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2020-2021学年华东师大新版九年级上册数学期中练习试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．若函数y＝（1+m）x是关于x的二次函数，则m的值是（　　）
A．2
B．﹣1或3
C．3
D．﹣1±
2．有人预测2020年东京奥运会上中国女排夺冠的概率是80%，对这个说法正确的理解应该是（　　）
A．中国女排一定会夺冠
B．中国女排一定不会夺冠
C．中国女排夺冠的可能性比较大
D．中国女排夺冠的可能性比较小
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，则AC的长为（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，且AC＝6cm，AB＝8cm，则△ADE的周长为（　　）
A．8cm
B．10cm
C．12cm
D．14cm
5．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（　　）
A．30石
B．150石
C．300石
D．50石
6．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1
B．y＝（x+2）2+1
C．y＝（x+2）2﹣1
D．y＝（x﹣2）2﹣1
7．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是位似图形，原点O是位似中心，位似比OA：OD＝1：3，若AB＝3，则DE的长为（　　）
A．5
B．6
C．9
D．12
8．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（　　）
A．4.5
B．9
C．10
D．12
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　
　．
10．已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是3，则数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2的平均数是　
　．
11．已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点　
　；
（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为　
　．
12．如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为　
　米．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝　
　．
14．如图已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An作x轴的垂线交二次函数y＝x2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，则S3＝　
　，最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面积为Sn，则Sn＝　
　．
三．解答题（共7小题，满分47分）
15．（6分）计算：|1﹣|﹣（）﹣1+（2020﹣π）0﹣2cos45°．
16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（2）连接CA，CB，若点P是x轴下方抛物线上的一点，连接PC，PB，当S△PCB＝S△ACB时，求点P的坐标．
17．（6分）如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了表面颜色不同外，其它构造完全相同，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么红色和蓝色在一起能配成紫色．请你用列表法或树状图法，求游戏者不能配成紫色的概率．
18．（7分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．
（1）求斜坡DE的高EH的长；
（2）求信号塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
19．（7分）如图，已知O为坐标原点，B，C两点坐标为（3，﹣1），（2，1）．
（1）在y轴的左侧以O点为位似中心将△OBC放大到原来的2倍，画出放大后△O1B1C1；
（2）写出B1，C1的坐标；
（3）在（1）条件下，若△OBC内部有一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M1的坐标．
20．（7分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2＝AD?BD．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若AC＝4，AB＝10，求AD的长．
21．（8分）某校对九年级400名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息．（用x表示成绩，数据分成5组：A：30≤x＜34，B：34≤x＜38，C：38≤x＜42，D：42≤x＜46，E：46≤x≤50）
乙班成绩在D组的具体分数是：42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
