资源简介

(共25张PPT)
4.2
指数函数
第四章
学习目标
1.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
2.能用描点法借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.
核心素养：数学抽象、数学建模、直观想象
新知学习
什么是指数函数？
【指数增长】随着中国经济的高速增长，旅游人数不断增加，A、B两个景区自
2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格，B地则取消了门票.下表给了A、B两个景区2001~2015年的游客人次及逐年增加量.
比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？
A地区经营地比较平衡，B地区发展比较快.
什么是指数函数？
为了便于观察，我们把表格中的数据画成图像：
观察图像和表格，可以发现：A景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万人次)；B景区的游客人次是非线性增长，年增加量越来越大，难从图像和年增加量都难看出变化规律.
什么是指数函数？
【探究】我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.那么能否通过
对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？
增加量=变后量-变前量
【尝试】从2002年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
2002年游客人次
2001年游客人次
=
?
2003年游客人次
2002年游客人次
=
?
2015年游客人次
2014年游客人次
=
?
增长率=
增加量
变前量
【结论】结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数.
什么是指数函数？
【总结】像这样，增长率为常数的变化方式，称为指数增长.因此，B景区的游客人数近似于指数
增长.即从2011年起，每一年的游客人次都是上一年的1.1倍左右，增长量越来越多.
t年后，B景区游客人次是2011年的1.11t倍.即t年后B景区的游客人次:
?
容易看出这是一个函数，其中指数t是自变量.
【指数衰减】南极冬季的冰架面积大约为1880万平方千米，假设冰川每年融化0.1%，
那么n年后南极的冰川的剩余量W为：
?
什么是指数函数？
【定义】如果用字母
代替上述两个问题中的底数1.11和0.999，那么函数
?
一般地，函数
叫做指数函数.
其中
是自变量，定义域是R.
?
?
和
就都可以表示为
的形式，
?
其中，
是自变量，底数
是一个大于0且不等于1的常量.
?
?
?
?
?
?
所以它是指数函数.
指数函数的结构特征.
【1】
解析式中
的系数为1
【2】
底数
是常数，满足
【3】
自变量
是指数，且
?
?
?
?
?
因此，指数函数的定义只是一个形式定义.判断一个函数是不是指数函数关键是看这个函数的解析式变形整理之后是不是具备以上三个特征.
例如，
等都是指数函数，这是因为
?
?
?
其中，
称为指数型函数，
?
?
称为正整数指数函数.
指数函数的结构特征.
【问题】
指数函数
中为什么规定
？
【答】
①若
，则当
时，
；当
时，
无意义.
?
?
?
?
?
?
?
②若
，则对于
的某些数值，可以
无意义.如
，这
时对于
等情况在实数范围内函数值不存在.
?
?
?
?
?
②若
，则对于任意
，
，是一个常量，没有研究
的必要.为了避免上述情况的发生，所以规定
，这样
规定之后，对于任意的实数
，
都有意义且
.
?
?
?
?
?
?
?
指数函数的图像和性质
【二】指数函数的性质：在同一坐标系中作出底数不同的指数函数图像.
?
?
?
-3
-2
-1
1
2
3
1
一般地，指数函数的图像和性质如下表所示：
?
?
（1）过定点（0，1）
(2)减函数
(3)增函数
?
?
?
?
?
?
指数函数的图像和性质
【1】指数函数既不是奇函数也不是偶函数
【2】指数函数在y轴右侧的图像，底数越大
图像越高.（底大图高）
?
?
?
-3
-2
-1
1
2
3
1
?
?
?
?
?
?
【3】①当
?
②当
?
③当
?
④当
?
【4】指数函数图像下端与
轴无限接近，
但永不相交.
【5】指数函数都是下凸的函数.
?
指数函数的应用
【例题】比较下列各题中两个值的大小.
?
【解】（1）函数
是增函数，且2.5＜3，则1.72.5＜1.73
?
（2）函数
是减函数，且
，则
?
?
（3）
?
?
【1】求下列函数的定义域和值域.
【解】(1)
(2)
?
?
?
?
?
?
?
?
即时巩固
【2】不论
为何值，函数
的图像一定经过点P，
则点P的坐标是多少？
【解】(方法一)当
?
?
?
?
所以函数经过定点（2，2）
(方法二)因为指数函数
经过定点(0,1),
所以当
，此时
?
?
?
?
所以函数经过定点（2，2）
即时巩固
【3】求出函数
的单调区间.
【解】设
?
?
易知
在
上是增函数，在
上是减函数
?
?
?
当
时，
在R上单调递增，
所以
在
上是增函数，在
上是减函数
?
?
?
?
?
即时巩固
随堂小测
1.下列各函数中，是指数函数的是
√
2.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是
解析　f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，
又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有A.
3.函数
的单调递增区间为
A.(－∞，0]
B.[0，＋∞)
C.(－1，＋∞)
D.(－∞，－1)
∴f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0].
4.设0＜a＜1，则关于x的不等式
的解集为_________.
(1，＋∞)
解析　∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，
又∵
，
∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.
