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第一章
集合与常用逻辑用语
1.1
集合的概念
第1课时
集合的含义
课标解读
课标要求
素养要求
1.通过实例，了解集合的含义
2.掌握集合中元素的三个特性.
3.理解元素与集合的属于关系，记住常用数集的表示符号并能运用.
1.数学抽象——能够判断给出的对象能否构成集合.
2.逻辑推理——会借助集合元素的互异性解题.
自主学习·必备知识
要点一
集合与元素的概念
1.一般地，我们把研究对象统称为元索，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.我们通常用大写拉丁字母①
表示集合，用小写拉丁字母②
表示集合中的元素.
2.集合相等：只要构成两个集合的元素是③
，我们就称这两个集合是相等的.
要点二
集合与元素间的关系
如果
是集合
的元素，就说a属于集合A，记作
；如果
不是集合4中的元素，就说a不属于集合A，记作
.
要点三
数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作
；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作
或
；
全体整数组成的集合称为整数集，记作
；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作④
；
全体实数组成的集合称为实数集，记作⑤
.
自主思考
1.班上高个子的同学能称为元素吗？
2.坐标平面内所有的点组成的集合为
，那么
，
都成立吗?
3.集合
与
或
有何区别?
4.
与
有何区别?
名师点睛
1.判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否有明确的标准，即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”.另外，元素可以是人、物、数、点、不等式、集合等.
2.集合中元素的特性
确定性、互异性、无序性.
3.常用数集关系网
互动探究·关键能力
探究点一
集合的概念
精讲精练
例
下列各组对象，能构成集合的是(
)
①中国各地最美的旅游景点；
②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于2021的自然数；
④2020年我校体育节中的金牌获得者.
A.③④B.②③④C.②③D.②④
迁移应用
1.有下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数的全体；
③平面直角坐标系上到点
的距离等于1的点的全体；
④直角三角形的全体．
其中能构成集合的个数是(
)
A.1B.2C.3D.4
探究点二
元素与集合的关系
精讲精练
例
（1）下列所给关系正确的个数是(
)
①
；②
；③
；④
.
A.1B.2C.3D.4
（2）已知集合
含有三个元素2，4，6，且当
时，有
，那么
为(
)
A.2B.2或4C.4D.0
迁移应用
1.已知集合
中的元素
满足
，常数
，若
，
，则
的取值范围是
.
2.用符号“
”或“
”填空.
设集合
是所有满足方程
的有序数对
的集合，则-1
.
探究点三
集合中元素的特征及运用
精讲精练
例
已知集合
含有两个元素1和
，若
，求实数
的值.
迁移应用
1.（2020河南南阳高一检测）设集合
满足：若
，则
，且集合Ｍ中所有元素之和为
，
，则集合Ｍ中的元素个数为(
)
A.22B.22或23
C.23D.23或24
评价检测·素养提升
1.（2021安徽黄山高一期末）下列元素与集合的关系不正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（多选）下列各项中，可以组成集合的是(
)
A.所有的正数B.等于2021的数
C.接近于2021的数D.不等于0的数
3.“
”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是(
)
A.5B.6C.7D.8
4.有下列说法：
①
与
是同一个集合；
②
中的元素都是
中的元素；
③
中的元素都是
中的元素；
④
中的元素都是
中的元素.
其中正确的有
（填序号）.
5.若集合
是由元素-1，3组成的集合，集合
是由方程
的解组成的集合，且
，求实数
，
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020海南东方八所中学高一月考）下列所给的对象能构成集合的是(
)
A.2021届的优秀学生
B.高一数学必修第一册课本上的所有难题
C.遵义四中高一年级的所有男生
D.比较接近1的全体正数
2.设集合
只含有一个元素a，则下列各式正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020海南临高二中高一月考）下列关系中，正确的个数为(
)
①
；②
；③
；④
.
A.1B.2C.3D.4
4.若以集合
中的四个元素
为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(
)
A.梯形B.平行四边形
C.菱形D.矩形
5.（2021湖北荆州高一检测）已知
，
是非零实数，代数式
的值组成的集合是
，则下列判断正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
6.（多选）下列说法中正确的有(
)
A.
中最小的数是1
B.若
，则
C.若
，
，则
的最小值是2
D.方程
的解构成的集合中有2个元素
7.若集合
中有两个元素-1和2，集合
中有两个元素
，
，若
与
相等，则
；
.
答案：-1;
8.（2021广西南宁三中高一检测）已知集合
是由全体偶数组成的，集合
是由全体奇数组成的，若
，
，则
，
A（选填“
”或“
”）.
9.已知集合
中含有两个元素
和
，若
，求实数
的值.
素养提升练
10.（2021山西新绛第二中学检测）已知集合
是方程
的解组成的集合，若
，则下列判断正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
11.（2020山东青岛高一期中）由实数
，
，
，
，
所组成的集合，其元素的个数最多为(
)
A.2B.3C.4D.5
12.集合
中的元素
满足
，且
，则集合
中的元素为
.
