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1.5
全称量词与存在量词
1.5.1
全称量词与存在量词
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解全称量词、全称量词命题的定义.
2.理解存在量词、存在量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.
1.数学抽象——能判断全称量词命题、存在量词命题.
2.数学运算——能借助全称量词命题、存在量词命题的真假求解相关问题.
自主学习·必备知识
要点一
全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做①
，并用符号“
”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
通常，将含有变量
的语句用
表示，变量
的取值范围用
表示.那么，全称量词命题“对
中任意一个
，
成立”可用符号简记为②
.
要点二
存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做③
，并用符号“
”表示含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在
中的元素
，
成立”可用符号简记为④
.
自主思考
1.短语“都是”“都不是”“不都是”中哪几个是全称量词?
2.“所有的正方形都是相似四边形”是全称量词命题吗?
3.短语“至多有一个”是存在量词吗?
4.“有些整数的平方不是正整数”是存在量词命题吗?试用符号语言表示.
名师点睛
1.常见的全称量词：“所有”“任意一个”“一切”“每一个”等.
2.常见的存在量词：“存在”“有的”“有一个”“有些”“对某些”等.
3.存在量词命题中不一定要含有存在量词.含有存在量词“存在”“有一个”的命题或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
4.有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.如“菱形的对角线互相垂直平分”应理解为“所有的菱形的对角线互相垂直平分”.
互动探究·关键能力
探究点一
全称量词命题与存在量词命题的判断
精讲精练
例
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
（1）自然数的平方大于或等于零;
（2）有的一次函数的图象经过原点;
（3）所有的二次函数的图象的开口都向上.
迁移应用
1.下列命题中全称量词命题的个数为(
)
①平行四边形的对角线互相平分;
②梯形有两条边平行;
③存在一个菱形它的四条边不相等.
A.0
B.1
C.2
D.3
精讲精练
例
判断下列命题的真假：
（1）任意两个面积相等的三角形一定相似;
（2）
为正实数使
（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对
都对应一点
;
（4）
.
迁移应用
1.判断下列命题的真假：
（1）
（2）对任意的
都有
（3）若整数
是偶数，则
是合数.
探究点三
由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围
精讲精练
例
已知集合
且
，若命题
：“
”是真命题则实数
的取值集合是
.
迁移应用
1.若命题“
，使
”是真命题,则实数
的取值范围是
.
2.（2021山东泰安高一期末）已知命题
：
，若
为假命题,则实数
的取值范围是
.
评价检测·素养提升
1.下列命题是“
”的另一种表述方式的是(
)
A.有一个
，使得
B.有无数个
，使得
C.任选一个
，都有
D.不存在
，使得
2.（多选）下列命题中为存在量词命题的是(
)
A.所有的整数都是有理数
B.三角形至少有两个锐角
C.有些三角形是等腰三角形
D.正方形都是菱形
3.下列命题中为全称量词命题的是(
)
A.有些实数没有倒数
B.矩形都有外接圆
C.存在一个实数与它的相反数的和为0
D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
4.命题
：“
”是
（填“全称量词命题”或“存在量词命题”）,它是
命题（填“真”或“假”）.
5.若命题“
”为真命题,求实数
的取值范围.
课时评价作业
基础达标练
1.下列命题中,不是全称量词命题的是(
)
A.任何一个实数乘0都等于0
B.任意一个负数都比零小
C.每一个正方形都是矩形
D.一定存在没有最大值的二次函数
2.（2020辽宁大连市一○三中学高一月考）下列四个命题中的真命题为(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020山东济宁鱼台第一中学高一月考）下列命题是存在量词命题的是(
)
A.整数
是2和5的倍数
B.存在整数
，使
能被11整除
C.若
，则
D.
4.（2020山东北镇中学高一月考）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(
)
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数
使
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数
，使
5.给出下列三个命题:①
;②矩形都不是梯形;③
.其中全称量词命题是
（填序号）.
6.（2020湖北恩施高一检测）对任意
恒成立,则实数
的取值范围是
.
7.能够说明“存在两个不相等的正数
，使得
”是真命题的一组有序数对
为
.
8.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.
（1）
是奇数;
（2）存在一个
,使得
;
（3）对任意实数
;
（4）有一个实数
使得
.
9.已知命题
是真命题,求实数
的取值范围.
素养提升练
10.（多选）（2020辽宁盘锦第二高级中学高一检测）下列命题错误的是(
)
A.
B.存在一个最大的内角等于
的三角形
C.若一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形
D.每一个素数都是奇数
11.已知
,命题“
”是真命题的一个充分不必要条件是(
)
A.
B.
C.