解得－3(－3,0]
解析　f(x)的定义域为R.
f(－x)＝2－x＋2－(－x)＝2x＋2－x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.
6.f(x)＝2x＋2－x的奇偶性是________.
偶函数
课堂小结
1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.
3.由于指数函数
y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.
4.求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域.
5.比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
6.解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解.如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解.
7.(1)研究
y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同.
当0(2)研究
y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.
谢
谢！第四章
指数函数与对数函数
4.2
指数函数
4.2.1
指数函数的概念
课标解读
课标要求
素养要求
1.通过具体实例了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
1.数学抽象——通过实例了解指数函数的概念.
2.数学建模——能从实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用.
自主学习·必备知识
要点一
指数函数的概念
一般地，函数
，且
叫做①
指数函数
，其中②
指数
是自变量，定义域是③
.
要点二
指数型函数模型
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为
，每次的增长率为
，经过
次增长，该量增长
，则
④
.形如
，且
，且
的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的模型
自主思考
1.某口罩厂2020年1月份平均日产量为20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个.则口罩厂日产量的月平均增长率是
.
答案：
解析：提示设口罩厂日产量的月平均增长率是x，依题意得
，解得
，
（不符合题意，舍去），则口罩厂日产量的月平均增长率是
.
名师点睛
规定
，且
的理由
（1）如果
，那么当
时，
恒等于0；当
时，
无意义.
（2）如果
如
，那么对于
其函数值不存在.
（3）如果
，那么
是一个常量，无研究价值.
为了避免上述各种情况的发生，所以规定
且
.
互动探究·关键能力
探究点一
指数函数的概念
精讲精练
例（1）下列各函数中，是指数函数的为(
)
A.
B.
C.
D.
（2）若函数
（
是自变量）是指数函数，则
的取值范围是(
)
A.
B.[
C.
D.
答案：（1）
（2）
解析：（1）A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；
中，自变量出现在指数上，但-4＜0，不满足“底数大于0且不等于1”的条件，故不是指数函数；
中，指数是
，故不是指数函数；
中，
，符合指数函数的定义，故是指数函数．故选D.
（2）依题意得
，且
，解得
且
，故选C.
解题感悟
指数函数的解析式必须具有三个特征：
（1）底数
为大于0且不等于1的常数；
（2）指数位置是自变量
，且指数位置上只有x这一项；
（3）指数式只有一项，且
的系数是1.
迁移应用
1.下列是指数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.若函数
是指数函数，求
的值.
答案：由指数函数的概念知，
解得
.
探究点二
求指数函数的解析式或函数值
精讲精练
例
（2020湖南临澧第一中学高一期中）指数函数
的图象过点(-2，4），则
.
答案：
解析：
设
且
，因为
的图象过点(-2,4)，所以
解得
即
所以
.
解题感悟
求指数函数的解析式或函数值的关键是求底数
，并注意
的限制条件，主要采用待定系数法求底数a.
迁移应用
1.如果指数函数
的图象经过点
，那么
(
)
A.8B.16C.32D.64
答案：
解析：设
且
，结合题意可得
，解得
，故函数的解析式为
，所以
，故选D.
探究点三
指数型函数模型的应用
精讲精练
例
某地区2012年年底的人口数量为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为
，要使2023年年底该地区的人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少
万平方米（精确到1万平方米，参考数据：
）.
答案：
83
解析：
设平均每年新增住房面积
万平方米，
则
，
解得
，
即平均每年新增住房面积至少83万平方米.
解题感悟
在解决指数型函数模型的应用问题的过程中，大多需要根据条件列出方程，进而求解.
迁移应用
1.某城市房价（均价）经过6年时间从1200元
增加到了4800元
，则这6年间平均每年的增长率是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：设这6年间平均每年的增长率为
，则
，解得
.
2.已知某种产品的生产成本每年降低
.若该产品2015年年底的生产成本为6400元/件，则2018年年底的生产成本为
元/件.
答案：
2700
解析：
由题意得，2018年年底的生产成本为
（元/件）.
评价检测·素养提升
1.下列函数中一定是指数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.若指数函数
的图象过点(3,8)，则
的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.若函数
是指数函数，则
的值为
.
答案：
解析：
函数
是指数函数，
解得
.
4.某钢厂的年产量由2010年的40万吨增加到2020年的50万吨，若按照这样的年增长率计算，则该钢厂2030年的年产量约为
万吨（结果保留整数）.
答案：63
解析：设年增长率为x，根据题意得
，解得
.
若按照这样的年增长率计算，则该钢厂2030年的年产量约为
（万吨）.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）下列函数中不是指数函数的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
2.（2020湖南邵阳高一期中）下列函数中，不能化为指数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.某产品的成本价为
，由于不断改进技术，成本价平均每年降低
，则经过
年后该产品的成本价为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.（2021北京石景山高一期末）已知函数
是指数函数，如果
，那么
（选填“＞”“=”或“＜”）.
答案：
＞
解析：因为函数
是指数函数，
所以设
且
则由
得
解得
或
（舍去），
所以
由此可得
.
