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第一章
集合与常用逻辑用语
1.3
集合的基本运算
第2课时
补集
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解全集的含义及其符号表示。
2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。
3.会用
图、数轴进行集合的运算。
1.数学抽象—能用补集的定义判断两个集合互补.
2.数学运算—会求一个集合的补集，会用补集思想求参数的值或取值范围。
自主学习·必备知识
要点一
全集
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的①
元素，那么就称这个集合为
，通常记作
.
要点二
补集
对于一个集合
，由全集
中不属于集合A的②
元素组成的集合称为集合
相对于全集
的补集，简称为集合
的补集，记作
，即
③
.
自主思考
1.全集一定是实数集
吗？
2.若
，能否得到
？
3.已知
，
，则
.
名师点睛
1.补集的性质
，
，
，
，
，
，
.
2.含有两个集合运算结果（阴影部分）的
图
3.补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素不超出全集的范围.
4.补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合
的补集的前提是
为全集
的子集，所选的全集不同，得到的补集也是不同的.
互动探究·关键能力
探究点一
补集的基本运算
精讲精练
例（1）若全集
，
，则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
（2）已知全集为
，集合
，
，
，则集合
.
迁移应用
1.设全集
，集合
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.设全集
，
，
，则
.
探究点二
交集、并集、补集的综合运算
精讲精练
例已知全集
，集合
，
，求
，
，
.
迁移应用
1.已知全集
，
，
，求
，
，
，
.
探究点三
与补集有关的参数的取值范围的求解
精讲精练
例设集合
，
，全集
，且
，求实数
的取值范围.
迁移应用
1.设全集
，集合
，
，且
，则实数
的取值范围是
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.设
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
3.设集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
4.若全集
，且
，则集合
的真子集共有
个.
素养演练
数据抽象——集合中元素的个数及相关运算
1.新定义：
表示有限集合
中元素的个数.
探究1：
，则
等于多少？
探究2：
、
均为有限集合，且
，能否推出
？
探究3：
、
均为有限集合，且
，能否推出
？
探究4：对于任意两个有限集合
，
，能否推出
成立？
迁移应用
1.已知高一（3）班共有学生40人，报名参加语文读书会的学生有24人，参加科学兴趣组的有15人，两个项目都没参加的有10人，那么两个项目都参加的有多少人？
课时评价作业
基础达标练
1.（2020北京第八中学高一月考）已知
，
，
，则下列运算中错误的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2021广东韶关高一期末）设
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020四川棠湖中学实验学校高一期中）设全集
，集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
4.（多选）（2020山东济宁邹城一中高一月考）如图所示，阴影部分表示的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
5.（2020贵州师范大学附属中学检测）设
，
是非空集合，定义
，已知
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
6.（2020山东济宁邹城一中高一月考）已知全集
，
，
，且
，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
7.已知集合
，集合
，若
，则实数
.
8.已知全集
，
，那么集合
，
.
9.（2020湖北黄冈黄梅国际育才高级中学检测）已知全集
，
的子集
，
，求实数
的值.
10.设全集
，集合
，
.求：
（1）
；
（2）记
，
，且
，求实数
的取值范围.
素养提升练
11.定义
，现有三个集合
，
，
分别用圆表示，则下列图中阴影部分可表示集合
的为(
)
A.B.C.D.
12.设全集
，
，
，则
与
的关系是
.
13.已知全集
中有
个元素，
中有
个元素.若
非空，则
中的元素个数为
.
14.已知集合
，若
，则实数
的取值范围是
.
创新拓展练
15.已知集合
，
.
（1）若
，求
的取值范围；
（2）是否存在实数
使
且
？
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第一章
集合与常用逻辑用语
1.3
集合的基本运算
第2课时
补集
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解全集的含义及其符号表示。
2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。
3.会用
图、数轴进行集合的运算。
1.数学抽象—能用补集的定义判断两个集合互补.
2.数学运算—会求一个集合的补集，会用补集思想求参数的值或取值范围。
自主学习·必备知识
要点一
全集
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的①
所有
元素，那么就称这个集合为全集，通常记作
.
要点二
补集
对于一个集合
，由全集
中不属于集合A的②
所有
元素组成的集合称为集合
相对于全集
的补集，简称为集合
的补集，记作
，即
③
.
自主思考
1.全集一定是实数集
吗？
答案：提示
不一定.全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集
，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集
.
2.若
，能否得到
？
答案：提示不确定.若
，则必有
，若
，则
.
3.已知
，
，则
.
答案：提示
.由
知
，
，
，集合
中的其他元素都属于集合A.
名师点睛
1.补集的性质
，
，
，
，
，
，
.
2.含有两个集合运算结果（阴影部分）的
图
3.补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素不超出全集的范围.
4.补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合
的补集的前提是
为全集
的子集，所选的全集不同，得到的补集也是不同的.