43
44
45
45
甲，乙两班成绩统计表：
班级
甲班
乙班
平均分
44.1
44.1
中位数
44.5
n
众数
m
42
方差
7.7
17.4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出m、n的值；
（2）小明这次测试成绩是43分，在班上排名属中游略偏上，小明是甲、乙哪个班级学生？说明理由；
（3）假设该校九年级学生都参加此次测试，成绩达到45分及45分以上为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．
四．解答题（共3小题，满分31分）
22．（9分）已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG?CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求的最小值．
23．（10分）已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标．
24．（12分）在正方形ABCD中，E为边CD上一点（不与点C、D重合），垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6．
（1）如图1，当点M和点C重合时，若AN＝4，求线段PM的长度；
（2）如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将△BPN沿着BN翻折，点P落在点P'处，AB的中点为Q，直接写出P'Q的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2，且1+m≠0，
解得：m＝3，
故选：C．
2．解：有人预测2020年东京奥运会上中国女排夺冠的概率是80%，对这个说法正确的理解应该：中国女排夺冠的可能性比较大．
故选：C．
3．解：sinA＝，
∴＝，
解得，AB＝10，
由勾股定理得，AC＝＝＝8，
故选：C．
4．解：∵DE⊥AB，∠BAC＝90°，
∴DE∥AC，
∵D为BC的中点，
∴DE为Rt△ABC的中位线，
∵AC＝6cm，AB＝8cm．
∴DE＝AC＝3，AE＝4，AD＝BC，BC＝＝10，
∴AD＝5，
∴△ADE的周长为+AE+AD＝12cm．
故选：C．
5．解：根据题意得：
1500×＝150（石），
答：这批米内夹谷约为150石；
故选：B．
6．解：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，
再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．
故选：B．
7．解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴＝，即＝，
解得，DE＝9，
故选：C．
8．解：∵点D、E、F分别是三边的中点，
∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，
∴△DEF的周长＝++3＝9，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．解：如图，过点D作DF∥AE，
则＝＝，
∵＝，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：
4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：×4＝．
故答案为：．
10．解：一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是3，有（x1+x2+x3+x4）＝3，
那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是（3x1﹣2+3x2﹣2+3x3﹣2+3x4﹣2+3x5﹣2）
＝3×（x1+x2+x3+x4）﹣×（2+2+2+2）
＝3×3﹣2
＝7．
故答案为7．
11．解：（1）∵y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
∴当x＝﹣2时，y＝4k+（2k+1）×（﹣2）+1＝﹣1，
当x＝0时，y＝0+0+1＝1，
∴对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点
（0，1），
故答案为：（0，1）；
（2）∵k为任意正实数，
∴k＞0，
∴函数图象开口向上，
∵函数y＝kx2+（2k+1）x+1的对称轴为x＝﹣＝﹣1﹣＜﹣1，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵x＞m时，y随x的增大而增大，
∴m≥﹣1﹣，
故m＝0时符合题意．（答案不唯一，m≥﹣1即可）．
故答案为：0．
12．解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，
∵BC：AC＝1：0.75，
∴12：AC＝1：0.75，
∴AC＝9（米），
∴AB＝＝＝15（米），
答：该大坝迎水坡AB的长度为15米．
故答案为：15．
13．解：如图，
∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，
∴CQ＝，
故答案为：．
14．解：当x＝1时，y＝x2＝，则P1（1，），所以S1＝×1×＝；
当x＝2时，y＝x2＝2，则P2（2，2），所以S2＝×1×（2﹣）＝；
当x＝3时，y＝x2＝，则P3（3，），所以S3＝×1×（﹣2）＝，
同样方法可得S4＝，