5.已知指数函数
的图象经过点(2,4)，求
的值.
答案：
设
且
函数
的图象过点
.
又
且
，
.
6.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为
（
为浓度单位，
表示百万分之一），再过4分钟测得浓度为
.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度
与排气时间
（分钟）之间满足函数关系
（
为常数），求
的值.
答案：
由题意得
解得
故c,m的值分别为
.
素养提升练
7.（多选）已知指数函数
满足
，则下列结论中正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：设指数函数
且
，由题意得，
所以
所以
，故A中结论正确，B中结论错误;
因为
所以C中结论正确;
因为
，所以D中结论正确.故选ACD.
8.已知函数
.若
，则实数
的值等于
.
答案：
-3
解析：由已知得，
.因为
，所以
.当
时，
，所以
不成立，舍去.当
时，
，所以
.
9.某种细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则这种细胞由1个分裂成4096个需经过
小时.
答案：
3
解析：
个细胞分裂一次时变为
个细胞，分裂2次时变为
个细胞，分裂3次时变为
个细胞……
当分裂
次时变为
个细胞，故可得出
细胞15分钟分裂一次，
细胞分裂12次所需的时间为12×15=180分钟=3小时．故这种细胞由1个分裂成4096个需经过3小时．
10.某林区2018年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到
.若经过
年后，该林区的木材蓄积量为
万立方米，求
的表达式，并求此函数的定义域.
答案：
现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为
万立方米，
经过2年后木材蓄积量为
万立方米，
经过
年后木材蓄积量为
万立方米，
.
创新拓展练
11.截止到2018年年底，我国某市人口数量约为130万.若今后能将人口数量的年平均增长率控制在3，经过
年后，此市人口数量为
（单位：万）.
（1）求
与
的函数关系式
，并写出定义域;
（2）若按此增长率，则2029年年底的人口数量约是多少？
（3）哪一年年底的人口数量将达到135万？
（参考数据：
）
答案：（1）2018年年底的人口数量约为130万；
经过1年，即2019年年底的人口数量约为
万；
经过2年，即2020年年底的人口数量约为
万，
经过3年，即2021年年底的人口数量约为
万；
……
所以经过
年后的人口数量约为
万，
即
.
（2）2029年年底的人口数量约为
万.
（3）由（2）可知，2029年年底的人口数量约为134.3万，134.3＜135，
2030年年底的人口数量约为
万，134.8＜135，
2031年年底的人口数量约为
万，135.2＞135，
所以2031年年底的人口数量将达到135万.
4.2.2
指数函数的图象和性质
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
2.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式.
逻辑推理——能根据指数函数的图象说明指数函数的性质，并解决实际问题.
第1课时
指数函数的图象和性质
自主学习·必备知识
底数
互为倒数
的两个指数函数的图象关于①
轴
对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.
一般地，指数函数的图象和性质如表所示.
图像
定义域
值域
②
性质
过定点③
(0,1)
，即
④
0
时，
⑤
1
减函数
增函数
自主思考
1.若
且
，则函数
与
的图象具有什么关系?
答案：提示两函数的图象关于
轴对称.
2.“指数函数的图象一定在x轴的上方"这种说法正确吗?
答案：提示正确.
名师点睛
1.底数
与1的大小关系决定了指数函数图象“升”与“降”.当
时，指数函数的图象是“上升”的，当
时，指数函数的图象是“下降”的.
2.函数
且
的图象的变化趋势：当
时，底数越大，图象越靠近
轴；当
时，底数越小，图象越靠近
轴.
3.指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象不经过第三、四象限.
4.解简单指数不等式问题的注意点
（1）形如
的不等式，可借助
的单调性求解．如果
的值不确定，那么需分
和
两种情况进行讨论．
（2）形如
的不等式，可以将
化为以
为底的指数幂的形式，再借助
的单调性求解．
（3）形如
的不等式，可借助图象求解．
5.（1）研究
型函数的单调区间时，要注意
还是
.
当
时，
与
的单调性相同.
当
时，
与
的单调性相反.
（2）研究
型函数的单调区间时，要注意
属于
的增区间还是减区间.
互动探究·关键能力
探究点一
指数函数的图象
精讲精练
例
（1）函数
且
的图象可能是(
)
A.B.
C.D.
（2）已知
，则指数函数①
，②
的图象为(
)
A.B.
C.D.
答案：（1）
（2）
解析：
（1）当
时，
，故函数
的图象过定点(1,0)，结合图象可知选C.
（2）因为
，所以
与
都是减函数，故排除A、B.作直线
与两个曲线相交，交点在下面的是函数
的图象，故选C.
解题感悟
1.底数对函数
，且
图象的影响如图所示（
）.在第一象限中具有“底大图高”的特征.
⒉指数函数的图象的变换
（1）平移规律:设
，
①
的图象
的图象；
②
的图象
的图象；
③
的图象
的图象；
④
的图象
的图象；
（2）对称规律
，且
的图象
与
的图象关于
轴对称
与
的图象关于
轴对称
与
的图象关于坐标原点对称
迁移应用
1.指数函数①
的图象如图所示，则
，
，
，
与1的大小关系为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
探究点二
指数函数的定义域和值域
精讲精练
例
求下列函数的定义域和值域：
（1）
（2）
.
