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人教版2021年九年级上册第22章《二次函数》全章综合测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式中表示二次函数的是（　　）
A．y＝x2+ B．y＝2﹣x2 C．y＝ D．y＝（x﹣1）2﹣x2
2．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）
3．二次函数y＝﹣x2﹣8x+c的最大值为0，则c的值等于（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣16 D．16
4．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3
5．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
6．如图，是一次函数y＝kx+b的图象，则二次函数y＝2kx2﹣bx+1的图象大致为（　　）
A．B．C．D．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，﹣1），（2，﹣4），（0，4）三点，那么它的对称轴是直线（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3
8．在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（　　）
A．B．C．D．
9．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．抛物线y＝（x+2）2﹣5的开口方向　 　，对称轴　 　，顶点坐标　 　．
12．抛物线y＝x2+2x+（m2﹣4）的图象经过原点，则m＝　 　．
13．二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴有且只有一个交点，c＝　 　．
14．抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是　 　．
15．已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝　 　．
16．如图，一边靠墙，其它三边用12米的篱笆围成一个矩形（ABCD）花圃，则这个花圃的面积S（平方米）与AB的长x（米）之间的函数关系式为　 　．
17．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为，则点B的坐标为　 　．
三．解答题（共5小题，满分42分）
18．（7分）已知二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2：
（1）求证：不论m为任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）当二次函数的图象经过点（3，6）时，确定m的值，并写出此二次函数与坐标轴的交点坐标．．
19．（8分）画出函数y＝﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：
（1）方程﹣2x2+8x﹣6＝0的解是什么；
（2）当x取何值时，y＞0；
（3）当x取何值时，y＜0．
20．（8分）为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
21．（9分）如图，抛物线y＝x2+x﹣与x轴相交于A，B两点，顶点为P．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、y＝x2+，含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；
B、y＝2﹣x2，是二次函数，故此选项正确；
C、y＝含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；
D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误．
故选：B．
2．解：∵抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣3）2+5，
∴抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故选：C．
3．解：y＝﹣x2﹣8x+c＝﹣（x﹣4）2+16+c，
∵最大值为0，
∴16+c＝0，
解得c＝﹣16．
故选：C．
4．解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），
∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），
∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．
故选：C．
5．解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；
当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，
当22﹣4（k﹣3）≥0，
k≤4
即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．
综上k的取值范围是k≤4．
故选：D．
6．解：由一次函数y＝kx+b的图象可得，
k＞0，b＞0，
∴二次函数y＝2kx2﹣bx+1的图象开口向上，对称轴为x＝＞0，
故选：B．
7．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
把（1，﹣1），（2，﹣4），（0，4）分别代入解析式得，
a?12+b+c＝﹣1①，
a?22+2b+c＝﹣4②，
c＝4③，
解由①②③组成的方程组得，a＝1，b＝﹣6，c＝4，
则二次函数的解析式为：y＝x2﹣6x+4，
所以它的对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝3．
故选：D．
8．解：当x＝1时，y1、y2、y3的图象上的对应点分别是（1，2），（1，﹣2），（1，），
可知，其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除B、C；
在第一象限内，y1的对应点（1，2）在上，y3的对应点（1，）在下，排除A．
故选：D．
9．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：A．
10．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
而c＜0，
∴a+b+2c＜0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，所以④错误．
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．解：由y＝（x+2）2﹣5可知，二次项系数为＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
顶点坐标为（﹣2，﹣5）．
故本题答案为：向上，x＝﹣2，（﹣2，﹣5）．
12．解：经过原点，说明（0，0）适合这个解析式．那么m2﹣4＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝2．
故答案为﹣2或2．
13．解：∵二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△＝（﹣3）2﹣4c＝0，
∴c＝．
故答案为．
14．解：在二次函数y＝2（x﹣1）2+c，对称轴x＝1，
在图象上的三点（﹣2，y1），（0，y2），（，y3），
|﹣2﹣1|＞|﹣1|＞|0﹣1|，
∴y1＞y3＞y2，
故答案为：y1＞y3＞y2．
15．解：∵抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，
∴抛物线y＝ax2+x+c经过（﹣1，0），
∴a﹣1+c＝0，
∴a+c＝1，
故答案为1．
16．解：∵AB＝CD＝x，AB+BC+CD＝12，
∴BC＝12﹣2x，
则S＝（12﹣2x）×x＝﹣2x2+12x．
故答案为：S＝﹣2x2+12x．
17．解：∵AB与x轴平行，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴点A与点B关于直线x＝1对称，
而点A的坐标为，
∴B点坐标为（2，）．
故答案为（2，）．
三．解答题（共5小题，满分42分）
18．（1）证明：△＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．
（2）解：∵二次函数的图象经过点（3，6），
∴6＝9﹣3m+m﹣2，
∴m＝，
∴y＝x2﹣x﹣．
当x＝0时，y＝﹣，即该函数图象与y轴交于点（0，﹣）．
当y＝0时，x2﹣x﹣＝2（x+1）（2x﹣3）＝0，
解得 x1＝﹣1，x2＝．
则该函数图象与x轴的交点坐标是：（﹣1，0）、（，0）．
综上所述，m的值是，该函数图象与y轴交于点（0，﹣），与x轴的交点坐标是：（﹣1，0）、（，0）．
19．解：函数y＝﹣2x2+8x﹣6的图象如图．由图象可知：
（1）方程﹣2x2+8x﹣6＝0的解x1＝1，x2＝3．
（2）当1＜x＜3时，y＞0．
（3）当x＜1或x＞3时，y＜0．
20．解：（1）由题意得销售量y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45≤x＜80）；
（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）
＝﹣20x2+2400x﹣64000
＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a＝﹣20＜0，
∴当x＝60时，P最大值＝8000元
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．
21．解：
（1）令y＝0，则x2+x﹣＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）存在．理由如下：
∵y＝x2+x﹣＝﹣（x+1）2﹣2，
∴P（﹣1，﹣2），
∵△ABP的面积等于△ABE的面积，
∴点E到AB的距离等于2，
当点E在x轴下方时，则E与P重合，此时E（﹣1，﹣2）；
当点E在x轴上方时，则可设E（a，2），
∴a2+a﹣＝2，解得a＝﹣1﹣2或a＝﹣1+2，
∴存在符合条件的点E，其坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）或（﹣1，﹣2）．
22．解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
，
解得．
故抛物线为y＝﹣x2+2x+3；
又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），
得，
解得，
故直线AC为y＝x+1；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴B（1，2），
∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）．
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3＝﹣x2+2x+3，
解得，x＝0或x＝1（舍去），
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），
∵F在抛物线上，
∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝或x＝，
∴E（，）或（，），
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）或（，）或（，）；
（3）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）
∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）
＝﹣x2+x+2
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ
＝PQ?AG
＝（﹣x2+x+2）×3
＝﹣（x﹣）2+，
∴面积的最大值为；
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）
又∵S△APC＝S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC
＝（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3
＝﹣x2+x+3
＝﹣（x﹣）2+，
∴△APC的面积的最大值为．

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