资源简介

每节课能高效地完成多少内容，是教师必须思考的问题.
2.1等式性质与不等式性质（2）
【这节课要学些什么】
知识与技能
重点与难点
1.理解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明；
2.能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明；
3.渗透用“类比”的方法认知客观世界的意识.
重点：利用不等式的基本性质证明不等式.
难点：1.应用不等式性质解题时对前提条件的把握程度；
2.解题时对多种方法的熟练应用；
3.对不等式性质之间内部联系的认知.
【上课伊始花序】
成语中蕴含的数学思维
以古为鉴
，指借历史上的成败得失作为鉴戒，同“以古为镜”.
《新唐书·魏徵传》“以铜为鉴，可正衣冠；以古为鉴，可知兴替；以人为鉴，可明得失”，意思是用铜做镜子，可以整理好一个人的穿戴；用历史作为镜子，可以知道历史上的兴盛衰亡；用别人作自己的镜子，可以知道自己每一天的得失.
“以古为鉴”体现的是数学思维方式中的
推理.
【进入主题】
通过类比，由等式的性质对应写出不等式的性质：
等式性质
不等式性质
1.若a=b，则b=a；
1.若a>b，则b
a；
2.若a=b，b=c，则a=c；
2.若a>b，b>c，则a
c；
3.若a=b，则a+c=b+c；
3.若a>b，则a+c
b+c；
4.若a=b，则ac=bc；
4.若a>b：①当
时，ac>bc；
②当
时，ac5.若a=b，c=d，则a+c=b+d；
5.若a>b，c>d，则a+c
b+d；
6.若a=b，c=d，则ac=bd；
6.若a>b
，c>d
，则ac>bd；
7.若a>b，则an=bn(nN，n≥2).
7.若a>b
，则an>bn(nN，n≥2).
易错之处提醒：
表中不等式最后两个性质涉及的实数都是
数，如果不满足“都是
数”的条件，需重新考虑.你能举出反例吗？
反例：
释难夯基：你能证明不等式性质6吗？性质6与性质7有什么联系？
性质6的证明：
性质6与性质7的联系：
【点拨】性质
是性质6的理论基础，性质
是性质7的理论基础，体会这种数学认知的逻辑.
【典例打样】
一题多解，异曲同工
【典例】已知a>b
>0，c<0，求证>.
证法1：
证法2：
重难点提醒:第一种方法从
切入，第二种方法从不等式的
切入.
方法不同，解题流程涉及的知识链条有差别，繁简程度有时会有所不同.
但要注意，两种方法都是需要掌握的基本方法，没有
之分.
【自己试一试】
对点诊断，提升自我
选择题：
1.下列结论正确的个数为(?
?)
①两个实数a，b比较，有且只有a>b,a=b,a②若>1，则a>b；
③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变；
④一个非零实数越大，则其倒数就越小；
⑤a>b>0，c>d>0?ad>bc.
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
2(多选题)
.若<<0，则下列结论正确的是(??
)
A.
a2B.
abC.
a+b<0
D.
+>
3.如果a、b、c满足cA.
ab>ac
B.
cb2C.
c(b?a)>0
D.
ac(a?c)<0
填空题：
4.已知?1．
5.已知2b．
解答题：
6.已知a>b>0，c.
【自我总结】
纠错反思，新知纳入
1.在应用不等式的性质解题时，一定要弄清楚它们成立的
条件．不可强化或
化成立的条件；
2.说明一个不等关系是错误的，举出一个
即可；说明一个不等关系是正确的，必须进行严格的
；
3.解题方法具有
性，只要是要求掌握的基本方法，都要掌握，不可因一己之好恶，随意舍弃某一种方法.
【自我评估】
查缺补漏，追求百分百
选择题：
1.已知a>b，c∈R，则下列不等式恒成立的是(
)
A.
a+c>b+c
B.
ac>bc
C.
a?cD.
a22.如果a>0>b且a+b>0，那么以下不等式正确的个数是(
)
①a2>b2；②<；③a3>ab2；④a2bA.
1
B.