13.（2020山东济宁第一中学高一月考，改编）已知集合
中含有三个实数，分别为
若
且
，则
.
创新拓展练
14.设集合
中含有三个元素3，
，
.
（1）求实数
应满足的条件；
（2）若
，求实数
的值.
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第一章
集合与常用逻辑用语
1.1
集合的概念
第1课时
集合的含义
课标解读
课标要求
素养要求
1.通过实例，了解集合的含义
2.掌握集合中元素的三个特性.
3.理解元素与集合的属于关系，记住常用数集的表示符号并能运用.
1.数学抽象——能够判断给出的对象能否构成集合.
2.逻辑推理——会借助集合元素的互异性解题.
自主学习·必备知识
要点一
集合与元素的概念
1.一般地，我们把研究对象统称为元索，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.我们通常用大写拉丁字母①
，
，
，…
表示集合，用小写拉丁字母②
，
，
，…
表示集合中的元素.
2.集合相等：只要构成两个集合的元素是③
一样的
，我们就称这两个集合是相等的.
要点二
集合与元素间的关系
如果
是集合
的元素，就说a属于集合A，记作
；如果
不是集合4中的元素，就说a不属于集合A，记作
.
要点三
数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作
；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作
或
；
全体整数组成的集合称为整数集，记作
；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作④
；
全体实数组成的集合称为实数集，记作⑤
.
自主思考
1.班上高个子的同学能称为元素吗？
答案：提示
不能，个子高的同学无法确定为一个具体对象.
2.坐标平面内所有的点组成的集合为
，那么
，
都成立吗?
答案：提示
，
.
3.集合
与
或
有何区别?
答案：提示
集合N中的元素是0和正整数；集合
或
，中的元素是正整数.
4.
与
有何区别?
答案：提示
集合
中的元素是0和正整数，集合
中的元素是0、负整数与正整数.如：
，
，
，
.
名师点睛
1.判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否有明确的标准，即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”.另外，元素可以是人、物、数、点、不等式、集合等.
2.集合中元素的特性
确定性、互异性、无序性.
3.常用数集关系网
互动探究·关键能力
探究点一
集合的概念
精讲精练
例
下列各组对象，能构成集合的是(
)
①中国各地最美的旅游景点；
②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于2021的自然数；
④2020年我校体育节中的金牌获得者.
A.③④B.②③④C.②③D.②④
答案：
解析：①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.
解题感悟
一般地，确认一组对象均不相同
能否构成集合的过程如下：
迁移应用
1.有下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数的全体；
③平面直角坐标系上到点
的距离等于1的点的全体；
④直角三角形的全体．
其中能构成集合的个数是(
)
A.1B.2C.3D.4
答案：
解析：“接近”“比较小”没有明确标准．③④均可构成集合．故选B.
探究点二
元素与集合的关系
精讲精练
例
（1）下列所给关系正确的个数是(
)
①
；②
；③
；④
.
A.1B.2C.3D.4
（2）已知集合
含有三个元素2，4，6，且当
时，有
，那么
为(
)
A.2B.2或4C.4D.0
答案：（1）
（2）
解析：（1）①
是实数，所以
正确；②
是无理数，所以
正确；③0不是正整数，所以
错误；④
为正整数，所以
错误．故选B.
（2）当
时，
，
当
时，
，
所以
或
.故选B.
解题感悟
判断元素与集合关系的两种方法
1.直接法：
（1）使用前提：集合中的元素是直接给出的；
（2）判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可.
2.推理法：
（1）使用前提：集合中的元素不便直接表示的；
（2）判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么共同特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的共同特征即可.
迁移应用
1.已知集合
中的元素
满足
，常数
，若
，
，则
的取值范围是
.
答案：
解析：
，
，
，且
，解得
.
2.用符号“
”或“
”填空.
设集合
是所有满足方程
的有序数对
的集合，则-1
.
答案：
;
解析：因为集合
中的元素是所有满足方程
的有序数对
，所以
，
.
探究点三
集合中元素的特征及运用
精讲精练
例
已知集合
含有两个元素1和
，若
，求实数
的值.
答案：由题意可知，
或
，
若
，则
，这与
矛盾，故
.
若
，则
或
（舍去），又当
时，
中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.
综上可知，实数
的值为0.
解题感悟
由集合中元素的特性求解字母的取值（范围）的步骤
（1）求解：根据集合中元素的确定性，解出字母的取值（范围）；
（2）检验：根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；
（3）作答：写出符合题意的字母的取值（范围）.
易错点拨
常因忘记验证集合中元素的互异性而失分.
迁移应用
1.（2020河南南阳高一检测）设集合
满足：若
，则
，且集合Ｍ中所有元素之和为
，
，则集合Ｍ中的元素个数为(
)
A.22B.22或23
C.23D.23或24
答案：
解析：由集合
满足：若
，则
，得当
时，集合
中两个互异的元素
与
之和为2020，
当
时，
，
因为
，
所以
，
集合Ｍ中的元素个数为11×2+1=23，
故选C.