答案：（1）由题意得，
，
，
函数的定义域为
.
函数的值域为.
（2）由题意得，函数的定义域为
.
函数的值域为
.
解题感悟
求函数
的定义域、值域的方法
（1）定义域：形如
形式的函数的定义域是使
有意义的
取值的集合．
（2）值域：①换元，令
;
②求
的定义域
;
③求
的值域
;
④利用
的单调性求
，
的值域．
提醒：（1）通过建立不等式组求定义域时，要注意解集为各不等式解集的交集.（2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.
迁移应用
1.求下列函数的定义域和值域：
（1）
（2）
.
答案：（1）要使函数有意义，则
即
因为函数
在
上是增函数，所以
.故函数
的定义域为
.
因为
所以
所以
，
即函数
的值域为
.
（2）由题意得，函数的定义域为
.
又
函数的值域为
探究点三
定点问题
精讲精练
例
函数
且
的图象恒过定点
且点
在幂函数
的图象上，则
.
答案：
27
解析：当
时，
，
函数
的图象恒过定点
.
又点
在幂函数
的图象上，
解得
.
解题感悟
指数函数
（
＞0，且
）的图象恒过定点(0,1)，即令指数等于0，求得的点
即为其图象恒过的定点.
迁移应用
1.已知函数
且
的图象恒过定点
，则定点
的坐标是
.
答案：(1,5)
解析：令
，故函数
的图象恒过定点
.即点
的坐标为(1,5).
评价检测·素养提升
1.若函数
的定义域是
，则
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2021天津和平一中高一期末）函数
与
且
的大致图象在同一平面直角坐标系中可能为(
)
A.B.
C.D.
答案：
3.函数
且
的图象过定点
.
答案：(0,-2)
4.函数
的图象一定过第
象限.
答案：
三、四
解析：
的图象与
的图象关于
轴对称，则一定过第三、四象限.
5.求下列函数的定义域和值域：
（1）
（2）
.
答案：
（1）由
得
，所以函数的定义域为
.
由
得
，
所以函数的值域为
.
（2）由
得
，所以函数的定义域为
.
由
，得
，
所以函数的值域为
.
素养演练
数学运算——利用换元法求函数的值域
1.求函数
的值域.
答案：令
则原函数可化为
因为函数
在
上是增函数，
所以
，即原函数的值域是
.
素养探究：求形如
且
的函数的值域一般用换元法，令
，将原问题转化为二次函数求值域的问题.换元时要注意新元的取值范围，过程中体现了数学运算的核心素养.
迁移应用
1.求函数
的值域.
答案：
令
则原函数可化为
因为函数
在
上是增函数，所以
，
故原函数的值域为
.
课时评价作业
基础达标练
1.函数
的图象是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2020四川成都实验外国语学校高一期中）当
时，函数
的值域是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（多选）在同一平面直角坐标系中，函数
与
且
的图象可能是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
4.（2021浙江嘉兴高一期末）函数
且
的图象恒过定点
.
答案：
(-1,3)
5.（2020广西桂林高一期中）函数
的定义域是
.
答案：
解析：
要使函数有意义，需满足
即
，解得
.
所以函数
的定义域是
.
6.已知函数
且
，且
，则
的值是
.
答案：
12
解析：
由
得
即
7.已知函数
的图象经过点
，其中
且
（1）求实数
的值;
（2）求函数
的值域.
答案：（1）因为函数
的图象过点
，所以
，则
.
（2）由（1）知
因为
，所以
，
因为
，所以
在
上单调递减，
所以
所以函数
的值域为
8.求下列函数的定义域、值域：
（1）
（2）
.
答案：（1）由题意得，函数的定义域为
.
，即函数的值域为(0,1).
（2）由题意得，函数的定义域为
.
当
即
时，
取得最小值
函数的值域为
.
素养提升练
9.（多选）已知函数
，定义域为
，值域为
，则下列说法中一定正确的有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：
且
当
时，函数值
，故A中说法错误;
函数的定义域为
，故B中说法正确;
当函数取最小值1时，仅有
满足，
，故C中说法正确;
当函数取最大值2时，仅有
满足，
，故D中说法正确.故选BCD.
10.（多选）（2020浙江宁波北仑中学高一期中）定义在
上的奇函数
和偶函数
满足
，下列结论中正确的有(
)
A.
且
B.
总有
C.
，总有
D.
使得
答案：
;
;
解析：
函数
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，且满足
，
即
，与
联立，
可得
故
，故A中结论正确;
，故B中结论正确;
故C中结论正确;
，故D中结论错误.
故选ABC.
11.（2021浙江绍兴高一期末）已知
是定义在
上的奇函数，当
]时，函数
，函数
.如果对于任意
，存在
，使得
，那么实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：当
时，
，
因为
是定义在
上的奇函数，
所以
，当
时，
，记
.
