资源简介 (共22张PPT)4.4对数函数第四章学习目标1.了解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数.4.比较几类函数模型增长的差异，并利用函数模型解决简单的实际问题.核心素养：数学抽象、数学建模、直观想象新知学习什么是对数函数【定义】根据指数与对数的关系，由可以得到???也是的函数.而通常我们用表示自变量，用??????一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是(0，+∞)??指数式和对数式的转化?什么是对数函数【问题】怎样判断一个函数是不是对数函数？【答】抓住对数函数解析式的三个结构特征：【1】的系数为1【2】底数满足.【3】真数是自变量.????为什么对数函数的定义域是(0，+∞)？【答】由函数定义及解析式可知，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，+∞)??【1】求下列函数的定义域.【解】???所以函数的定义域是???所以函数的定义域是??即时巩固对数函数的图像和性质【1】的图像?0.5-110214262.58583123.585???1?对数函数的图像和性质【2】的图像?0.51102-14-28-316-4???1?对数函数的图像和性质【3】和图像????1???利用换底公式，可以得到下式：?即这两个函数关于轴对称.实际上?对于一般的两个函数和??它们的图像也是关于轴对称的.?利用点和点的关系即可证明.??的图像和性质?在同一坐标系中画出不同底数的图像，通过图像我们发现除了和的图像关于轴对称之外，还可以把底数分成和两种情况来讨论:???1????????????【问题】怎样画出对数函数的图像？【答】用三点法，描出??三个点之后，用平滑的曲线连接起来即可.的图像和性质???过定点（1，0）减函数增函数①图像都在y轴右侧②都经过点（1，0）③无限靠近y轴但不相交④时，图像上升⑤时，图像下降??底大图高底大图低的图像和性质?【注意】①对数函数值的变化：?????②对数函数单调性口诀：对数函数有两种，底数大小要分清；底数若是大于1，图像从左往右增.底数0到1之间1，图像从左往右减；无论函数增或减，图像都过(1,0)点.【1】比较下列各式的大小.【解】??????即时巩固反函数【探究】观察图像可以发现，指数函数，定义域R,值域(0,+∞)和对数函数，定义域为(0,+∞)，值域为R，他们的定义域和值域恰好相反，并且它们的图像关于直线对称，那么我们就称函数的反函数是，函数的反函数是这两个函数互为反函数.???????【结论】一般地，指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域和值域互换.????反函数【指数函数和对数函数的比较】???????两个函数互为反函数，图像关于直线对称【1】求下面函数的定义域.【解】????????即时巩固随堂小测1.下列函数为对数函数的是A.y＝logax＋1(a＞0且a≠1)B.y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D.y＝2logax(a＞0且a≠1)√2.函数y＝log2(x－2)的定义域是A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(2，＋∞)D.[4，＋∞)√3.函数y＝2log4(1－x)的图象大致是解析 函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.4.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝_____.log2x5.函数f(x)＝lnx2的减区间为_________.(－∞，0)课堂小结1.含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数.判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式.如：y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数.2.研究y＝logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质.3.研究与对数函数图象有关的问题，以对数函数图象为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分.4.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.5.y＝ax与x＝logay图象是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称，因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称.谢谢！第四章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.1对数函数的概念课标解读课标要求素养要求1.通过具体实例，理解对数函数的概念.2.会求简单的对数型函数的定义域.数学抽象——能通过具体实例领会对数函数的概念.自主学习·必备知识一般地，函数（，且）叫做对数函数，其中①是自变量，定义域是②.自主思考1.函数和的底数分别是什么？答案：提示底数分别为和10.名师点睛在对数函数中，自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记.当对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数.互动探究·关键能力探究点一对数函数的概念精讲精练例（2020北京临川学校高一期中）若函数是对数函数，则实数的值是.答案：3解析：由题意得.解题感悟若一个函数是对数函数，则其必须是（，且）的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量.迁移应用1.已知下列函数：①；②；③；④（，是常数）.其中一定为对数函数的是（填序号）．答案：③解析：由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，的系数为1，自变量是，故③是对数函数；对于④，底数，当时，底数小于0，故④一定不是对数函数.2.判断下列函数是不是对数函数.（1）；（2）；（3）.答案：（1）符合对数函数的结构形式，是对数函数.（2）自变量在底数的位置上，故不是对数函数.（3）不符合对数函数的结构形式，故不是对数函数.探究点二对数型函数的定义域精讲精练例函数的定义域是.答案：解析：由题意得解得.故函数的定义域是.解题感悟解决对数型函数的定义域问题时，除了要特别注意真数和底数，还要遵循前面学习过的求函数定义域的知识，比如函数解析式为分式（分母不能为0）、根式（根指数为偶数时，被开方数非负）等情形.迁移应用1.函数的定义域为.答案：解析：由题意得，解得，故函数的定义域为.2.（2021浙江宁波高一期末）函数的定义域为.答案：解析：由题意得解得且，所以函数的定义域为.探究点三对数函数的实际应用精讲精练例某工厂生产一种溶液，市场要求其杂质含量不超过，若开始时溶液中含杂质，每过滤一次可使杂质含量减少，则至少应过滤次才能达到市场要求.（已知，）答案：8解析：设过滤次时达到市场要求.由题意可得，即，，.故至少应过滤8次才能达到市场要求.解题感悟解决此类问题时，应根据条件建立数学模型，先利用指数式和对数式的互化转化为对数式，再根据对数的运算性质及所给的数据计算求值.迁移应用1.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据:）()A.B.C.D.答案：解析：由题意得，，根据对数的运算性质有，所以，所以.故选.评价检测·素养提升课堂检测1.下列函数是对数函数的是()A.B.C.D.答案：2.若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为.答案：3.（2020浙江台州启超中学高一期中）函数的定义域为.答案：4.已知函数则.答案：解析：，，.素养演练数学运算——求对数型函数的定义域1.函数的定义域为.答案：解析：由题意得解得，所以函数的定义域为.素养探究：已知函数解析式，求函数定义域的方法：（1）有分式时：分母不为0；（2）有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；（3）有指数时：若指数为0，则底数一定不能为0；（4）有根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时，根号下大于0；（5）当函数为对数型函数时，只需满足真数大于0.迁移应用1.使有意义的的取值范围是.答案：解析：由题意得，解得，则的取值范围是.2.函数的定义域为.答案：解析：由题意得解得，则函数的定义域为.课时评价作业基础达标练1.（多选）下列函数不是对数函数的是()A.B.C.D.答案：;;2.（2020吉林长春外国语学校高一月考）若为对数函数，则()A.1B.2C.3D.4答案：3.