所以Sn＝．
故答案为，．
三．解答题（共7小题，满分47分）
15．解：原式＝﹣1﹣3+1﹣2×
＝﹣1﹣3+1﹣
＝﹣3．
16．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），OC＝OB＝2OA．
∴B（2，0），C（0，2），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
把点C（0，2）代入，解得：a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x+1）＝﹣x2+x+2；
（2）如图，
∵S△ACB＝AB?OC＝×3×2＝3，
∴S△PCB＝S△ACB＝4，
∵点P是x轴下方抛物线上的一点，设P（m，﹣m2+m+2），
∴直线PC为y＝（﹣m+1）x+2，y＝0时，x＝，m＜﹣1或m＞2，
∴S△PCB＝BM?[2﹣（﹣m2+m+2）]＝×（2﹣）×（m2﹣m）＝4，
解得：m＝1﹣，
∴点P的坐标为（1+，﹣3﹣）或（1﹣，﹣3）．
17．解：A转盘红色区域是蓝色区域的2倍，B转盘蓝色区域是红色区域的2倍，
画树状图如图：
共有9个等可能的结果，游戏者不能配成紫色的结果有4个，
∴游戏者不能配成紫色的概率＝．
18．解：（1）过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝65米，CD＝60米，
∴设EH＝x，则DH＝2.4x．
在Rt△DEH中，
∵EH2+DH2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝652，
解得，x＝25（米）（负值舍去），
∴EH＝25米；
答：斜坡DE的高EH的长为25米；
（2）∵DH＝2.4x＝60（米），
∴CH＝DH+DC＝60+60＝120（米）．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，
∴四边形EHCM是矩形，
∴EM＝CH＝120米，CM＝EH＝25米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝37°，
∴AM＝EM?tan37°≈120×0.75＝90（米），
∴AC＝AM+CM＝90+25＝115（米）．
∴AB＝AC﹣BC＝115﹣92＝23（米）．
答：信号塔AB的高度为23米．
19．解：（1）如图，△O1B1C1即为所求作．
（2）B1（﹣6，2），C1（﹣4，﹣2）．
（3）M1
（﹣2x，﹣2y）．
20．解：如图所示：
（1）∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵CD2＝AD?BD，
∴，
∴△ADC～△CDB，
∴∠A＝∠BCD，
又∵∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACB＝90°；
（2）∵∠ACB＝∠ADC＝90°
∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
又∵AC＝4，AB＝10，
∴，
∴AD＝1.6
21．解：（1）乙班的成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数都是42，因此中位数是42，即n＝42，
甲班的中位数一定落在D组，而甲班每组人数为：A组2人，B组2人，C组10人，D组24人，E组12人，
甲班的中位数是44.5，而D组：42≤x＜46整数，因此排序后处在第25、26位的两个数分别是44，45，
于是，可得甲班得45分的学生数为2+2+10+24﹣25＝13（人），是出现次数最多的，
所以，甲班成绩的众数是45，即m＝45，
故答案为：m＝45，n＝42；
（2）∵小明的成绩为43分，且在班上排名属中游略偏上，而甲班中位数是44.5，乙班的中位数是42，
∴小明是乙班级学生；
（3）甲班得45分及45分以上的有：13+12＝25（人），而乙班有：2+20＝22（人），
两个班的整体优秀率为：＝47%，
∴400×47%＝188（人），
即：该校本次测试成绩优秀的学生人数为188人．
四．解答题（共3小题，满分31分）
22．解：（1）如图1，∵AF2＝CG?CD，
∴＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，
∴，
∵∠FCG＝∠FCG，
∴△FCG∽△DCF，
∴∠CFE＝∠FDC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FDC＝∠ADC＝30°，
∴∠CFE＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
Rt△DCE中，∠DCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∵CD＝2，
∴CE＝1，DE＝＝，
Rt△ADE中，AE＝＝＝，
∵∠ADF＝∠AED，∠FAD＝∠FAD，
∴∠AFD∽△ADE，
∴，即，
∴AF＝，
∴EF＝﹣＝，
∵AD∥BC，
∴△AFM∽△EFN，
∴＝，
∵MN＝DE＝，
∴FN＝，
∴S△CEF＝＝＝；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，
设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，
在Rt△CEH中，∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH＝x，EH＝x，