互动探究·关键能力
探究点一
补集的基本运算
精讲精练
例（1）若全集
，
，则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
（2）已知全集为
，集合
，
，
，则集合
.
答案：（1）
（2）
解析：（1）因为
，
，所以
，故选C.
（2）因为
，
，所以
.又
，所以
.
解题感悟
求集合补集的基本方法及处理技巧
（1）基本方法：定义法.
（2）两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴求解.
迁移应用
1.设全集
，集合
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题意知集合
，
则
，
故选B.
2.设全集
，
，
，则
.
答案：
解析：依题意
，
所以
.
探究点二
交集、并集、补集的综合运算
精讲精练
例已知全集
，集合
，
，求
，
，
.
答案：如图，
由图可得
如图，
由图可得
.
如图，
由图可得
，
所以
，
.
解题感悟
解决交集、并集、补集运算的技巧
（1）集合的交集、并集、补集运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，再按照从左到右的顺序进行计算.
（2）当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.
迁移应用
1.已知全集
，
，
，求
，
，
，
.
答案：因为
，
，
所以
.
因为
，
所以
.
因为
，
，
所以
，
.
探究点三
与补集有关的参数的取值范围的求解
精讲精练
例设集合
，
，全集
，且
，求实数
的取值范围.
答案：由
得，
.
把
，
表示在同一数轴上，
如图，
由数轴可得，
，
即
，
所以实数
的取值范围是
.
解题感悟
由集合的补集求解参数的问题
（1）如果所给集合是有限集，那么由补集求参数问题时，可利用补集的定义并结合相关知识求解.
（2）如果所给集合是无限集，那么在求解与交集、并集、补集运算有关的参数问题时，一般利用数轴求解.
迁移应用
1.设全集
，集合
，
，且
，则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：因为
，
，
所以
，由
可知，
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.设
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.已知集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.设集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
，所以
.又
，所以
.故选C.
4.若全集
，且
，则集合
的真子集共有
个.
答案：7
素养演练
数据抽象——集合中元素的个数及相关运算
1.新定义：
表示有限集合
中元素的个数.
探究1：
，则
等于多少？
探究2：
、
均为有限集合，且
，能否推出
？
探究3：
、
均为有限集合，且
，能否推出
？
探究4：对于任意两个有限集合
，
，能否推出
成立？
答案：探究1：
中有3个元素，所以
.
探究2：
，故
中没有元素，
.
探究3：
，故
中元素的个数与集合
中的元素一样多，所以
中的元素都是集合
中的元素，所以
.
探究4：如图，
的元素分布在三个区域中，
所以
.
迁移应用
1.已知高一（3）班共有学生40人，报名参加语文读书会的学生有24人，参加科学兴趣组的有15人，两个项目都没参加的有10人，那么两个项目都参加的有多少人？
答案：设两个项目都参加的有x人，利用
图计算：
由
，
解得
，故两个项目都参加的有9人.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020北京第八中学高一月考）已知
，
，
，则下列运算中错误的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2021广东韶关高一期末）设
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2020四川棠湖中学实验学校高一期中）设全集
，集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.（多选）（2020山东济宁邹城一中高一月考）如图所示，阴影部分表示的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
5.（2020贵州师范大学附属中学检测）设
，
是非空集合，定义
，已知
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
6.（2020山东济宁邹城一中高一月考）已知全集
，
，
，且
，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
7.已知集合
，集合
，若
，则实数
.
答案：5
8.已知全集
，
，那么集合
，
.
答案：
;
9.（2020湖北黄冈黄梅国际育才高级中学检测）已知全集
，
的子集
，
，求实数
的值.
答案：由已知，得
，且
，
因此
解得
.
当
时，
，
，
，满足题意.
因此实数
的值为2.
10.设全集
，集合
，
.求：
（1）
；
（2）记
，
，且
，求实数
的取值范围.
答案：（1）由题意知，
，
所以
.
（2）由（1）得
，由
得
.
当
时，有
，解得
；
当
时，有
无解.
综上，
的取值范围是
.
素养提升练
11.定义
，现有三个集合
，
，
分别用圆表示，则下列图中阴影部分可表示集合
的为(
)
A.B.C.D.
答案：
12.设全集
，
，
，则
与
的关系是
.
答案：
解析：全集
，
，
，则
，则
，则
.
13.已知全集
中有
个元素，
中有
个元素.若
非空，则
中的元素个数为
.
答案：
解析：因为
，所以
中的元素个数是
.
14.已知集合
，若
，则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：由
知
，即
，因此
，解得
.
创新拓展练
15.已知集合
，
.
（1）若
，求
的取值范围；
（2）是否存在实数
使
且
？
答案：（1）因为
，所以
.
因为
，所以
解得
.
所以
的取值范围是
.
（2）因为
，所以
或
，解得
或
.
由（1）知，若
，则
，
因为
，
所以不存在实数
使
且
.
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