（2021浙江温州高一期末）函数的定义域为()A.B.C.D.答案：4.函数的定义域为()A.B.C.）D.）答案：5.函数的定义域是.答案：6.（2021辽宁沈阳高一期末）给定函数，设集合，.若，，使得成立，则称函数具有性质.给出下列三个函数：①；②；③.其中，具有性质的函数是（填序号）.答案：①③解析：对于①，，，显然，，使得成立，即具有性质；对于②，，，当时，不存在，使得成立，即不具有性质；对于③，，，显然，，使得成立，即具有性质.故具有性质的函数是①③.7.已知为对数函数，且，则.答案：解析：设（，且），则，，即（负值舍去），，.8.求下列函数的定义域.（1）；（2）.答案：（1）由题意得解得或，所以函数的定义域为.（2）由题意得解得或，所以函数的定义域为.9.若函数为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式.答案：为上的奇函数，.又当时，，，素养提升练10.函数的定义域是()A.B.C.D.答案：11.（2020江西南昌师大附中高一期中）函数的定义域为()A.B.C.]D.答案：解析：由题意得解得且，所以函数的定义域为.故选.12.对于实数，，，，定义.设函数，则方程的解为.答案：2解析：定义，，由解得，函数的定义域为.若，则，即，解得（舍去）.13.设函数（，且），若，则的值是.答案：12解析：.14.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为，鲑鱼的耗氧量的单位数为，研究中发现与成正比，且当时，.（1）求出关于的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是时耗氧量的单位数.答案：（1）设当时，，，，关于的函数解析式为.（2）令，则，解得，即一条鲑鱼的游速是时，耗氧量的单位数为2700.创新拓展练15.已知函数.（1）若定义域为，求实数的取值范围；（2）若值域为，求实数的取值范围.解析：命题分析本题考查对数型函数的定义域和值域、二次函数的图象与性质等知识点，过程中体现了数学运算的核心素养.（1）答题要领函数的定义域是使对数的真数有意义的的取值范围，故函数定义域为等价于真数的取值恒大于零，由此得出时，方程根的判别式小于0，从而求得实数的取值范围．（2）答题要领函数的值域为，说明对数的真数取到所有的正数，由此可得包含于真数对应的二次函数的值域，从而求得实数的取值范围.答案：（1）要使的定义域为，则对任意实数都有恒成立.当时，不符合题意；当时，由二次函数的图象可知解得.故实数的取值范围为.（2）要使的值域为，则的值域必须包含.当时，显然成立；当时，二次函数的图象必须与轴相交且开口向上，解得或.综上，实数的取值范围为.方法感悟若函数的定义域为，则在上恒成立；若函数的值域为，则，其中为函数的定义域.4.4.2对数函数的图象和性质课标解读课标要求素养要求1.能用描点法画出具体对数函数的图象.2.知道对数函数（，且）与指数函数（，且）互为反函数.3.通过学习对数型函数，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用.1.数学运算——会求对数型函数的单调区间和值域.2.逻辑推理——能掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题.第1课时对数函数的图象和性质自主学习·必备知识要点一对数函数的图像与性质底数互为①倒数的两个对数函数的图象关于轴对称.一般地，对数函数的图象和性质如表所示，图象定义域值域性质过定点②，即时，减函数③增函数要点二反函数一般地，指数函数④（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.自主思考1.函数与的图象有什么关系？答案：提示函数与的图象关于轴对称.2.对数函数图象的“上升”和“下降”与有怎样的关系？答案：提示当时，对数函数的图象“上升”；当时，对数函数的图象“下降”.3.若函数的定义域是，则它的反函数的值域是什么？答案：提示.名师点睛有关对数型函数图象问题的应用技巧（1）求函数（，且）的图象所过的定点坐标时，只需令，求出，即可得到定点坐标为.（2）给出函数解析式判断函数的图象时，应首先考虑函数对应哪种基本初等函数，其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等，最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法.（3）根据对数函数的图象判断底数大小的方法：作直线与所给的图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.互动探究·关键能力探究点一对数函数单调性的应用精讲精练例1若在上是增函数，则实数的取值范围是.答案：解析：由题意得，，解得.例2比较下列各组值的大小：（1）与；（2）与；答案：（1）因为，，所以.（2），又对数函数在上是增函数，且，所以，所以所以.解题感悟比较对数式的大小时常用的方法（1）同底数的对数式，直接利用对数函数的单调性.（2）同真数的对数式，利用对数函数的图象或用换底公式转化.（3）底数和真数都不同的对数式，找中间值.（4）若底数为同一参数的对数式，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.迁移应用1.已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是.答案：解析：由题意得解得.2.比较下列各组值的大小：（1），（2），；（3），（4），.答案：（1）因为函数在上是减函数，且，所以.（2）因为函数在上是增函数，且，所以.（3）因为，所以，即.（4）因为，，所以.探究点二对数型函数的图象精讲精练例函数的图象大致为()A.B.C.D.答案：解析：函数是偶函数，的图象关于轴对称，当时，是增函数；当时，是减函数，又函数的图象过，两点，结合选项可知选项中的图象符合题意.解题感悟对数函数图象的特点（1）底数大于1，图象呈上升趋势；底数大于0且小于1，图象呈下降趋势.（2）在第一象限内，各图象对应的对数函数的底数顺时针增大.迁移应用1.对数函数（，且）的图象如图所示，已知分别取，，，，则与，，，相对应的的值依次为()A.，，，B.，，，C.，，，D.，，，答案：2.已知函数（，为常数，其中，且的图象如图，则下列结论成立的是()A.，B.，C.，D.，答案：探究点三定点问题精讲精练例若，且，则函数的图象恒过定点.答案：解析：令，得，即，此时，所以的图象恒过定点.解题感悟对数函数（，且）的图象恒过定点，即时，，令真数等于1，求得的即为定点.迁移应用1.函数的图象一定经过点()A.B.C.D.答案：2.已知函数的图象过定点，则.答案：4解析：函数的图象过定点，令，解得，此时，函数的图象过定点，，，则.评价检测·素养提升课堂检测1.设，，，其中为自然对数的底数，则()A.B.C.D.答案：解析：，，，，故选.2.（2021浙江杭州高一期末）已知，且，则函数与的图象可能是()A.B.C.D.答案：解析：当时，函数为减函数，且其图象过点，函数为减函数，且，选项中的图象符合；当时，函数为增函数，且其图象过点，函数为增函数，且，选项中的图象都不符合.故选.3.已知在，上是减函数，则实数的取值范围是()A.B.C.D.答案：解析：由选项知，所以为减函数，而当时，是增函数，所以当时，是减函数.由，得在上恒成立，所以，故实数的取值范围是.故选.4.函数的图象必过定点.答案：5.设，，，则，，的大小关系为（用“”连接）.答案：6.比较下列各题中两个值的大小：（1），；（2），；（3），（，且）答案：（1）因为在上是增函数，且，所以.（2）因为，，所以.（3），当时，函数在上是增函数，有；当时，函数在上是减函数，有.综上所得，当时，；当时，.素养演练直观想象——对反函数的理解和应用1.（2021陕西宝鸡高一期末）若函数是函数（，且）的反函数，且，则()A.B.C.D.答案：解析：由题意得，，则，解得，因此，.2.（2021甘肃张掖第二中学高一月考）已知函数与互为反函数，并且函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是.答案：解析：因为函数与互为反函数，所以，则，所以，解得.素养探究：已知与互为反函数，则①函数的定义域、值域是函数的值域、定义域.②的图象与的图象关于直线对称.③若的图象经过点，则的图象经过点.迁移应用1.（2021福建福州第一中学高一月考）已知函数（，）的图象经过点，则函数的图象经过点()A.B.C.D.答案：解析：因为函数与函数互为反函数，所以函数的图象经过点.2.设，若的反函数的图象经过点，则()A.7B.3C.1D.答案：解析：的反函数的图象经过点，的图象经过点，，解得.课时评价作业基础达标练1.（2021浙江杭州高一期末）设，，，则实数，，的大小关系是()A.B.C.D.答案：2.（多选）已知函数（，）的图象恒过点，则下列函数的图象也过点的是()A.B.C.D.答案：;;3.函数的图象大致为()A.B.C.D.答案：4.（2021江苏南通高一期末）已知函数的图象恒过定点，且函数在上单调递减，则实数的取值范围是()A.B.C.D.