D.
12.（2020北京八一中学高一月考）给出下列命题：①
,使
;②
,使
;③
④
.其中正确的命题的序号是
.
13.（2020山东莘县实验中学高一检测）若存在
,使
,则实数
的取值范围是
.
14.若
,函数
的图象和
轴恒有公共点,求实数
的取值范围．
创新拓展练
15.已知函数
若
使得
求实数
的取值范围.
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1.5
全称量词与存在量词
1.5.1
全称量词与存在量词
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解全称量词、全称量词命题的定义.
2.理解存在量词、存在量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.
1.数学抽象——能判断全称量词命题、存在量词命题.
2.数学运算——能借助全称量词命题、存在量词命题的真假求解相关问题.
自主学习·必备知识
要点一
全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做①
全称量词
，并用符号“
”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
通常，将含有变量
的语句用
表示，变量
的取值范围用
表示.那么，全称量词命题“对
中任意一个
，
成立”可用符号简记为②
.
要点二
存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做③
存在量词
，并用符号“
”表示含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在
中的元素
，
成立”可用符号简记为④
.
自主思考
1.短语“都是”“都不是”“不都是”中哪几个是全称量词?
答案：提示
“都是”“都不是”是全称量词.
2.“所有的正方形都是相似四边形”是全称量词命题吗?
答案：提示是全称量词命题.
3.短语“至多有一个”是存在量词吗?
答案：提示
不是.因为“至多有一个”包含了不存在的情形.
4.“有些整数的平方不是正整数”是存在量词命题吗?试用符号语言表示.
答案：提示
是存在量词命题.符合语言:
.
名师点睛
1.常见的全称量词：“所有”“任意一个”“一切”“每一个”等.
2.常见的存在量词：“存在”“有的”“有一个”“有些”“对某些”等.
3.存在量词命题中不一定要含有存在量词.含有存在量词“存在”“有一个”的命题或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
4.有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.如“菱形的对角线互相垂直平分”应理解为“所有的菱形的对角线互相垂直平分”.
互动探究·关键能力
探究点一
全称量词命题与存在量词命题的判断
精讲精练
例
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
（1）自然数的平方大于或等于零;
（2）有的一次函数的图象经过原点;
（3）所有的二次函数的图象的开口都向上.
答案：（1）全称量词命题.
（2）存在量词命题.
（3）全称量词命题.
解题感悟
全称量词命题与存在量词命题的判断
迁移应用
1.下列命题中全称量词命题的个数为(
)
①平行四边形的对角线互相平分;
②梯形有两条边平行;
③存在一个菱形它的四条边不相等.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：
解析：①②是全称量词命题，③是存在量词命题.
探究点二
全称量词命题与存在量词命题真假的判断
精讲精练
例
判断下列命题的真假：
（1）任意两个面积相等的三角形一定相似;
（2）
为正实数使
（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对
都对应一点
;
（4）
.
答案：（1）因为面积相等的三角形不一定相似，所以它是假命题.
（2）当
时，
，所以不存在
为正实数使
故是假命题.
（3）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，该命题是真命题.
（4）因为
，所以命题“
”是假命题.
解题感悟
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
（1）全称量词命题真假的判断：
要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合
中的每个元素
验证
成立;但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合
中的一个元素
，
不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）.
（2）存在量词命题真假的判断：
要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合
中，找到一个
，使
成立即可；反之，这一存在量词命题就是假命题.
迁移应用
1.判断下列命题的真假：
（1）
（2）对任意的
都有
（3）若整数
是偶数，则
是合数.
答案：（1）因为
且
所以“
”是真命题.
（2）因为
所以该命题是假命题.
（3）2是偶数，但2是质数，故该命题是假命题.
探究点三
由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围
精讲精练
例
已知集合
且
，若命题
：“
”是真命题则实数
的取值集合是
.
答案：
解析：因为命题
：“
”是真命题所以
又
，
所以
无解，
故实数m的取值集合是
.
解题感悟
解由含量词的命题的真假求参数的取值范围的问题时,一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系问题,再转化为关于参数的不等式组求参数的取值范围问题进行求解.
迁移应用
1.若命题“
，使
”是真命题,则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：
当
时,显然存在
，使
;
当
时,结合一次函数图象知,需满足
时,
，得
，故
.
综上所述,实数
的取值范围是
.
2.（2021山东泰安高一期末）已知命题
：
，若
为假命题,则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：由题意得
，
因为命题
为假命题,
所以只需
，解得
.
