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人教版2021年九年级数学上册第21章《一元二次方程》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x2+y＝2 B．x2﹣+1＝0 C．x2﹣5x＝3 D．x﹣3y+1＝0
2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0的解为x＝1，则k值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
3．（3分）用配方法将方程x2﹣6x＝1转化为（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别为（　　）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝10 D．a＝﹣3，b＝10
4．（3分）方程x2﹣4x＝3的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根
5．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．方程x2＝x有一根为0
B．方程x2﹣1＝0的两根互为相反数
C．方程（x﹣1）2﹣1＝0的两根互为相反数
D．方程x2﹣x+2＝0无实数根
6．（3分）用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）已知有1人患了某新型肺炎，经过两轮传染后共有256人患病，设每轮传染中平均一人传染x人，则可以列方程（　　）
A．1+2x＝256 B．1+x2＝256 C．（1+x）2＝256 D．1+x＝256
8．（3分）若实数x满足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
9．（3分）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（　　）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
10．（3分）已知直角三角形的两条边长恰好是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则此直角三角形的面积是（　　）
A．2 B．1或 C．1 D．2或
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若关于x的方程xm﹣1+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m＝　 　．
12．（4分）一元二次方程3x2﹣6x﹣7＝0的二次项系数是 　 　，常数项是 　 　．
13．（4分）已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
14．（4分）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为　 　．
15．（4分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为　 　．
16．（4分）方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x12+x22＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（10分）解方程
（1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）2x（x﹣3）＝x﹣4．
18．（8分）已知关于x的方程 kx2+（k+3）x+3＝0（k≠0）．
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值．
19．（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．
20．（8分）回答下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2+|x﹣4|﹣8＝0．
21．（10分）某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则可销售80箱．现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%，设该水果售价为每箱x（x＞60）元．
（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为　 　箱；
（2）现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？
22．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
23．（12分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：把x＝1代入方程x2+2x﹣k＝0，得1+2﹣k＝0，
解得k＝3．
故选：C．
3．【解答】解：方程x2﹣6x＝1，
配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，
则a，b的值分别为﹣3，10．
故选：D．
4．【解答】解：由方程x2﹣4x＝3得到：x2﹣4x﹣3＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．【解答】解：A、x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，因式分解得：x（x﹣1）＝0，
解得x＝0或x＝1，所以有一根为0，此选项正确；
B、x2﹣1＝0，移项得：x2＝1，直接开方得：x＝1或x＝﹣1，所以此方程的两根互为相反数，此选项正确；
C、（x﹣1）2﹣1＝0，移项得：（x﹣1）2＝1，直接开方得：x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1，解得x＝2或x＝0，两根不互为相反数，此选项错误；
D、x2﹣x+2＝0，找出a＝1，b＝﹣1，c＝2，则△＝1﹣8＝﹣7＜0，所以此方程无实数根，此选项正确．
所以说法错误的选项是C．
故选：C．
6．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，
则x＝＝＝3±2，
故选：D．
7．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
而已知经过两轮传染后共有256人患了流感，则可得方程，
1+x+x（1+x）＝256，即（1+x）2＝256．
故选：C．
8．【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
9．【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴3a2﹣a﹣1＝0，
∴3a2﹣a＝1，
∴2021﹣6a2+2a＝2021﹣2（3a2﹣a）
＝2021﹣2×1
＝2019．
故选：D．
10．【解答】解：x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝1．
当直角三角形的两条直角边分别是2和1时，此直角三角形的面积为：×2×1＝1；
当直角三角形的斜边为2时，另一直角边为：＝．
∴此直角三角形的面积为：×1×＝．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【解答】解：∵关于x的方程xm﹣1+2x﹣3＝0是一元二次方程，
∴m﹣1＝2，
解得m＝3．
故答案为：3．
12．【解答】解：一元二次方程3x2﹣6x﹣7＝0的二次项系数是3，常数项是﹣7，
故答案为：3，﹣7．
13．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3k，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×3k＝4﹣12k＞0，
解得：k＜．
故答案为：k＜．
14．【解答】解：设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，
由题意得，x（x﹣1）＝110．
故答案是：x（x﹣1）＝110．
15．【解答】解：∵（x+1）*3＝0，
∴（x+1）2﹣32＝0，
∴（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
所以x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为x1＝2，x2＝﹣4．
16．【解答】解：∵方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝，x1?x2＝＝﹣，
∴x12+x22＝﹣2x1?x2＝﹣2×（﹣）＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，
a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
x＝＝＝1，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）整理，得：2x2﹣7x+4＝0，
a＝2，b＝﹣7，c＝4，
b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×4＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
18．【解答】（1）证明：∵k≠0，
△＝（k+3）2﹣4?k?3＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，
∴方程一定有两个实数根；
（2）解：∵x＝，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴正整数k＝1或3．
19．【解答】解：（1）根据题意得△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，
x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝28，
∴m2+5﹣2（m+1）+1＝28，
整理得m2﹣2m﹣24＝0，解得m1＝6，m2＝﹣4，
而m≥2，
∴m的值为6；
（2）∵x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，而等腰△ABC的一边长为7，
当7是腰时，x＝7必是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；
当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；
若x1＝x2，则m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则3+3＜7，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
综上所述，这个三角形的周长为17．
20．【解答】解：当x≥4时，原方程化为x2+x﹣12＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣4（不合题意，舍去）．
当x＜4时，原方程化为x2﹣x﹣4＝0，解得：x1＝，x2＝，
∴原方程的根是x＝或x＝．
21．【解答】解：（1）平均每天的销售量为80﹣2（x﹣60）＝（200﹣2x）（箱）．
故答案为：（200﹣2x）．
（2）依题意得：（x﹣50）（200﹣2x）＝1200，
整理得：x2﹣150x+5600＝0，
解得：x1＝70，x2＝80．
当x＝70时，利润率＝×100%＝40%＜50%，符合题意；
当x＝80时，利润率＝×100%＝60%＞50%，不合题意，舍去．
答：应按每箱70元销售．
22．【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
23．【解答】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有
（6﹣x）?2x＝8，
解得x1＝2，x2＝4，
经检验，x1，x2均符合题意．
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有
△ABC的面积＝×6×8＝24，
（6﹣y）?2y＝12，
y2﹣6y+12＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；
（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x≤4），
设经过m秒，依题意有
（6﹣m）（8﹣2m）＝1，
m2﹣10m+23＝0，
解得m1＝5+，m2＝5﹣，
经检验，m1＝5+不符合题意，舍去，
∴m＝5﹣；
②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x≤6），
设经过n秒，依题意有
（6﹣n）（2n﹣8）＝1，
n2﹣10n+25＝0，
解得n1＝n2＝5，
经检验，n＝5符合题意．
③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），
设经过k秒，依题意有
（k﹣6）（2k﹣8）＝1，
k2﹣10k+23＝0，
解得k1＝5+，k2＝5﹣，
经检验，k1＝5﹣不符合题意，舍去，
∴k＝5+；
综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．
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