答案：5.函数（，）的图象恒过定点，则点的坐标为；若，则实数.答案：;6.（2020江西南昌师大附中高一期中）已知函数是函数（，）的反函数，且，则.答案：素养提升练7.（多选）若实数，满足，则下列关系中可能成立的有()A.B.C.D.答案：;;解析：当时，，即，故，正确；当时，，，故，正确；当时，，即，故，正确；当时，，故，错误.故选.8.已知函数若的值域是，则实数的取值范围是.答案：解析：根据题意知，由的值域是可作出图象，如图：当时，，由，，，可知；当时，，由，，可知，综上所述，实数的取值范围是.9.已知函数，（，且）（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并予以证明.答案：（1）要使函数有意义，必须有解得.所以函数的定义域是.（2）是奇函数.证明：由（1）知函数的定义域关于原点对称，，所以函数是奇函数.创新拓展练10.设函数且.（1）求的解析式及定义域；（2）求的值域.答案：（1），，.且，应满足的定义域为.（2），且的定义域为，的值域为.第2课时对数函数的性质及应用互动探究·关键能力探究点一对数型函数的单调性精讲精练例（1）已知，求的取值范围；（2）求函数的单调递增区间.答案：（1）函数在上为减函数，由，得解得，的取值范围为.（2）要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.令，.在上，增大，增大，减小，即在上，随的增大而减小，为减函数；在上，增大，减小，增大，即在上，随的增大而增大，为增函数.综上，的单调递增区间为.解题感悟形如的函数（，且）的单调区间的求法：（1）先求的解集（也就是函数的定义域）.（2）当时，在的前提下，的单调增区间是的单调增区间，的单调减区间是的单调减区间.（3）当时，在的前提下，的单调增区间是的单调减区间，的单调减区间是的单调增区间.迁移应用1.解下列不等式：（1）；（2）.答案：（1）由题意可得解得，所以原不等式的解集为.（2）当时，原不等式等价于解得；当时，原不等式等价于解得.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.探究点二对数型函数的值域精讲精练例函数.（1）当时，求该函数的值域；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.答案：（1），令，当时，，此时，易知当时，取得最小值，当时，取得最大值1，该函数的值域为.（2）令，，对任意恒成立，即对任意恒成立，对任意恒成立，令，，易知在上单调递增，，，即的取值范围为.解题感悟求对数型函数的值域时，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解.一定要注意定义域对它的影响，当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化.迁移应用1.已知，求函数的值域.答案：.令，，，则.易知当时，，当时，，函数的值域为.探究点三对数型函数性质的综合应用精讲精练例已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求，的值；（2）求函数的表达式；（3）若，求实数的取值范围.答案：（1），.（2）因为在上为奇函数，所以，令，则，所以，所以（3）当时，，令，则.由于是增函数，是减函数，则在上是减函数，因为是奇函数，且，所以是上的减函数.由，得，解得，即实数的取值范围是.解题感悟对数型函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提.迁移应用1.已知函数.（1）若为奇函数，求的值；（2）在（1）的条件下，若在上的值域为，求，的值.答案：（1）为奇函数，，即，，解得（负值舍去）.（2）由（1）知，则，即或解得，即其定义域为.当时，为减函数，又在其定义域内为增函数，在其定义域内是减函数，则.由题意知，解得，即，.评价检测·素养提升课堂检测1.函数在上的最大值是()A.0B.1C.2D.答案：解析：，在上是减函数，.故选.2.函数的值域是.答案：令，则，所以，即函数的值域是.3.（★）（2021浙江丽水高一期末）函数的单调递增区间.答案：解析：是复合函数，可以写成，，根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知，外层函数是增函数，所以只需求在定义域内的单调递增区间.由不等式，解得或，易知在上单调递增，故函数的单调递增区间为.4.求函数的单调区间.答案：由于方程的判别式，在上恒成立，令，当时，为减函数，当时，为增函数，易知在定义域内单调递减，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.素养演练逻辑推理——利用对数函数的性质求参数1.已知函数.（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.答案：（1）若的定义域为，则关于的不等式的解集为，结合二次函数的图象（图略）可得解得.故实数的取值范围是.（2）若函数的值域为，则可取遍所有正实数，结合函数图象（图略）可得或解得.故实数的取值范围是.素养探究：对数型函数的定义域为的问题，多转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，在解题时，当最高次项的系数带字母时，需进行分类讨论.迁移应用1.若函数的定义域为，求实数的取值范围.答案：当时，，符合题意；当时，由题意得解得.综上，的取值范围是.课时评价作业基础达标练1.设函数，则使得成立的的取值范围是()A.B.C.D.答案：2.（多选）下列关于函数的说法错误的是()A.函数的定义域是B.函数的值域是C.函数在定义域上单调递增D.函数在定义域上单调递减答案：;;3.（2020陕西宝鸡高一期中）若，则，满足的条件是()A.B.C.D.答案：4.（多选）（2020重庆江津中学高一月考）关于函数，下列说法正确的是()A.定义域为B.定义域为C.值域为D.递增区间为答案：;;5.（2021四川成都高一月考）已知函数，则该函数的单调递减区间是()A.B.C.D.答案：6.（2021甘肃高一期末）定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是.答案：7.（2021安徽池州一中高一月考）若函数的值域为，则实数的取值范围是.答案：8.（2021浙江高一期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为.答案：9.已知函数.（1）求函数的定义域并证明该函数是奇函数；（2）若当时，，求函数的值域.答案：（1）由题意得，解得或，即函数的定义域为，且定义域关于原点对称，因为，所以函数为奇函数.（2）由题意得，，当时，，函数是增函数，故当时，，即函数的值域为.10.（2020福建三明高一期中）设函数.（1）求函数的定义域；（2）若，求函数在区间上的最大值；（3）解不等式.答案：（1）由题意得解得，所以函数的定义域为.（2）因为，所以，所以.则，所以当时，是增函数；当时，是减函数，故函数在上的最大值是.（3）当时，解得不等式的解集为；当时，解得不等式的解集为.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.素养提升练11.（多选）下列函数中值域为的有()A.B.C.D.答案：;;解析：选项，令，则由对数函数的性质可得的值域为，即的值域为，故满足题意；选项，由得，解得.令，则，根据对数函数的性质可得的值域为，则的值域为，故满足题意；选项，令，所以，即函数的值域为，故不满足题意；选项，令，则，根据对数函数的性质可得的值域为，即的值域为，故满足题意.故选.12.（多选）已知函数，则()A.当时，的定义域为B.一定存在最小值C.的图象关于直线对称D.当时，的值域为答案：;解析：当时，方程的判别式，则方程有两个不等根，故函数的定义域应该在两根之外，即其定义域不为，错误；若，则的定义域为，值域为，没有最小值，错误；由于函数为偶函数，其图象关于轴对称，将该函数的图象向左平移一个单位即可得到函数的图象，此时对称轴为直线，正确；当时，方程的判别式，函数的值域包含，故函数的值域为，正确.故选.13.若函数（，）在区间内恒有，则的单调递增区间是.答案：解析：易知在上单调递增，所以，又在区间内恒有，所以，则对数函数在定义域内单调递增，由，解得，即的定义域为，因为在上递增，所以的单调递增区间是.14.已知，，则的最大值是.答案：13解析：，函数的定义域为，要使函数有意义，必须满足，..当，即时，函数取得最大值13.创新拓展练15.已知，，.（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当的定义域为时，解不等式；（3）若恰在上取负值，求的值.解析：命题分析本题考查对数型函数的奇偶性和单调性，函数不等式的解法，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.（1）答题要领通过换元法令，则，即得解析式；利用奇偶性定义即得函数是奇函数；讨论和两种情况，根据指数函数的单调性判断该函数的单调性即可.