评价检测·素养提升
1.（2021安徽黄山高一期末）下列元素与集合的关系不正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（多选）下列各项中，可以组成集合的是(
)
A.所有的正数B.等于2021的数
C.接近于2021的数D.不等于0的数
答案：
;
;
3.“
”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是(
)
A.5B.6C.7D.8
答案：
4.有下列说法：
①
与
是同一个集合；
②
中的元素都是
中的元素；
③
中的元素都是
中的元素；
④
中的元素都是
中的元素.
其中正确的有
（填序号）.
答案：②④
5.若集合
是由元素-1，3组成的集合，集合
是由方程
的解组成的集合，且
，求实数
，
.
答案：因为
，所以-1，3是方程
的解.
则
解得
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020海南东方八所中学高一月考）下列所给的对象能构成集合的是(
)
A.2021届的优秀学生
B.高一数学必修第一册课本上的所有难题
C.遵义四中高一年级的所有男生
D.比较接近1的全体正数
答案：
2.设集合
只含有一个元素a，则下列各式正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2020海南临高二中高一月考）下列关系中，正确的个数为(
)
①
；②
；③
；④
.
A.1B.2C.3D.4
答案：
4.若以集合
中的四个元素
为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(
)
A.梯形B.平行四边形
C.菱形D.矩形
答案：
5.（2021湖北荆州高一检测）已知
，
是非零实数，代数式
的值组成的集合是
，则下列判断正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
6.（多选）下列说法中正确的有(
)
A.
中最小的数是1
B.若
，则
C.若
，
，则
的最小值是2
D.方程
的解构成的集合中有2个元素
答案：
;
解析：
是正整数集，最小的正整数是1，故A说法正确；当
时，
，且
，故B说法错误；若
，则
的最小值是1，又
，则
的最小值也是1，当
和
都取最小值时，
取最小值2，故C说法正确；
的解构成的集合为
，其中有1个元素，故D说法错误.故选AC.
7.若集合
中有两个元素-1和2，集合
中有两个元素
，
，若
与
相等，则
；
.
答案：-1;
解析：由集合相等的概念可知
，
即
.
8.（2021广西南宁三中高一检测）已知集合
是由全体偶数组成的，集合
是由全体奇数组成的，若
，
，则
，
A（选填“
”或“
”）.
答案：
;
解析：因为
是偶数，
是奇数，所以
是奇数，ab是偶数，故
，
.
9.已知集合
中含有两个元素
和
，若
，求实数
的值.
答案：
，
或
.
①若
，则
，
此时集合
中含有两个元素-3，-1，符合题意；
②若
，则
，此时集合
中含有两个元素-4，-3，符合题意.
综上所述，
或
.
素养提升练
10.（2021山西新绛第二中学检测）已知集合
是方程
的解组成的集合，若
，则下列判断正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由
可知，2为方程
的一个解，所以
，解得
.
所以方程为
，解得
.故方程的另一个解为-1.选C.
11.（2020山东青岛高一期中）由实数
，
，
，
，
所组成的集合，其元素的个数最多为(
)
A.2B.3C.4D.5
答案：
解析：当
时，
，
，此时集合中共有2个元素；
当
时，
，此时集合中共有1个元素；
当
时，
，此时集合中共有2个元素.综上，此集合中最多有2个元素，故选A.
12.集合
中的元素
满足
，且
，则集合
中的元素为
.
答案：0，1，2
解析：由
可得，
可以为1，2，3，6，且
为自然数，因此
的值为2，1，0.因此
中的元素为2，1，0.
13.（2020山东济宁第一中学高一月考，改编）已知集合
中含有三个实数，分别为
若
且
，则
.
答案：-1
解析：由
，“0不能做分母”可知
，
故
，所以
，
即
.由
，可知
或
.
当
时，
，由集合中元素的互异性，
知
不符合题意；
当
时，
或
（舍去）.
故
，
所以
的值为-1.
创新拓展练
14.设集合
中含有三个元素3，
，
.
（1）求实数
应满足的条件；
（2）若
，求实数
的值.
解析：命题分析
本题考查集合元素的特征，元素与集合的关系，考查运算求解能力，数学抽象的核心素养.
答题要领
（1）集合
中含有三个元素，即3，
，
互不相同.（2）由
，可得
或
.且
，
.不相等.
答案：（1）由集合中元素的互异性可知，
，且
，
.
解得
且
且
.
（2）因为
，所以
或
.
由于
，所以
，所以
.
方法感悟
（1）根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验.
（2）利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
答案：存在.
因为
，
，
所以分别存在
使得
，
所以
，
若
，则
，
，
所以要使
则
，
，
即当
为偶数时，存在
，
使
成立.
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