，其图象的对称轴为直线
，故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
即当
时，
，
记
.
对于任意
，存在
，使得
等价于
，
所以
解得
.故选A.
12.函数
的最小值为
.
答案：
-4
解析：
，
令
则
易知
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数取得最小值，且最小值为-4.
13.设函数
，若函数在
上有意义，则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：
设
则原函数在
上有意义等价于
在
上恒成立，
.设
则
，
，即
的取值范围是
.
创新拓展练
14.（2020湖南临澧第一中学高一期中）已知函数
为偶函数.
（1）求
的值及函数
的最小值;
（2）设
，当
时，
，求实数
的取值范围.
答案：（1）因为函数
为偶函数，所以
恒成立，即
恒成立，
即
恒成立，
解得
，
所以
令
，由对勾函数的性质得，
（当且仅当
时，等号成立），
所以函数
的最小值为0.
（2）由（1）得，
，
因为当
时，
，
所以
恒成立，
即
恒成立，
令
因为
在
上单调递增，
所以
，
所以
，即
，
所以
的取值范围是
.
第2课时
指数函数的性质及应用
互动探究·关键能力
探究点一
指数式大小的比较
精讲精练
例
比较下列各组数的大小：
（1）
和
（2）
和
（3）
和
（4）
与
且
答案：（1）
可看作函数
的两个函数值，
因为底数1.5＞1，所以函数
在
上是增函数.
因为2.5＜3.2，所以
.
（2）
可看作函数
的两个函数值，
因为函数
在
上是减函数，且-1.2＞-1.5，所以
.
（3）
，
.
（4）当
时，
在
上是增函数，故
当
时，
在
上是减函数，故
.
解题感悟
比较指数式大小的三种类型及求解方法
迁移应用
1.（2020辽宁沈阳二中高一期中）设
，则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.比较下列各组中两个值的大小：
（1）
（2）
（3）
.
答案：（1）
，
在
上是增函数.
，
.
（2）
，
在
上，
的图象位于
的图象的上方.
又0.3＞0，
.
（3）
.
探究点二
解指数型不等式
精讲精练
例
（1）解不等式
（2）已知
且
，求
的取值范围.
答案：（1）
原不等式可以转化为
.
在
上是减函数，
，解得
，
故原不等式的解集是
.
（2）①当
时，函数
且
在
上是减函数，
解得
或
;
②当
时，函数
且
在
上是增函数，
解得
.综上，当
时，
或
；
当
时，
.
解题感悟
1.利用指数函数的单调性解不等式时，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
2.解不等式
，且
）的依据是指数型函数的单调性，要先判断底数的取值范围，若底数不确定，则需进行分类讨论，即
迁移应用
1.不等式
的解集是
.
答案：
2.设
，则关于
的不等式
的解集是
.
答案：
解析：
因为
，
所以
在
上是减函数.
所以
，解得
.
所以不等式的解集是
.
探究点三
指数型函数的单调性及最值
精讲精练
例
（1）若函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
（2）判断
的单调性，并求最值.
答案：（1）
解析：（1）因为底数
，所以函数
的单调性与
的单调性相同.因为函数
在
上是减函数，所以
在
上是减函数，所以
，解得
，则实数
的取值范围是
.故选A.
答案：（2）令
，则原函数变为
在
上单调递减，在
上单调递增，且
在
上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，原函数的最大值为3，无最小值.
解题感悟
1.指数型函数
且
的单调性由两点决定：一是底数；二是
的单调性，它由两个函数
，
复合而成.
2.求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成
，
，通过
和
的单调性求出
的单调性.
迁移应用
1.（2020河北唐山一中高一期中）函数
的单调递增区间为(
)
A.（
B.
）
C.
D.
答案：
解析：令
，可得
或
，
所以函数的定义域为
.
因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
在
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间为
.故选A.
评价检测·素养提升
1.（2020贵州毕节实验高级中学高一期中）设
则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.若
则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.函数
的单调递增区间是
.
答案：
解析：因为函数
是由函数
与
复合而成，
且
的单调递减区间为
在
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间为
.
4.若函数
则不等式
的解集为
.
答案：
解析：当
时，由
，得
，解得
.
当
时，不等式
明显不成立.
综上，不等式的解集是
.
5.若
且
求
的取值范围.
答案：因为
所以
当
时，
为增函数，则
，解得
；
当
时，
为减函数，则
，解得
.
综上，当
时，
的取值范围为
；当
时，
的取值范围为
.
课时评价作业
基础达标练
1.已知
则
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2020山西太原高一期中）已知函数
，则函数
的值域是(
)
A.
B.
C.
）D.
答案：
3.（多选）（2021浙江温州高一期末）已知实数
满足等式
，则下列关系式中，可能成立的关系式有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
4.已知
且
，当
时，恒有
，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
5.关于
的不等式
的解集为
.
答案：
6.比较下列各组中两个值的大小；
（1）
（2）
.
答案：（1）
与
可看作函数
的两个函数值.
因为底数0＜0.5＜1，所以函数
在
上单调递减.
因为-1.3＞-1.4，所以
.