（2）答题要领利用奇偶性、单调性和定义域得到，满足的关系式，解不等式即可.（3）答题要领根据恰在上取负值，得出，代入求参数的值即可.答案：（1）详细解析令，则，故所以.又，所以是奇函数.当时，是增函数，是减函数，故是增函数，而，故在上是增函数；当时，是减函数，是增函数，故是减函数，而，故在上是增函数.综上，在上是增函数.（2）详细解析由（1）可知，等价于，再根据函数的单调性可得解得，所以不等式的解集是.（3）详细解析依题意恰在上取负值，结合单调性知，当时，，即，化简得，解得.方法感悟利用奇偶性和单调性解不等式时，移项将不等式化成的形式，结合的单调性，脱去“”，即得到式子与的关系，再结合定义域解不等式即可.4.4.3不同函数增长的差异课标解读课标要求素养要求1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.会分析具体的实际问题,通过建模解决实际问题.1.逻辑推理——能从几类特殊函数中分析出一般函数的增长特点.2.数学建模——能通过比较几种不同类型的函数模型的增长特点进行决策,进而解决实际问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一指数函数与一次函数增长的差异一般的，指数函数与一次函数，即使的值远远大于的值，的①增长速度最终都会大大超过的②增长速度.要点二对数函数与一次函数增长的差异一般的，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调③递增，但它们的④增长速度不同.随着的增大，一次函数保持⑤固定的增长速度，而对数函数的增长速度⑥越来越慢.无论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会⑦大于，但由于的增长最终会⑧慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有⑨.自主思考1.对于任意的，都有（,且），该说法是否正确？答案：提示错误。名师点睛指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间上，尽管函数和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个，使得当时，恒有互动探究·关键能力探究点一几种函数模型增长的差异精讲精练例甲、乙、丙、丁四人同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，有以下结论：①当时，甲走在最前面;②当时，乙走在最前面;③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面;④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面;⑤如果他们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．其中正确结论的序号为.答案：③④⑤解析：在同一平面直角坐标系中作出这四个函数的图象（图略），易得①错误：因为所以，所以当时，乙在甲的前面.②错误：因为所以，所以当时，甲在乙的前面.③正确：当时，的图象在图象的下方，的图象在图象的上方，即丁走在最前面;当时，的图象在最下方，即丁走在最后面.④正确：当时，丙在甲、乙前面，在丁后面;当时，丙在丁前面，在甲、乙后面;当时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确：当x充分大时，指数函数的增长速度越来越快的图象必定在图象的上方，所以最终走在最前面的是甲．综上，正确结论的序号为③④⑤.解题感悟常见的函数模型及增长特点（1）一次函数模型：一次函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变．（2）指数函数模型：指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，被称为“指数爆炸”．（3）对数函数模型：对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．迁移应用1.下列函数中，增长速度越来越慢的是()A.B.C.D.答案：2.四个变量随变量变化的情况如下表：151015202530226101226401626901232102432768210203040506024.3225.3225.9076.3226.6446.907其中，关于呈指数函数变化的变量是.答案：解析：以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.探究点二不同函数模型的图象及其应用精讲精练例函数和的图象如图所示．设两个函数的图象交于点,且.（1）请指出图中曲线分别对应的函数;（2）结合函数图象，判断的大小．答案：（1）当充分大时，位于上方的图象对应的函数是指数函数，另一个函数就是幂函数，曲线对应的函数为，曲线对应的函数为.（2），.从图象上可以看出，当时.当时，.又，.解题感悟由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，图象增长速度不变的函数是一次函数．迁移应用1.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为;（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过小时后，学生才能回到教室．答案：（1）（2）0.6解析：（1）由题图可知，当时，;当时，由，得，则当时，.故（2）由题意可知，，得.即至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室.评价检测·素养提升1.下列函数中，随着的增大，增长速度最快的是()A.B.C.D.答案：2.测得的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型：甲：，乙：，若又测得的一组对应值为（3，10.2），则应选用（选填“甲”或“乙”）作为函数模型.答案：甲3.函数与函数在区间上增长速度较快的是.答案：4.函数的图象如图所示.（1）指出曲线分别对应哪一个函数;（2）比较两函数增长速度的差异（以两图象交点为分界点，对的大小进行比较）.答案：（1）由函数图象特征及变化趋势，知曲线对应的函数为，曲线对应的函数为.（2）当时，;当时，;当时，.呈直线增长，其增长速度不变，随着的增大而逐渐增大，其增长速度越来越慢.课时评价作业基础达标练1.某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值万公顷关于年数的函数关系式大致可以是()A.B.C.D.答案：2.今年小王用7200元买了一笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格会比去年降低，则三年后这种笔记本的价格是()A.元B.元C.元D.元答案：3.向高为的水瓶内注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是()A.B.C.D.答案：4.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量与净化时间（月）的近似函数关系：且的图象.有以下叙述：①第4个月时，该种有害物质的残留量低于;②每月减少的有害物质的量都相等;③若残留量为时，其净化所经过的时间分别是则.其中所有正确叙述的序号是.答案：①③素养提升练5.以下四种说法中，正确的是()A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的C.对任意的D.不一定存在当时，总有答案：解析：对于，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较．对于，当时，显然不成立．对于，当时，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“”，则结论不成立．故选D.6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据:）()A.2018B.2019C.2020D.2021答案：解析：设2015年后的第年该公司投入的研发资金为万元，则.由，得.两边取对数，得，从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.故选B.7.三个变量随自变量的变化情况如下表：1.003.005.007.009.0011.0051356251715364566555292452189196851771495.006.106.616.957.207.40其中关于呈对数型函数变化的变量是，呈指数型函数变化的变量是.答案：;解析：根据三种模型的变化特点，观察题表中的数据可知，随x的增大而迅速增大，故呈指数型函数变化，随的增大而增大，但变化缓慢，因此呈对数型函数变化.8.某品牌汽车的月产能（万辆）与月份且满足关系式.