∴DH＝a﹣x，
在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2
＝（a﹣x）2+（x）2
＝a2﹣ax+x2，
在Rt△ABN中，∠B＝60°，AB＝a，
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝a，AN＝a，
∴CN＝BC﹣BN＝a，
∴EN＝EC+CN＝a+x，
Rt△ANE中，AE2＝AN2+EN2
＝（a）2+（a+x）2
＝a2+ax+x2，
∴＝＝＝1﹣＝1﹣＝1﹣（a＞0，x＞0），
∴当＝时，即x＝a时，有最小值，
则此时＝1﹣＝，
∴＝．
23．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0），
把C（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0）中，得
4＝﹣6a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣，
即y＝﹣+；
（2）设P点的坐标为（t，），过点P作PM⊥x轴，与BC交于点M，如图1，
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣，
∴M（t，），
∴，
∴＝﹣t2+3t，
，
，
∴S四边形ABPC＝S△AOC+S△BOC+S△BPC＝，
∴当t＝时，S四边形ABPC的最大值为，
∴此时P点的坐标为（，）；
（3）∵将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，
∴y′的解析式为y′＝﹣（x﹣）2+（x﹣）+4﹣2，即y′＝﹣x2+x+，
∴抛物线y′的对称轴为x＝1，
∵抛物线y＝﹣+＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线y＝﹣+的对称轴为直线x＝，
把x＝代入y′＝﹣x2+x+，中，得y′＝2，
∴Q点的坐标为（，2），
设E的坐标为（1，n）
①当PE＝QE时，则PE2＝QE2，
即，
解得，n＝，
∴E（1，）（不合题意舍弃，此时P，E，Q共线），
②当PQ＝QE时，则PQ2＝QE2，
即，
解得，n＝2±，
∴E点的坐标为（1，2+）或（1，2﹣）；
③当PQ＝PE时，则PQ2＝PE2，
即，
解得，n＝，
∴点E的坐标为（1，）或（1，）．
综上，当△PQE是等腰三角形时，点E的坐标为（1，2+）或（1，2﹣）或（1，）或（1，）．
24．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠D＝∠BCE＝90°，
∵BE⊥MN，点M和点C重合，
∴MD＝BC＝6，∠DMN+∠BCP＝90°，∠CBE+∠BCP＝90°，
∴∠DMN＝∠CBE，
在△DMN和△CBE中，，
∴△DMN≌△CBE（AAS），
∴MN＝BE，
∵AN＝4，
∴DN＝AD﹣AN＝6﹣4＝2，
由勾股定理得：MN＝＝＝2，
∴BE＝2，
∵∠PBC＝∠CBE，∠CPB＝∠ECB＝90°，
∴△PBC∽△CBE，
∴＝，
∴BP＝＝＝，
在Rt△BPM中，由勾股定理得：PM＝＝＝；
（2）线段AN、MB、EC之间的数量关系为：AN+EC＝MB，理由如下：
过点N作NF⊥BC于N，如图2所示：
则四边形ANFB为矩形，
∴AN＝BF，NF＝AB＝BC，
∵MN⊥BE，
∴∠EBC+∠PMB＝90°，∠MNF+∠NMF＝90°，
∴∠EBC＝∠MNF，
在△EBC和△MNF中，，
∴△EBC≌△MNF（ASA），
∴FM＝EC，
∴MB＝BF+FM＝AN+EC，即AN+EC＝MB；
（3）连接BD交AC于点O，如图3所示：
则△BPN的直角顶点P在AC上运动，
设点P与点C重合时，则点P′与点A重合；
设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，
∵AO＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠BAO′＝45°，
当点P在线段CO上运动时，过点P作PG⊥AD于点G，过点P′作P′H⊥AD交DA延长线于点H，连接PD，
∵点P在AC上，
∴BP＝PD，
在△BPC和△DPC中，，
∴△BPC≌△DPC（SSS），
∴∠CBP＝∠CDP，
∵∠CDA＝∠MPB＝90°，
∴∠PDN＝∠BMP，
∵BC∥AD，
∴∠BMP＝∠PND，
∴∠PDN＝∠PND，
∴PD＝PN，
∴BP＝PN，
∴∠PNB＝45°，
∴∠PNP′＝90°，
∴∠P′NH+∠PNG＝90°，
∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°，
∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H，
由翻折性质得：PN＝P′N，
在△PGN和△NHP'中，，
∴△PGN≌△NHP'（ASA），
∴PG＝NH，GN＝P'H，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠PAG＝45°，
∴△AGP是等腰直角三角形，
∴PG＝AG，
∴GN＝AH，
∴AH＝P'H，
∴∠P'AH＝45°，
∴∠P'AB＝45°，
∴点P'在线段AO'上运动；
过点Q作QK⊥AO'，垂足为K，
则当P′与K重合时，P'Q最短，
∵点Q为AD的中点，
∴AQ＝3，
在等腰Rt△AKQ中，KQ＝AQ＝×3＝，
∴P'Q的最小值为．

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