（2）因为
所以
.
7.已知函数
且
（1）讨论
的单调性；
（2）若
恒成立，求实数
的取值范围.
答案：（1）
且
则
当
时，
当
时，
在
上单调递增，
同理，当
时，
在
上单调递减.
（2）由
恒成立，得
.即实数
的取值范围是
.
素养提升练
8.已知函数
.当
时，
取得最小值
，则函数
的图象可能是(
)
A.B.
C.D.
答案：
解析：函数
，
令
，则
.
所以
，当且仅当
时，等号成立.
故当
时，
取得最小值，则
.
故
其图象是由
的图象向左平移一个单位长度得到的，故选项A中图象符合.
9.把
从小到大排列为
.
答案：
解析：根据幂的特征，可将4个数分类：
①负数：
；②大于1的数：
③大于0且小于1的数：
.
因为
所以
.
10.（2021浙江舟山高一期末）已知函数
.
（1）若
，求
的单调区间；
（2）若
的最大值为3，求实数
的值；
（3）若
的值域是
，求实数
的值.
答案：（1）当
时，
令
，
易知
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
在
上为减函数，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
即函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.
（2）令
则
因为
的最大值为3，所以
的最小值为-1，
当
时，
，无最大值；
当
时，有
解得
.
综上，当
的最大值为3时，实数
的值为1.
（3）若要使
的值域为
则需
的值域为
.
当
时，
，值域为
，符合题意；
当
时，
为二次函数，其值域不为
，不符合题意.
综上，当
的值域是
时，实数
的值为0.
创新拓展练
11.函数
若关于
的方程
有五个不同的实数解，求实数
的取值范围.
解析：命题分析
本题考查函数的图象与一元二次方程根的分布，采用数形结合的方法解题.
答题要领
方程
有五个不同的实数解，即要求
等于某个常数有3个不同的实数解，根据题意，先画出函数
的图象，结合图象可知，只有当
时，有3个根，再结合方程
有2个不等实根，可求
的取值范围.
答案：详细解析
有五个不同的实数解，
等于某个常数有三个不同的实数解，
根据题意作出
的简图，如图所示.
由图可知，只有当
时，才有三个根.
.
再根据
有两个不等实根，
令
，则方程
有两个不等实根，
解得
且
.
故a的取值范围是
.
方法感悟
复合函数零点问题的特点：在解决关于
的方程
根的个数问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于
的方程，观察有几个
的值使得等式成立；第二层是结合第一层
的值求出每一个
被几个
对应，将
的个数汇总后即为
的根的个数.关键在于“抽丝剥茧”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数的图象，利用图象解决.
2
/
2114.2
指数函数
4.2.1
指数函数的概念
课标解读
课标要求
素养要求
1.通过具体实例了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
1.数学抽象——通过实例了解指数函数的概念.
2.数学建模——能从实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用.
自主学习·必备知识
要点一
指数函数的概念
一般地，函数
，且
叫做①
，其中②
指数
是自变量，定义域是③
.
要点二
指数型函数模型
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为
，每次的增长率为
，经过
次增长，该量增长
，则
④
.形如
，且
，且
的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的模型
自主思考
1.某口罩厂2020年1月份平均日产量为20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个.则口罩厂日产量的月平均增长率是
.
名师点睛
规定
，且
的理由
（1）如果
，那么当
时，
恒等于0；当
时，
无意义.
（2）如果
如
，那么对于
其函数值不存在.
（3）如果
，那么
是一个常量，无研究价值.
为了避免上述各种情况的发生，所以规定
且
.
互动探究·关键能力
探究点一
指数函数的概念
精讲精练
例（1）下列各函数中，是指数函数的为(
)
A.
B.
C.
D.
（2）若函数
（
是自变量）是指数函数，则
的取值范围是(
)
A.
B.[
C.
D.
解题感悟
指数函数的解析式必须具有三个特征：
（1）底数
为大于0且不等于1的常数；
（2）指数位置是自变量
，且指数位置上只有x这一项；
（3）指数式只有一项，且
的系数是1.
迁移应用
1.下列是指数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.若函数
是指数函数，求
的值.
探究点二
求指数函数的解析式或函数值
精讲精练
例
（2020湖南临澧第一中学高一期中）指数函数
的图象过点(-2，4），则
.
解题感悟
求指数函数的解析式或函数值的关键是求底数
，并注意
的限制条件，主要采用待定系数法求底数a.
迁移应用
1.如果指数函数
的图象经过点
，那么
(
)
A.8
B.16
C.32
D.64
探究点三
指数型函数模型的应用
精讲精练
某地区2012年年底的人口数量为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长为
，要使2023年年底该地区的人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少
万平方米（精确到1万平方米，参考数据：
）.
解题感悟
在解决指数型函数模型的应用问题的过程中，大多需要根据条件列出方程，进而求解.
迁移应用
1.某城市房价（均价）经过6年时间从1200元
增加到了4800元
，则这6年间平均每年的增长率是(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知某种产品的生产成本每年降低
.若该产品2015年年底的生产成本为6400元/件，则2018年年底的生产成本为
元/件.