现已知该品牌汽车2021年4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车2021年7月的产能为万辆．答案：解析：由已知得解得则当时（万辆）.故该品牌汽车2021年7月的产量为1.875万辆.创新拓展练9.某国2017年至2020年国内生产总值（单位：万亿元）如表所示：年份2017201820192020（年份代码）0123生产总值（万亿元）8.20678.94429.593310.2398（1）画出函数的图象，猜想与之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式;（2）利用得到的关系式求2018年和2019年的生产总值，且与表中的实际生产总值进行比较;（3）利用关系式预测2034年该国的国内生产总值.答案：（1）画出函数图象，如图所示．从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为．把直线经过的两点（0，8.2067）和（3，10.2398）代入上式，解得.函数关系式为.（2）由得到的函数关系式计算出2018年和2019年的国内生产总值分别为6777×1+8.2067=8.8844（万亿元），6777×2+8.2067=9.5621（万亿元）．与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．（3）2034年，即当时，由（1）得（万亿元），即预测2034年该国的国内生产总值约为19.7276万亿元．加练课4复合函数的图象与性质学习目标1.会求复合函数的定义域.2.掌握复合函数奇偶性的判定方法.3.掌握复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.4.掌握复合函数零点的求法及零点个数的判定.自主检测·必备知识一、概念辨析，判断正误1.若，则(√)2.函数可分解为和(√)3.函数的定义域与函数的值域相同.(×)4.若函数和的单调性相反，则函数在公共定义域内是减函数.(√)二、夯实基础，自我检测5.（2020陕西西安月考）已知，则的单调递增区间是()A.B.C.D.（-2，1）答案：6.已知函数的定义域为，，则函数的定义域为.答案：7.设为大于1的常数，函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是.答案：互动探究·关键能力探究点一复合函数的定义域精讲精练例（2020河北石家庄二中期中）已知函数，则的定义域是()A.）B.）C.D.）答案：解析：由题意可得即，解得，即的定义域为.令，解得，所以的定义域为.故选A.解题感悟复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围.①若的定义域为[，]，则的定义域应由≤≤解出;②若的定义域为[，]，则的定义域为在[，]上的值域.提醒：定义域永远都是中的取值范围.迁移应用1.若的定义域为(0，，则函数的定义域是()A.B.，1)C.（0，1）D.答案：解析：由题意得解得.故函数的定义域为（，故选A.探究点二复合函数的单调性精讲精练例已知函数.（1）若的定义域、值域都是，求的值;（2）当时，讨论在区间上的值域.答案：（1）函数的定义域为，恒成立，方程的判别式，解得，故a的取值范围为(-2,2).函数的值域为，函数能取遍所有的正实数，方程的判别式，解得或，故a的取值范围为.若的定义域、值域都是，则的取值范围应是这两个取值范围的交集，显然，它们的交集为，故满足条件的a不存在.（2）当时，.①若，则在定义域内单调递减，故当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，故函数的值域为.②若，则函数在时没有意义，故.③若，则在区间上没有单调性，故当时，函数取得最大值，当时，函数值趋于最小且不存在，故函数的值域为.④若，则在区间上没有单调性，当时，函数取得最大值，当时，函数值趋于最小且不存在，故函数的值域为解题感悟求复合函数的单调性需要注意的点：（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域;（2），单调性相同，则为增函数;，单调性相异，则为减函数，简称“同增异减”.迁移应用已知函数，其中.（1）求函数的定义域;（2）判断函数的单调性，并给予证明.答案：（1）由题意得解得，故函数的定义域为(-1,1).（2）是(-1,1)上的减函数.证明：，设则易知在区间(-1,1)上是增函数，又为减函数，故是(-1,1)上的减函数.探究点三复合函数的奇偶性精讲精练例已知函数.（1）判断的奇偶性;（2）用定义法证明是定义域内的增函数.答案：（1）由题意得解得，即函数的定义域为(-3,3)，关于原点对称.又，所以函数为奇函数.（2）证明：，其定义域为(-3,3)，,且,则，因为，所以故则即则是定义域内的增函数.解题感悟对于复合函数，若为偶函数，则为偶函数;若为奇函数，则的奇偶性与的奇偶性相同.其中的定义域关于原点对称.迁移应用已知函数.（1）当时，若，求的取值范围;（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由.答案：（1）当时，，若，则，所以，解得，故x的取值范围是.（2）是偶函数.理由：根据题意得，函数，则解得，即函数的定义域为(-2,2)，关于原点对称.因为，所以函数为偶函数.探究点四复合函数的零点精讲精练例已知函数若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是()A.B.C.（1，2）D.答案：解析：函数的图象如图所示，令，则方程有8个不等的实数根等价于在（1，2）上有2个不等的实数根，可得解得，所以的取值范围是.解题感悟复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立;第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数.迁移应用1.已知函数若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围为()A.B.C.D.答案：解析：作出函数的图象，如图所示，令易知的图象的对称轴方程为，若原方程有3个不同的实根，则在内有且仅有1个根，由对称轴可知，另外一个根在内，即方程在内各有一个根，解得，即实数的取值范围为.故选A.2.已知函数则函数的零点个数是.答案：4解析：由得，设，则等价于，当时，由解得;当时，由解得，所以或.当时，由解得，由解得，故此时有两个零点;当时，由解得由解得，故此时有两个零点.综上，函数的零点个数为4.评价检测·素养提升1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()A.B.C.D.答案：2.下列函数中，定义域为的偶函数是()A.B.C.D.答案：3.（2021福建福州高一期末）已知函数.（1）求实数及的值;（2）判断函数的奇偶性并证明.答案：（1）根据题意，解得，则所以.（2）函数是奇函数.证明：函数的定义域为，且故为奇函数.4.（2021吉林长春外国语学校高一月考）已知函数.（1）若，求函数的单调递增区间;（2）若函数的最小值是0，求实数的值;（3）若函数的值域为，求实数的取值范围.答案：（1）由，得，即.由，解得.的定义域为(-1,3)，令，该函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为，在(-1,1)上是增函数，又在定义域内是增函数，函数的单调递增区间为(-1,1).（2）函数有最小值0，函数有最小值1.解得.（3）函数的值域为,函数能够取到大于0的所有实数，则或故.课时评价作业基础达标练1.已知函数的定义域是，则函数的定义域为()A.B.C.）D.答案：2.（2020贵州毕节实验高级中学高一期中）下列函数为奇函数的是()A.B.C.D.答案：3.（2020陕西山阳校级月考）若在，上是减函数，则实数的取值范围是()A.B.C.D.答案：4.已知函数则函数的零点个数为()A.3B.4C.5D.6答案：5.已知函数.若关于的方程有8个不等的实数根，则实数的取值范围是()A.B.C.D.答案：6.若函数为上的偶函数，则.答案：1解析：函数为上的偶函数，，即，故化简得则即解得.7.已知点在幂函数的图象上，则函数的单调递减区间是.答案：8.已知奇函数是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是.答案：9.（2021江苏南京鼓楼高一期末）设为正实数，且，函数.（1）若为偶函数，求的值;（2）若函数的值域为，求的取值范围.答案：（1）由题意得，若为偶函数，则，即，则解得.（2）根据题意，，设若函数的值域为，则必有，因为所以当且仅当时等号成立，即的最小值为，则有，解得，故a的取值范围为.10.已知函数.（1）求的定义域;（2）解关于的不等式.答案：（1）根据题意,必有且,解得,所以的定义域为(-3,3).（2）根据题意得,.设,则,当时,为减函数,因为为增函数,所以在(-3,3)上为减函数,又在(-3,3)上为减函数,所以在(-3,3)上为减函数,解得,即不等式的解集为.素养提升练11.