评价检测·素养提升
1.下列命题是“
”的另一种表述方式的是(
)
A.有一个
，使得
B.有无数个
，使得
C.任选一个
，都有
D.不存在
，使得
答案：
2.（多选）下列命题中为存在量词命题的是(
)
A.所有的整数都是有理数
B.三角形至少有两个锐角
C.有些三角形是等腰三角形
D.正方形都是菱形
答案：
;
3.下列命题中为全称量词命题的是(
)
A.有些实数没有倒数
B.矩形都有外接圆
C.存在一个实数与它的相反数的和为0
D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
答案：
4.命题
：“
”是
（填“全称量词命题”或“存在量词命题”）,它是
命题（填“真”或“假”）.
答案：存在量词命题;
假
5.若命题“
”为真命题,求实数
的取值范围.
答案：
命题
为真命题,
方程
存在实数根,则
，解得
.故实数a的取值范围是
.
课时评价作业
基础达标练
1.下列命题中,不是全称量词命题的是(
)
A.任何一个实数乘0都等于0
B.任意一个负数都比零小
C.每一个正方形都是矩形
D.一定存在没有最大值的二次函数
答案：
2.（2020辽宁大连市一○三中学高一月考）下列四个命题中的真命题为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2020山东济宁鱼台第一中学高一月考）下列命题是存在量词命题的是(
)
A.整数
是2和5的倍数
B.存在整数
，使
能被11整除
C.若
，则
D.
答案：
4.（2020山东北镇中学高一月考）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(
)
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数
使
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数
，使
答案：
解析：锐角三角形中的内角都是锐角,所以
为假命题;
易知
为存在量词命题,当
时
成立,所以
为真命题;
因为
，所以
为假命题;
对于任何一个负数
，都有
，所以
为假命题．
故选B.
5.给出下列三个命题:①
;②矩形都不是梯形;③
.其中全称量词命题是
（填序号）.
答案：
①②
6.（2020湖北恩施高一检测）对任意
恒成立,则实数
的取值范围是
.
答案：
7.能够说明“存在两个不相等的正数
，使得
”是真命题的一组有序数对
为
.
答案：
（答案不唯一）
8.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.
（1）
是奇数;
（2）存在一个
,使得
;
（3）对任意实数
;
（4）有一个实数
使得
.
答案：（1）是全称量词命题.因为
都是奇数,所以该命题是真命题.
（2）是存在量词命题.因为不存在
,使得
成立,所以该命题是假命题.
（3）是全称量词命题.因为
,所以
不都成立,因此,该命题是假命题.
（4）是存在量词命题.因为当
时,
成立,所以该命题是真命题.
9.已知命题
是真命题,求实数
的取值范围.
答案：
是真命题,
即
,
的取值范围是
.
素养提升练
10.（多选）（2020辽宁盘锦第二高级中学高一检测）下列命题错误的是(
)
A.
B.存在一个最大的内角等于
的三角形
C.若一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形
D.每一个素数都是奇数
答案：
;
;
解析：当
时,
,当
时,
,即
,不满足题意,故方程无解,所以A命题错误;
等边三角形的最大的内角等于
,所以B命题正确;
对角线相等的四边形可以是矩形、正方形、梯形,所以C命题错误;
2是素数,但不是奇数,所以D命题错误.
故选ACD.
11.已知
,命题“
”是真命题的一个充分不必要条件是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：该命题是真命题,等价于
.因为
在
上的最大值是4,所以
.因为
,故选C.
12.（2020北京八一中学高一月考）给出下列命题：①
,使
;②
,使
;③
④
.其中正确的命题的序号是
.
答案：
①④
解析：①
使
如当
时,
,所以命题①正确;
②
,则
,此时x为无理数,所以命题②不正确;
③当
时,
,所以命题③不正确;
④因为
,所以命题④正确.
所以正确的命题为①④.
13.（2020山东莘县实验中学高一检测）若存在
,使
,则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：当
时,显然存在
,使
;
当
时,需满足
,则
,解得
,故
.
综上所述,实数
的取值范围是
.
14.若
,函数
的图象和
轴恒有公共点,求实数
的取值范围．
答案：因为函数
的图象和
轴恒有公共点,
所以
恒成立,
即
恒成立．
设
则
可得
.
综上所述,实数
的取值范围是
．
创新拓展练
15.已知函数
若
使得
求实数
的取值范围.
解析：命题分析
本题考查全称量词命题与存在量词,考查逻辑推理的核心素养.
答题要领
将原问题转化为
的最小值大于等于
的最小值问题.
答案：详细解析因为
所以
又因为
使得
所以
的最小值大于等于
的最小值,
即
,
所以
.
方法感悟
根据含量词命题的真假求参数取值范围的方法：
（1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.
（2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围.
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