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4.3.2对数函数y=log2x的图象和性质
北师大（2019）必修1
看看这一节我们要学什么
1.会画函数y=log2x的图象.
2.能应用函数y=log2x的图象和性质解决问题
环节一
复习
互为反函数的图像关系
从图像上看，对数函数y=log2x与指数函数y=2x有何关系?
对数函数y=log2x与指数函数y=2x互为反函数,其图象关于直线y=x对称;
环节二
图像画法
y=log2x 的图像
能不能利用对数函数y=log2x与指数函数y=2x图象关于直线y=x对称，画出y=log2x图像?


x
O
1
1
2
2
3
3
4
4
5
6
7
y=log2x
- 1
-1
-2
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
y=log2x 的图像
用描点法，怎样画出y=log2x图像?
作对数图像的三个步骤：
一、列表（根据给定的自变量分别计算出应变量的值）
二、描点（根据列表中的坐标分别在坐标系中标出其对应点）
三、连线（将所描的点用平滑的曲线连接起来）
y=log2x 的图像
用描点法，怎样画出y=log2x图像?
列表
X
1/4
1/2
1
2
4
…
y=log2x
-2
-1
0
1
2
…
描点
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
连线
环节三
归纳
函数y=log2x的图象和性质
图象
图象特征
性质
过点(1,0)
x=1时,y=0
函数图象都在y轴右边
零和负数没有对数
当x>1时,图象位于x轴上方;当0当x>1时,y>0;
当0图象是上升的
y=log2x在定义域(0,+∞)上是增函数
渐近线
随堂演练
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=log2x的图象都在y轴的左侧. (　　)
(2)函数y= - log2x 在定义域(0，+∞)上是增函数. (　　)
(3)函数y=log2x的图象在直线x=1右侧,图象位于x轴上方;在直线x=1左侧,
图象位于x轴下方. (　　)
(1)×.函数y=log2x的图象都在y轴的右侧.
(2)×.函数y= - log2x 在定义域(0，+∞)上是减函数.
(3) √.由函数y=log2x的图象可知正确.
随堂演练
？
？
？
？
随堂演练
3. 设集A={x|y=log2x},B={y|y=log2x},则下列关系正确的是(　　)
A.A∪B=A B.A∩B=? C.A∈B D.A?B
解析:由题意知A={x|x>0},B=R,故A?B.
答案:D
y=log2x图像应用
y=log2x图像应用
解:将方程整理得2x=3-x,log2x=3-x.
画出函数y=2x,y=log2x,y=3-x的图象,如图所示.
例2.设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.
由图可知,a是指数函数y=2x的图象与直线y=3-x的交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图象与直线y=3-x的交点B的横坐标,
由于函数y=log2x与y=2x互为反函数,
它们的图象关于直线y=x对称,
因此,A,B两点也关于直线y=x对称.
于是点A为(a,b),点B为(b,a).
由于点A,点B都在直线y=-x+3上,
故有b=-a+3或a=-b+3,即a+b=3.
y=log2x图像应用
例3.已知f(x)＝log2x.
(1)作出这个函数的图像；
(2)若f(a)[解]　(1)作出函数y＝log3x的图像如图所示．
(2)由图像知：当0∴所求a的取值范围为(0,2)．
环节四
y=log2x图像拓展
f(x)=log2(x+1)的图像
函数f(x)=log2(x+1)与y=log2x的图像有什么关系？
y=log2x的图像向左平移1个单位得到f(x)=log2(x+1)的图像
x
0
y
1
y=log2x
f(x)=log2(x+1)
跟指数函数图像一样，有渐近线，平移前后要画出来。
x
0
y
1
y=log2x
x
0
y
1
性质
x=1时,y=0
零和负数没有对数
当x>1时,y<0;
当00
y=log2x在定义域(0,+∞)上是减函数
随堂演练
函数y=log2（1-x)的图象大致为(　　)
A　 　B　　　 C　　　　D
y=log2x的图像关于y轴对称得到y=log2（-x)图像，再向右（易错点）平移1个单位。选C.也可用排除法。
y=log2x与求函数y＝log2|x|图像关系
例4.求函数y＝log2|x|的定义域，并画出它的图像．
这叫【分段函数法】
还可以【右翻左】
y=log2x与求函数y＝ |log2x|图像关系
例5.画出函数y＝|log2x|的图像，并写出它的单调区间．
这叫【分段函数法】
还可以【下翻上】
增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1)．
y=log2x含绝对值后图像综合变换
例6.画出函数y=|log2(x+1)|+2的图象,并说明其单调性.
图像分析
解:第一步:画出函数y=log2x的图象,如图(1)所示.
第二步:将函数y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得函数y=log2(x+1)的图象,如图(2)所示.
y=log2x含绝对值后图像综合变换
例6.画出函数y=|log2(x+1)|+2的图象,并说明其单调性.
图像分析
第三步:将函数y=log2(x+1)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴的上方,得函数y=|log2(x+1)|的图象,如图(3)所示.
第四步:将函数y=|log2(x+1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度,得函数y=|log2(x+1)|+2的图象,如图(4)所示.
由图可知,函数y=|log2(x+1)|+2在区间(-1,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.
随堂演练
当m为何值时,关于x的方程|log2(x-1)|=m无解?有一个解?有两个解?．
由图象得:当m<0时,方程无解;
当m=0时,方程有一个解;
当m>0时,方程有两个解.
y=log2x含绝对值后图像综合变换
例7.画y=log2|x-1|图并写出单调区间
图像分析
法一：去绝对值化为分段函数。这里不详介绍；
法二：第一步：由y=log2x 图像变换成y=log2|x|（参考例4） ；第二步，向右平移1个单位.
x
0
y
X=1
2
画图经验
1.一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b均为正数)的图象可由函数y=f(x)的图象变换得到.将y=f(x)的图象向左平移a个单位长度得到函数y=f(x+a)的图象,再向上平移b个单位长度得到函数y=f(x+a)+b的图象(记忆口诀:左加右减,上加下减).
2.含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换.一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象是将y=f(x)在x轴及上方的图象保留不变,将x轴下方的图象关于x轴对称得到.
画图经验
4.图像的变换可能引发渐近线的变化，要关注。
5.利用图像可以研究函数性质、解不等式、解决方程问题。
环节五
小结
课堂小结
1．核心要点
1.函数y=log2x的图象和性质
2.图像拓展
2．数学素养
感悟数学抽象的过程,体会数学直观在解决数学问题中的应用

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