已知函数的定义域为（,则函数的定义域为()A.B.C.D.答案：解析：令,由对勾函数的性质可知,当时,取得最小值2;当时,取得最大值.故,即的定义域为.令,解得.故函数的定义域为.故选C.12.定义在上的单调函数满足：,则方程的解所在的区间是()A.B.C.（1,2）D.（2,3）答案：解析：因为,且函数在上为单调函数,所以必为定值.设,则,又因为,所以,解得,所以.所以方程即所以解得,故选A.13.若函数在（1,3）上单调递减,则函数的增区间是.答案：解析：设,易知在（1,3）上单调递增,函数在（1,3）上单调递减,在（1,3）上单调递减,可得,函数的增区间就是的减区间,令,解得或,函数的增区间是.14.已知函数函数,其中,若函数恰有4个零点,则实数的取值范围是.答案：解析：由得即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解,即直线与函数的图象有4个公共点,由图象（图略）可知.故实数b的取值范围是.创新拓展练15.已知函数.（1）判断函数的奇偶性并证明;（2）若函数在区间上单调递减,且值域为,求实数的取值范围.答案：（1）为奇函数.证明：由题意得,解得或,即函数的定义域为,关于原点对称,又,所以函数为奇函数.（2）根据题意,设易知在区间上,为增函数,若函数在区间上单调递减,则在上单调递减,故.若函数的值域为,则即则为方程的两个不等的实数根,且,设则有解得,即实数的取值范围是.2/2114.4对数函数4.4.1对数函数的概念课标解读课标要求素养要求1.通过具体实例，理解对数函数的概念.2.会求简单的对数型函数的定义域.数学抽象——能通过具体实例领会对数函数的概念.自主学习·必备知识一般地，函数（，且）叫做对数函数，其中①是自变量，定义域是②.自主思考1.函数和的底数分别是什么？名师点睛在对数函数中，自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记.当对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数.互动探究·关键能力探究点一对数函数的概念精讲精练例（2020北京临川学校高一期中）若函数是对数函数，则实数的值是.解题感悟若一个函数是对数函数，则其必须是（，且）的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量.迁移应用1.已知下列函数：①；②；③；④（，是常数）.其中一定为对数函数的是（填序号）．2.判断下列函数是不是对数函数.（1）；（2）；（3）.探究点二对数型函数的定义域精讲精练例函数的定义域是.解题感悟解决对数型函数的定义域问题时，除了要特别注意真数和底数，还要遵循前面学习过的求函数定义域的知识，比如函数解析式为分式（分母不能为0）、根式（根指数为偶数时，被开方数非负）等情形.迁移应用1.函数的定义域为.解析：由题意得，解得，故函数的定义域为.2.（2021浙江宁波高一期末）函数的定义域为.探究点三对数函数的实际应用精讲精练例某工厂生产一种溶液，市场要求其杂质含量不超过，若开始时溶液中含杂质，每过滤一次可使杂质含量减少，则至少应过滤次才能达到市场要求.（已知）解题感悟解决此类问题时，应根据条件建立数学模型，先利用指数式和对数式的互化转化为对数式，再根据对数的运算性质及所给的数据计算求值.迁移应用1.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据:）()A.B.C.D.评价检测·素养提升1.下列函数是对数函数的是()A.B.C.D.2.若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为.3.（2020浙江台州启超中学高一期中）函数的定义域为.4.已知函数则.素养演练数学运算——求对数型函数的定义域1.函数的定义域为.素养探究：已知函数解析式，求函数定义域的方法：（1）有分式时：分母不为0；（2）有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；（3）有指数时：若指数为0，则底数一定不能为0；（4）有根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时，根号下大于0；（5）当函数为对数型函数时，只需满足真数大于0.迁移应用1.使有意义的的取值范围是.2.函数的定义域为.课时评价作业基础达标练1.（多选）下列函数不是对数函数的是()A.B.C.D.2.（2020吉林长春外国语学校高一月考）若为对数函数，则()A.1B.2C.3D.43.（2021浙江温州高一期末）函数的定义域为()A.B.C.D.4.函数的定义域为()A.B.C.）D.）5.函数的定义域是.6.（2021辽宁沈阳高一期末）给定函数，设集合，.若，，使得成立，则称函数具有性质.给出下列三个函数：①；②；③.其中，具有性质的函数是（填序号）.7.已知为对数函数，且，则.8.求下列函数的定义域.（1）；（2）.9.若函数为定义在上的奇函数，且当时，，求的解析式.素养提升练10.函数的定义域是()A.B.C.D.11.（2020江西南昌师大附中高一期中）函数的定义域为()A.B.C.]D.12.对于实数，，，，定义.设函数，则方程的解为.13.设函数（，且），若，则的值是.14.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为，鲑鱼的耗氧量的单位数为，研究中发现与成正比，且当时，.（1）求出关于的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是时耗氧量的单位数.创新拓展练15.已知函数.（1）若定义域为，求实数的取值范围；（2）若值域为，求实数的取值范围.方法感悟若函数的定义域为，则在上恒成立；若函数的值域为，则，其中为函数的定义域.4.4.2对数函数的图象和性质课标解读课标要求素养要求1.能用描点法画出具体对数函数的图象.2.知道对数函数（，且）与指数函数（，且）互为反函数.3.通过学习对数型函数，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用.1.数学运算——会求对数型函数的单调区间和值域.2.逻辑推理——能掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题.第1课时对数函数的图象和性质自主学习·必备知识要点一对数函数的图像与性质底数互为①倒数的两个对数函数的图象关于轴对称.一般地，对数函数的图象和性质如表所示，图象定义域值域性质过定点②，即时，减函数③增函数要点二反函数一般地，指数函数④（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.自主思考1.函数与的图象有什么关系？2.对数函数图象的“上升”和“下降”与有怎样的关系？3.若函数的定义域是，则它的反函数的值域是什么？名师点睛有关对数型函数图象问题的应用技巧（1）求函数（，且）的图象所过的定点坐标时，只需令，求出，即可得到定点坐标为.（2）给出函数解析式判断函数的图象时，应首先考虑函数对应哪种基本初等函数，其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等，最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法.（3）根据对数函数的图象判断底数大小的方法：作直线与所给的图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.互动探究·关键能力探究点一对数函数单调性的应用精讲精练例1若在上是增函数，则实数的取值范围是.例2比较下列各组值的大小：（1）与；（2）与；解题感悟比较对数式的大小时常用的方法（1）同底数的对数式，直接利用对数函数的单调性.（2）同真数的对数式，利用对数函数的图象或用换底公式转化.（3）底数和真数都不同的对数式，找中间值.（4）若底数为同一参数的对数式，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.迁移应用1.已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是.2.比较下列各组值的大小：（1），（2），；（3），（4），.探究点二对数型函数的图象精讲精练例函数的图象大致为()A.B.C.D.解题感悟对数函数图象的特点（1）底数大于1，图象呈上升趋势；底数大于0且小于1，图象呈下降趋势.（2）在第一象限内，各图象对应的对数函数的底数顺时针增大.迁移应用1.对数函数（，且）的图象如图所示，已知分别取，，，，则与，，，相对应的的值依次为()A.，，，B.，，，C.，，，D.，，，2.已知函数（，为常数，其中，且的图象如图，则下列结论成立的是()A.，B.，C.，D.，探究点三定点问题精讲精练例若，且，则函数的图象恒过定点.解题感悟对数函数（，且）的图象恒过定点，即时，，令真数等于1，求得的即为定点.迁移应用1.函数的图象一定经过点()A.B.C.D.2.已知函数的图象过定点，则.评价检测·素养提升1.设，，，其中为自然对数的底数，则()A.B.C.D.2.