评价检测·素养提升
1.下列函数中一定是指数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.若指数函数
的图象过点(3,8)，则
的解析式为(
)
A.
B.
C.
D.
3.若函数
是指数函数，则
的值为
.
4.某钢厂的年产量由2010年的40万吨增加到2020年的50万吨，若按照这样的年增长率计算，则该钢厂2030年的年产量约为
万吨（结果保留整数）.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）下列函数中不是指数函数的有(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2020湖南邵阳高一期中）下列函数中，不能化为指数函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.某产品的成本价为
，由于不断改进技术，成本价平均每年降低
，则经过
年后该产品的成本价为(
)
A.
B.
C.
D.
4.（2021北京石景山高一期末）已知函数
是指数函数，如果
，那么
（选填“＞”“=”或“＜”）.
5.已知指数函数
的图象经过点(2,4)，求
的值.
6.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为
（
为浓度单位，
表示百万分之一），再过4分钟测得浓度为
.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度
与排气时间
（分钟）之间满足函数关系
（
为常数），求
的值.
素养提升练
7.（多选）已知指数函数
满足
，则下列结论中正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知函数
.若
，则实数
的值等于
.
9.某种细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则这种细胞由1个分裂成4096个需经过
小时.
10.某林区2018年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到
.若经过
年后，该林区的木材蓄积量为
万立方米，求
的表达式，并求此函数的定义域.
创新拓展练
11.截止到2018年年底，我国某市人口数量约为130万.若今后能将人口数量的年平均增长率控制在3，经过
年后，此市人口数量为
（单位：万）.
（1）求
与
的函数关系式
，并写出定义域;
（2）若按此增长率，则2029年年底的人口数量约是多少？
（3）哪一年年底的人口数量将达到135万？
（参考数据：
）
4.2.2
指数函数的图象和性质
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
2.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式.
逻辑推理——能根据指数函数的图象说明指数函数的性质，并解决实际问题.
第1课时
指数函数的图象和性质
自主学习·必备知识
底数
互为倒数
的两个指数函数的图象关于①
轴
对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.
一般地，指数函数的图象和性质如表所示.
图像
定义域
值域
②
性质
过定点③
，即
④
时，
⑤
1
减函数
增函数
自主思考
1.若
且
，则函数
与
的图象具有什么关系?
2.“指数函数的图象一定在x轴的上方"这种说法正确吗?
名师点睛
1.底数
与1的大小关系决定了指数函数图象“升”与“降”.当
时，指数函数的图象是“上升”的，当
时，指数函数的图象是“下降”的.
2.函数
且
的图象的变化趋势：当
时，底数越大，图象越靠近
轴；当
时，底数越小，图象越靠近
轴.
3.指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象不经过第三、四象限.
4.解简单指数不等式问题的注意点
（1）形如
的不等式，可借助
的单调性求解．如果
的值不确定，那么需分
和
两种情况进行讨论．
（2）形如
的不等式，可以将
化为以
为底的指数幂的形式，再借助
的单调性求解．
（3）形如
的不等式，可借助图象求解．
5.（1）研究
型函数的单调区间时，要注意
还是
.
当
时，
与
的单调性相同.
当
时，
与
的单调性相反.
（2）研究
型函数的单调区间时，要注意
属于
的增区间还是减区间.
互动探究·关键能力
探究点一
指数函数的图象
精讲精练
例
（1）函数
且
的图象可能是(
)
A.B.C.D.
（2）已知
，则指数函数①
，②
的图象为(
)
A.B.C.D.
解题感悟
1.底数对函数
，且
图象的影响如图所示（
）.在第一象限中具有“底大图高”的特征.
⒉指数函数的图象的变换
（1）平移规律:设
，
①
的图象
的图象；
②
的图象
的图象；
③
的图象
的图象；
④
的图象
的图象；
（2）对称规律
，且
的图象
与
的图象关于
轴对称
与
的图象关于
轴对称
与
的图象关于坐标原点对称
迁移应用
1.指数函数①
的图象如图所示，则
，
，
，
与1的大小关系为(
)
A.
B.
C.
D.
探究点二
指数函数的定义域和值域
精讲精练
例
求下列函数的定义域和值域：
（1）
（2）
.
解题感悟
求函数
的定义域、值域的方法
（1）定义域：形如
形式的函数的定义域是使
有意义的
取值的集合．
（2）值域：①换元，令
;
②求
的定义域
;
③求
的值域
;
④利用
的单调性求
，
的值域．
提醒：（1）通过建立不等式组求定义域时，要注意解集为各不等式解集的交集.（2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.
迁移应用
1.求下列函数的定义域和值域：
（1）
（2）
.
探究点三
定点问题
精讲精练
例
函数
且
的图象恒过定点
且点
在幂函数
的图象上，则
.
解题感悟
指数函数
（
＞0，且
）的图象恒过定点(0,1)，即令指数等于0，求得的点
即为其图象恒过的定点.
迁移应用
1.已知函数
且
的图象恒过定点
，则定点
的坐标是
.
