=(b－c)[a2－a(b＋c)＋bc]
=(b－c)(a2－ab－ac＋bc)
=(b－c)[a(a－b)－c(a－b)]
=(b－c)(a－b)(a－c)
因为a>b>c，所以a－b，b－c，a－c都是正数，(b－c)(a－b)(a－c)>0，所以
a2b+b2c+c2a>b2+bc2+ca2．
．
解答题：
6.体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置，有两种不同的行走方式(以下x1≠x2).
方式一：小明一半的时间以x1m/s的速度行走，剩余一半时间换为以x2m/s的速度行走，平均速度为；
方式二：小明一半的路程以x1m/s的速度行走，剩余一半路程换为以x2m/s的速度行走，平均速度为．
试求两种行走方式的平均速度，；
(2)比较，的大小．
解析：(1)求第一种方式的平均速度：
路程s
=
x1＋x2
，==；
求第二种方式的平均速度：
时间t
=
＋
=＋==，=.
（2）－=－==>0(因为x1≠x2)，所以
>.
最后的环节
把失误的题落实到作业本上，并反思原因.
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