（2021浙江杭州高一期末）已知，且，则函数与的图象可能是()A.B.C.D.3.已知在，上是减函数，则实数的取值范围是()A.B.C.D.4.函数的图象必过定点.5.设，，，则，，的大小关系为（用“”连接）.6.比较下列各题中两个值的大小：（1），；（2），；（3），（，且）素养演练直观想象——对反函数的理解和应用1.（2021陕西宝鸡高一期末）若函数是函数（，且）的反函数，且，则()A.B.C.D.2.（2021甘肃张掖第二中学高一月考）已知函数与互为反函数，并且函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是.素养探究：已知与互为反函数，则①函数的定义域、值域是函数的值域、定义域.②的图象与的图象关于直线对称.③若的图象经过点，则的图象经过点.迁移应用1.（2021福建福州第一中学高一月考）已知函数（，）的图象经过点，则函数的图象经过点()A.B.C.D.2.设，若的反函数的图象经过点，则()A.7B.3C.1D.课时评价作业基础达标练1.（2021浙江杭州高一期末）设，，，则实数，，的大小关系是()A.B.C.D.2.（多选）已知函数（，）的图象恒过点，则下列函数的图象也过点的是()A.B.C.D.3.函数的图象大致为()A.B.C.D.4.（2021江苏南通高一期末）已知函数的图象恒过定点，且函数在上单调递减，则实数的取值范围是()A.B.C.D.5.函数（，）的图象恒过定点，则点的坐标为；若，则实数.6.（2020江西南昌师大附中高一期中）已知函数是函数（，）的反函数，且，则.素养提升练7.（多选）若实数，满足，则下列关系中可能成立的有()A.B.C.D.已知函数若的值域是，则实数的取值范围是.9.已知函数，（，且）（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并予以证明.创新拓展练10.设函数且.（1）求的解析式及定义域；（2）求的值域.第2课时对数函数的性质及应用互动探究·关键能力探究点一对数型函数的单调性精讲精练例（1）已知，求的取值范围；（2）求函数的单调递增区间.解题感悟形如的函数（，且）的单调区间的求法：（1）先求的解集（也就是函数的定义域）.（2）当时，在的前提下，的单调增区间是的单调增区间，的单调减区间是的单调减区间.（3）当时，在的前提下，的单调增区间是的单调减区间，的单调减区间是的单调增区间.迁移应用1.解下列不等式：（1）；（2）.探究点二对数型函数的值域精讲精练例函数.（1）当时，求该函数的值域；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.解题感悟求对数型函数的值域时，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解.一定要注意定义域对它的影响，当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化.迁移应用1.已知，求函数的值域.探究点三对数型函数性质的综合应用精讲精练例已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求，的值；（2）求函数的表达式；（3）若，求实数的取值范围.解题感悟对数型函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提.迁移应用1.已知函数.（1）若为奇函数，求的值；（2）在（1）的条件下，若在上的值域为，求，的值.评价检测·素养提升课堂检测1.函数在上的最大值是()A.0B.1C.2D.2.函数的值域是.3.（★）（2021浙江丽水高一期末）函数的单调递增区间.4.求函数的单调区间.素养演练逻辑推理——利用对数函数的性质求参数1.已知函数.（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.答案：（1）若的定义域为，则关于的不等式的解集为，结合二次函数的图象（图略）可得解得.故实数的取值范围是.（2）若函数的值域为，则可取遍所有正实数，结合函数图象（图略）可得或解得.故实数的取值范围是.素养探究：对数型函数的定义域为的问题，多转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，在解题时，当最高次项的系数带字母时，需进行分类讨论.迁移应用1.若函数的定义域为，求实数的取值范围.课时评价作业基础达标练1.设函数，则使得成立的的取值范围是()A.B.C.D.2.（多选）下列关于函数的说法错误的是()A.函数的定义域是B.函数的值域是C.函数在定义域上单调递增D.函数在定义域上单调递减3.（2020陕西宝鸡高一期中）若，则，满足的条件是()A.B.C.D.4.（多选）（2020重庆江津中学高一月考）关于函数，下列说法正确的是()A.定义域为B.定义域为C.值域为D.递增区间为5.（2021四川成都高一月考）已知函数，则该函数的单调递减区间是()A.B.C.D.6.（2021甘肃高一期末）定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是.7.（2021安徽池州一中高一月考）若函数的值域为，则实数的取值范围是.8.（2021浙江高一期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为.9.已知函数.（1）求函数的定义域并证明该函数是奇函数；（2）若当时，，求函数的值域.10.（2020福建三明高一期中）设函数.（1）求函数的定义域；（2）若，求函数在区间上的最大值；（3）解不等式.素养提升练11.（多选）下列函数中值域为的有()A.B.C.D.12.（多选）已知函数，则()A.当时，的定义域为B.一定存在最小值C.的图象关于直线对称D.当时，的值域为13.若函数（，）在区间内恒有，则的单调递增区间是.14.已知，，则的最大值是.创新拓展练15.已知，，.（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当的定义域为时，解不等式；（3）若恰在上取负值，求的值.方法感悟利用奇偶性和单调性解不等式时，移项将不等式化成的形式，结合的单调性，脱去“”，即得到式子与的关系，再结合定义域解不等式即可.4.4.3不同函数增长的差异课标解读课标要求素养要求1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.会分析具体的实际问题,通过建模解决实际问题.1.逻辑推理——能从几类特殊函数中分析出一般函数的增长特点.2.数学建模——能通过比较几种不同类型的函数模型的增长特点进行决策,进而解决实际问题.自主学习·必备知识要点一指数函数与一次函数增长的差异一般的，指数函数与一次函数，即使的值远远大于的值，的①增长速度最终都会大大超过的②增长速度.要点二对数函数与一次函数增长的差异一般的，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调③递增，但它们的④增长速度不同.随着的增大，一次函数保持⑤固定的增长速度，而对数函数的增长速度⑥越来越慢.无论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会⑦大于，但由于的增长最终会⑧慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有⑨.自主思考1.对于任意的，都有（,且），该说法是否正确？名师点睛指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间上，尽管函数和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个，使得当时，恒有互动探究·关键能力探究点一几种函数模型增长的差异精讲精练例甲、乙、丙、丁四人同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，有以下结论：①当时，甲走在最前面;②当时，乙走在最前面;③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面;④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面;⑤如果他们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．其中正确结论的序号为.解题感悟常见的函数模型及增长特点（1）一次函数模型：一次函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变．（2）指数函数模型：指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，被称为“指数爆炸”．（3）对数函数模型：对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．迁移应用1.下列函数中，增长速度越来越慢的是()A.B.C.D.2.