评价检测·素养提升
1.若函数
的定义域是
，则
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2021天津和平一中高一期末）函数
与
且
的大致图象在同一平面直角坐标系中可能为(
)
A.B.C.D.
3.函数
且
的图象过定点
.
4.函数
的图象一定过第
象限.
5.求下列函数的定义域和值域：
（1）
（2）
.
数学运算——利用换元法求函数的值域
1.求函数
的值域.
素养探究：求形如
且
的函数的值域一般用换元法，令
，将原问题转化为二次函数求值域的问题.换元时要注意新元的取值范围，过程中体现了数学运算的核心素养.
迁移应用
1.求函数
的值域.
课时评价作业
基础达标练
1.函数
的图象是(
)
2.（2020四川成都实验外国语学校高一期中）当
时，函数
的值域是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（多选）在同一平面直角坐标系中，函数
与
且
的图象可能是(
)
4.（2021浙江嘉兴高一期末）函数
且
的图象恒过定点
.
5.（2020广西桂林高一期中）函数
的定义域是
.
6.已知函数
且
，且
，则
的值是
.
7.已知函数
的图象经过点
，其中
且
（1）求实数
的值;
（2）求函数
的值域.
8.求下列函数的定义域、值域：
（1）
（2）
.
素养提升练
9.（多选）已知函数
，定义域为
，值域为
，则下列说法中一定正确的有(
)
A.
B.
C.
D.
10.（多选）（2020浙江宁波北仑中学高一期中）定义在
上的奇函数
和偶函数
满足
，下列结论中正确的有(
)
A.
且
B.
总有
C.
，总有
D.
使得
11.（2021浙江绍兴高一期末）已知
是定义在
上的奇函数，当
]时，函数
，函数
.如果对于任意
，存在
，使得
，那么实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
12.函数
的最小值为
.
13.设函数
，若函数在
上有意义，则实数
的取值范围是
.
创新拓展练
14.（2020湖南临澧第一中学高一期中）已知函数
为偶函数.
（1）求
的值及函数
的最小值;
（2）设
，当
时，
，求实数
的取值范围.
第2课时
指数函数的性质及应用
互动探究·关键能力
探究点一
指数式大小的比较
精讲精练
例
比较下列各组数的大小：
（1）
和
（2）
和
（3）
和
（4）
与
且
解题感悟
比较指数式大小的三种类型及求解方法
迁移应用
1.（2020辽宁沈阳二中高一期中）设
，则(
)
A.
B.
C.
D.
2.比较下列各组中两个值的大小：
（1）
（2）
（3）
.
探究点二
解指数型不等式
精讲精练
例
（1）解不等式
（2）已知
且
，求
的取值范围.
解题感悟
1.利用指数函数的单调性解不等式时，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
2.解不等式
，且
）的依据是指数型函数的单调性，要先判断底数的取值范围，若底数不确定，则需进行分类讨论，即
迁移应用
1.不等式
的解集是
.
2.设
，则关于
的不等式
的解集是
.
探究点三
指数型函数的单调性及最值
精讲精练
例
（1）若函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
（2）判断
的单调性，并求最值.
解题感悟
1.指数型函数
且
的单调性由两点决定：一是底数；二是
的单调性，它由两个函数
，
复合而成.
2.求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成
，
，通过
和
的单调性求出
的单调性.
迁移应用
1.（2020河北唐山一中高一期中）函数
的单调递增区间为(
)
A.（
B.
）
C.
D.
评价检测·素养提升
1.（2020贵州毕节实验高级中学高一期中）设
则(
)
A.
B.
C.
D.
2.若
则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.函数
的单调递增区间是
.
4.若函数
则不等式
的解集为
.
5.若
且
求
的取值范围.
课时评价作业
基础达标练
1.已知
则
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2020山西太原高一期中）已知函数
，则函数
的值域是(
)
A.
B.
C.
）
D.
3.（多选）（2021浙江温州高一期末）已知实数
满足等式
，则下列关系式中，可能成立的关系式有(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知
且
，当
时，恒有
，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
5.关于
的不等式
的解集为
.
6.比较下列各组中两个值的大小；
（1）
（2）
.
7.已知函数
且
（1）讨论
的单调性；
（2）若
恒成立，求实数
的取值范围.
素养提升练
8.已知函数
.当
时，
取得最小值
，则函数
的图象可能是(
)
A.B.C.D.
9.把
从小到大排列为
.
10.（2021浙江舟山高一期末）已知函数
.
（1）若
，求
的单调区间；
（2）若
的最大值为3，求实数
的值；
（3）若
的值域是
，求实数
的值.
创新拓展练
11.函数
若关于
的方程
有五个不同的实数解，求实数
的取值范围.
方法感悟
复合函数零点问题的特点：在解决关于
的方程
根的个数问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于
的方程，观察有几个
的值使得等式成立；第二层是结合第一层
的值求出每一个
被几个
对应，将
的个数汇总后即为
的根的个数.关键在于“抽丝剥茧”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数的图象，利用图象解决.
2
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