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2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第六章 平面向量及其应用
3810532765知识储备
知识储备
6.1.1平面向量的基本概念
1.数量：只有大小，没有方向的量称为数量，温度，质量，面积，时间等都是数量.
2.向量：我们把既大小又有方向的量叫做向量，例如位移，力，速度，加速度等都是向量
3.有向线段：带有方向的线段叫作有向线段.在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以A 为起点、B为终点的有向线段记作false ,起点写在终点的前面.
已知false ,线段AB的长度叫作有向线段false的长度，记作|false|.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度
4.向量的表示：几何表示向量可以用有向线段表示，它的长短表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.
5.向量的模：向量false或者a的大小（或长度）叫做向量的模，记作false或false.
-1524029845例题分析
例题分析
例1.在空间直角坐标系 O?xyz 中，已知 A(?1,0,2) ， B(0,1,?1) ，点 C,D 分别在 x 轴， y 轴上，且 AD⊥BC ，那么 |CD→| 的最小值是________.
【解析】设 C(x ，0， 0) ， D(0 ， y ， 0) ，
∵A(?1 ，0， 2) ， B(0 ，1，- 1) ，
∴ AD→=(1,y,?2) ， BC→=(x,?1,1) ，
∵AD⊥BC ，
∴ AD→·BC→=x?y?2=0 ，
即 x=y+2 ．
∵ CD→=(?x,y,0) ，
∴ |CD→|?=x2+y2 =(2+y)2+y2 =2y2+4y+4
=2(y+1)2+2 ?2 ．（当 y=?1 时取最小值）
故答案为： 2
例2.向量 a=(?4,3) ，则与 a 同向的单位向量 a0= ________
【解析】∵向量 a=(?4,3) ，
∴|a|=(?4)2+32=5 ，
∴与 a 同向的单位向量 a0=(?45,35) ，
故答案为： (?45,35)
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.给出下列命题：
①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，必有 AC=A1C1 ；③ |a|=|b| 是向量 a=b 的必要不充分条件；④若空间向量 m,n,p 满足 m∥n,n∥p ，则 m∥p ．其中正确的命题的个数是（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?0
2.若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是(?? )
① AB +2 BC +2 CD+DC ;②2 AB +2 BC +3 CD +3 DA+AC ;③ AB+CA+BD ;④ AB?CB+CD?AD .
A.?①②?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?②④?????????????????????????????????????D.?①④
3.如果 a ， b 是两个单位向量，则 a 与 b 一定（??? ）
A.?相等????????????????????????????????B.?平行????????????????????????????????C.?方向相同????????????????????????????????D.?长度相等
4.已知向量 p=a|a|+b|b| ，其中 a ， b 均为非零向量，则 |p| 的取值范围是（??? ）
A.?[0,2]???????????????????????????????????B.?[0,1]???????????????????????????????????C.?(0,2]???????????????????????????????????D.?[0,2]
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 B
【解析】有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，向量 AC 与 A1C1 的方向相同，模也相等，则 AC=A1C1 ，故②正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传递性，比如当 n 为零向量时，零向量与任何向量都平行，则 m,n 不一定平行．
故答案为：B．
2.【答案】 C
【解析】① AB+2BC+2CD+DC = AB+2BD+DC = AB+BD+BD+DC = AD+BC ；② 2AB+2BC+3CD+3DA+AC = 2AC+3CA+AC = 0 ；③ AB+CA+BD = AD+CA ；④ AB?CB+CD?AD = AB+BC+CD+DA 表示 A→B→C→D→A 恰好形成一个回路，结果必为 0 ；
故答案为：C．
3.【答案】 D
【解析】因为 a ， b 是两个单位向量；
所以其模长相等，方向不定；
故答案为：D．
4.【答案】 D
【解析】因为 |a|a||=1 ， |b|b||=1 ，
则 p2=|p|2=1+1+2|a|a||?|b|b||?cos?a|a|,b|b|?=2+2?cos?a|a|,b|b|?∈[0,4] ，
开方可得 |p| 的取值范围为 [0,2] .
故答案为：D．

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