四个变量随变量变化的情况如下表：151015202530226101226401626901232102432768210203040506024.3225.3225.9076.3226.6446.907其中，关于呈指数函数变化的变量是.探究点二不同函数模型的图象及其应用精讲精练例函数和的图象如图所示．设两个函数的图象交于点,且.（1）请指出图中曲线分别对应的函数;（2）结合函数图象，判断的大小．解题感悟由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，图象增长速度不变的函数是一次函数．迁移应用1.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题：从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为;（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过小时后，学生才能回到教室．评价检测·素养提升1.下列函数中，随着的增大，增长速度最快的是()A.B.C.D.2.测得的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型：甲：，乙：，若又测得的一组对应值为（3，10.2），则应选用（选填“甲”或“乙”）作为函数模型.3.函数与函数在区间上增长速度较快的是.4.函数的图象如图所示.（1）指出曲线分别对应哪一个函数;（2）比较两函数增长速度的差异（以两图象交点为分界点，对的大小进行比较）.课时评价作业基础达标练1.某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值万公顷关于年数的函数关系式大致可以是()A.B.C.D.2.今年小王用7200元买了一笔记本电脑，由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年这种笔记本电脑的价格会比去年降低，则三年后这种笔记本的价格是()A.元B.元C.元D.元3.向高为的水瓶内注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是()A.B.C.D.4.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量与净化时间（月）的近似函数关系：且的图象.有以下叙述：①第4个月时，该种有害物质的残留量低于;②每月减少的有害物质的量都相等;③若残留量为时，其净化所经过的时间分别是则.其中所有正确叙述的序号是.素养提升练5.以下四种说法中，正确的是()A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的C.对任意的D.不一定存在当时，总有6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据:）()A.2018B.2019C.2020D.20217.三个变量随自变量的变化情况如下表：1.003.005.007.009.0011.0051356251715364566555292452189196851771495.006.106.616.957.207.40其中关于呈对数型函数变化的变量是，呈指数型函数变化的变量是.8.某品牌汽车的月产能（万辆）与月份且满足关系式.已知该品牌汽车2021年4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车2021年7月的产能为万辆．创新拓展练9.某国2017年至2020年国内生产总值（单位：万亿元）如表所示：年份2017201820192020（年份代码）0123生产总值（万亿元）8.20678.94429.593310.2398（1）画出函数的图象，猜想与之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式;（2）利用得到的关系式求2018年和2019年的生产总值，且与表中的实际生产总值进行比较;（3）利用关系式预测2034年该国的国内生产总值.加练课4复合函数的图象与性质学习目标1.会求复合函数的定义域.2.掌握复合函数奇偶性的判定方法.3.掌握复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.4.掌握复合函数零点的求法及零点个数的判定.自主检测·必备知识一、概念辨析，判断正误1.若，则()2.函数可分解为和()3.函数的定义域与函数的值域相同.()4.若函数和的单调性相反，则函数在公共定义域内是减函数.()二、夯实基础，自我检测5.（2020陕西西安月考）已知，则的单调递增区间是()A.B.C.D.（-2，1）6.已知函数的定义域为，，则函数的定义域为.7.设为大于1的常数，函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是.互动探究·关键能力探究点一复合函数的定义域精讲精练例（2020河北石家庄二中期中）已知函数，则的定义域是()A.）B.）C.D.）解题感悟复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围.①若的定义域为[，]，则的定义域应由≤≤解出;②若的定义域为[，]，则的定义域为在[，]上的值域.提醒：定义域永远都是中的取值范围.迁移应用1.若的定义域为(0，，则函数的定义域是()A.B.，1)C.（0，1）D.探究点二复合函数的单调性精讲精练例已知函数.（1）若的定义域、值域都是，求的值;（2）当时，讨论在区间上的值域.解题感悟求复合函数的单调性需要注意的点：（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域;（2），单调性相同，则为增函数;，单调性相异，则为减函数，简称“同增异减”.迁移应用已知函数，其中.（1）求函数的定义域;（2）判断函数的单调性，并给予证明.探究点三复合函数的奇偶性精讲精练例已知函数.（1）判断的奇偶性;（2）用定义法证明是定义域内的增函数.解题感悟对于复合函数，若为偶函数，则为偶函数;若为奇函数，则的奇偶性与的奇偶性相同.其中的定义域关于原点对称.迁移应用已知函数.（1）当时，若，求的取值范围;（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由.探究点四复合函数的零点精讲精练例已知函数若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是()A.B.C.（1，2）D.解题感悟复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立;第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数.迁移应用1.已知函数若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围为()A.B.C.D.2.已知函数则函数的零点个数是.评价检测·素养提升1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()A.B.C.D.2.下列函数中，定义域为的偶函数是()A.B.C.D.3.（2021福建福州高一期末）已知函数.（1）求实数及的值;（2）判断函数的奇偶性并证明.4.（2021吉林长春外国语学校高一月考）已知函数.（1）若，求函数的单调递增区间;（2）若函数的最小值是0，求实数的值;（3）若函数的值域为，求实数的取值范围.课时评价作业基础达标练1.已知函数的定义域是，则函数的定义域为()A.B.C.）D.2.（2020贵州毕节实验高级中学高一期中）下列函数为奇函数的是()A.B.C.D.3.（2020陕西山阳校级月考）若在，上是减函数，则实数的取值范围是()A.B.C.D.4.已知函数则函数的零点个数为()A.3B.4C.5D.65.已知函数.若关于的方程有8个不等的实数根，则实数的取值范围是()A.B.C.D.6.若函数为上的偶函数，则.7.已知点在幂函数的图象上，则函数的单调递减区间是.8.已知奇函数是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是.9.（2021江苏南京鼓楼高一期末）设为正实数，且，函数.（1）若为偶函数，求的值;（2）若函数的值域为，求的取值范围.10.已知函数.（1）求的定义域;（2）解关于的不等式.素养提升练11.已知函数的定义域为（,则函数的定义域为()A.B.C.D.12.定义在上的单调函数满足：,则方程的解所在的区间是()A.B.C.（1,2）D.（2,3）13.若函数在（1,3）上单调递减,则函数的增区间是.14.已知函数函数,其中,若函数恰有4个零点,则实数的取值范围是.创新拓展练15.已知函数.（1）判断函数的奇偶性并证明;（2）若函数在区间上单调递减,且值域为,求实数的取值范围.2/211 展开更多...... 收起↑ 资源列表 4.4对数函数.pptx 4.4对数函数学案.docx 4.4对数函数教案.docx
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