2
C.
3
D.
4
3.已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(
)
A．ab>bc
B．ac>bc
C．ab>ac
D．a|b|>|b|c
填空题：
4．给出下列四个命题：①若a>b，c>d，则a－d>b－c；②若a2x>a2y，则x>y；③a>b，则>；④若<<0，则ab5.设a，?b?，?c是任意实数，能够说明“c．
解答题：
6.若a>b>0，c|c|.
求证：(1)b+c>0；(2)<.
【最后的环节】
弥补缺漏，完美收官
把失误的题落实到纠错本上，并认真反思.
1
1
2每节课能高效地完成多少内容，是教师必须思考的问题.
2.1等式性质与不等式性质（2）
【这节课要学些什么】
知识与技能
重点与难点
1.理解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明；
2.能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明；
3.渗透用“类比”的方法认知客观世界的意识.
重点：利用不等式的基本性质证明不等式.
难点：1.应用不等式性质解题时对前提条件的把握程度；
2.解题时对多种方法的熟练应用；
3.对不等式性质之间内部联系的认知.
【上课伊始花序】
成语中蕴含的数学思维
以古为鉴
，指借历史上的成败得失作为鉴戒，同“以古为镜”.
《新唐书·魏徵传》“以铜为鉴，可正衣冠；以古为鉴，可知兴替；以人为鉴，可明得失”，意思是用铜做镜子，可以整理好一个人的穿戴；用历史作为镜子，可以知道历史上的兴盛衰亡；用别人作自己的镜子，可以知道自己每一天的得失.
“以古为鉴”体现的是数学思维方式中的类比推理.
【进入主题】
通过类比，由等式的性质对应写出不等式的性质：
等式性质
不等式性质
1.若a=b，则b=a；
1.若a>b，则b
<
a；
2.若a=b，b=c，则a=c；
2.若a>b，b>c，则a
>
c；
3.若a=b，则a+c=b+c；
3.若a>b，则a+c
>
b+c；
4.若a=b，则ac=bc；
4.若a>b：①当
c>0
时，ac>bc；
②当
c<0
时，ac5.若a=b，c=d，则a+c=b+d；
5.若a>b，c>d，则a+c
>
+d；
6.若a=b，c=d，则ac=bd；
6.若a>b
>0
，c>d
>0
，则ac>bd；
7.若a>b，则an=bn(nN，n≥2).
7.若a>b
>0
，则an>bn(nN，n≥2).
易错之处提醒：
表中不等式最后两个性质涉及的实数都是
正
数，如果不满足“都是
正
数”的条件，需重新考虑.你能举出反例吗？
反例：－1>－2，－3>－4，但(－1)(－2)>(－3)(－4)不成立，(－1)2>(－2)2也不成立.
释难夯基：你能证明不等式性质6吗？性质6与性质7有什么联系？
性质6的证明：
a>b
，c>0，∴ac>bc(性质4)；c>d，b>0，∴bc>bd(性质4)，∴ac>bd.
性质6与性质7的联系：
a>b
>0，a>b
>0，a>b
>0，…，a>b
>0，共n个.
根据性质6，有aaa…a>b
b
b
…b
，即an>bn.
【点拨】性质4是性质6的理论基础，性质6是性质7的理论基础，体会这种数学认知的逻辑.
【典例打样】
一题多解，异曲同工
【典例】已知a>b
>0，c<0，求证>.
证法1：－
==.
a>b
>0，∴b－a<0，ab>0.
又c<0，∴>0，>.
证法2：a>b
>0，∴ab>0，>0.
a?>b?，即>.
c<0，∴，即>.
重难点提醒:第一种方法从做差切入，第二种方法从不等式的性质切入.
方法不同，解题流程涉及的知识链条有差别，繁简程度有时会有所不同.
但要注意，两种方法都是需要掌握的基本方法，没有主次之分.
【自己试一试】
对点诊断，提升自我
选择题：
1.下列结论正确的个数为(?
?)
①两个实数a，b比较，有且只有a>b,a=b,a②若>1，则a>b；
③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变；
④一个非零实数越大，则其倒数就越小；
⑤a>b>0，c>d>0?ad>bc.
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
【答案】A
分析：只有①⑤正确.
2(多选题)
.若<<0，则下列结论正确的是(??
)
A.
a2B.
abC.
a+b<0
D.
+>
【答案】ABC
分析：由<<0，可知a，b都是负的，所以C选项正确，D选项错误；
0，所以b－a<0，b对于A选项，a2－b2=(a－b)(a+b)<0.故A正确；
对于B选项，由bab，即.
ab.故B正确.
3.如果a、b、c满足cA.
ab>ac
B.
cb2C.
c(b?a)>0
D.
ac(a?c)<0
【答案】B
分析：∵ac<0，∴a，c异号，∵c0，c<0，b可正、可负、还可以是0.
对于A选项，∵b>c，a>0，∴ab>ac；
对于B选项，∵c对于C选项，∵b0；
对于D选项，∵c0，∴ac(a?c)<0.
选项不恒成立的只有B.
填空题：
4.已知?1．
【答案】(?3，3)
解析：1因为?1故答案为(?3,3)
．
5.已知2b．
【答案】(?1，2)
解析：∵2b故答案为(?1,2)．
解答题：
6.已知a>b>0，c.
证明：－==.
因为a、b为正，c、d为负，所以a－c、b－d都是正值；
因为a>b，c又因为e<0，所以>0，>.
证法2：c－d>0，又因为a>b>0及同向可加原则，有a－c>b－d>0，
所以<(两个正分数，分母越大，分数值越小).
因为e<0，所以有结论：>.
【自我总结】
纠错反思，新知纳入
1.在应用不等式的性质解题时，一定要弄清楚它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件；
2.说明一个不等关系是错误的，举出一个反例即可；说明一个不等关系是正确的，必须进行严格的推理证明；
3.解题方法具有多样性，只要是要求掌握的基本方法，都要掌握，不可因一己之好恶，随意舍弃某一种方法.
【自我评估】
查缺补漏，追求百分百
选择题：
1.已知a>b，c∈R，则下列不等式恒成立的是(
)
A.
a+c>b+c
B.
ac>bc
C.
a?cD.
a2【答案】A
2.如果a>0>b且a+b>0，那么以下不等式正确的个数是(
)
①a2>b2；②<；③a3>ab2；④a2bA.
1
B.
2
C.
3
D.
4
【答案】C
解析：由a>0>b知，a+b>0，∴a为正，b为负，且>.
a2>b2，①正确；为正，为负，②不正确；a2>b2，a为正，所以a3>ab2，
③正确；a2>b2，b为负，所以a2b故选C．
3.已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(
)
A．ab>bc
B．ac>bc
C．ab>ac
D．a|b|>|b|c
【答案】C
解析：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a一定是正数.
由b>c，a>0，得ab>ac，故选C.
填空题：
4．给出下列四个命题：①若a>b，c>d，则a－d>b－c；②若a2x>a2y，则x>y；③a>b，则>；④若<<0，则ab【答案】①②④
解析：①由c>d得：－d>－c，同向不等式相加，得a－d>b－c；②若a2x>a2y，a2必为正数，所以x>y成立；③a>b，则>不一定成立，如a＝2，b＝－3；④若<<0，则b0，即ab5.设a，?b?，?c是任意实数，能够说明“c．
【答案】1，0，?1
注：答案不唯一.
解答题：
6.若a>b>0，c|c|.
求证：(1)b+c>0；(2)<.
证明：(1)因为|b|>|c|，且b>0，c<0，所以b+c>0.
(2)因为c?d>0.
因为a>b>0，由同向不等式的相加性，得a?c>b?d>0．
根据不等式性质7，得(a?c)2>(b?d)2>0．所以0<<.
因为a>b，d>c，由同向不等式的相加性，得a+d>b+c>0(第一问已证出b+c>0)，
即0根据不等式的性质6，得<
【最后的环节】
弥补缺漏，完美收官
把失误的题落实到纠错本上，并认真反思.
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