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立体几何专练（十三）—计算体积（大题）
1．如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，，，求多面体的体积．
2．如图，已知四棱柱的底面为菱形，，，为上一点，过和点的平面分别交，于点，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，，求四棱锥的体积．
3．如图，在三棱锥中，，，，，点为边的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求三棱柱的体积．
4．如图，在长方形中，，，、为线段的三等分点，、为线段的三等分点．将长方形卷成以为母线的圆柱的半个侧面，、分别为圆柱上、下底面的直径．
（1）证明：平面平面；
（2）若为的中点，求三棱锥的体积．
5．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，，点是棱的中点，，点在平面的射影为，为棱上一点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面，，求四棱锥的体积．
6．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，
，，其中，为与的交点，为棱上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，求三棱锥的体积的最大值．
7．在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是上一点，且三棱锥与四棱锥的体积之比为，与的延长线交于点，连接．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若三棱锥的体积为，求线段的长．
立体几何专练（十三）—计算体积（大题）
1．如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，，，求多面体的体积．
解：（Ⅰ）证明：设与交于，连接，
由于，可得，
由四边形为菱形，可得，
由于，可得平面四边形，
而，为平面内的两条相交直线，
所以平面，
而平面，
所以平面平面；
（Ⅱ）由，，可得，，
由，，
可得，
由，可得，可得为梯形的高，
又，
所以梯形的面积为，
由平面，
可得多面体的体积为．
2．如图，已知四棱柱的底面为菱形，，，为上一点，过和点的平面分别交，于点，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，，求四棱锥的体积．
（1）证明：四边形为菱形，．
又，，．
又，平面．
平面，平面平面，．
，，平面，平面平面．
（2）解：，．
在△中，过点作交于点．
，．
由（1）知平面平面．
，平面．
又平面，由等体积法得：
．
3．如图，在三棱锥中，，，，，点为边的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求三棱柱的体积．
证明：（1）由题意，平面，
平面，可得，
又△为等边三角形，点为边的中点，可得，
与相交于点，则平面，平面，
平面平面．
解：（2）因为为直角三角形，，
所以，
由（1）可知，在直角三角形中，
，，
可得，故，
所以，三棱柱的体积的体积为．
4．如图，在长方形中，，，、为线段的三等分点，、为线段的三等分点．将长方形卷成以为母线的圆柱的半个侧面，、分别为圆柱上、下底面的直径．
（1）证明：平面平面；
（2）若为的中点，求三棱锥的体积．
证明：（1）因为在下底面圆周上，且为下底面半圆的直径
所以，
又因为，且，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
解：（2）设下底面半径为，
由题，所以，
因为下底面半圆圆心为，
所以
又因为、为的三等分点，
所以，，均为边长等于1的等边三角形，
所以的面积，
所以三棱锥的体积．
5．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，，点是棱的中点，，点在平面的射影为，为棱上一点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面，，求四棱锥的体积．
证明：（1）平面，平面，
依题意是等边三角形，为棱的中点，，
又，，平面，平面，
平面，平面平面．
解：（Ⅱ）取的中点，连结，，
底面是菱形，是棱的中点，，
平面，平面，平面，
平面，，平面平面，
又平面平面，平面平面，
，为的中点，
，
点到平面的距离为，
四棱锥的体积：
．
6．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，
，，其中，为与的交点，为棱上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，求三棱锥的体积的最大值．
证明：（1）平面，平面，
，
四边形是菱形，，
又，平面，
平面，平面平面．
解：（2）连结，取的中点，连结，
平面，平面平面，平面，
，
是的中点，是的中点，
四边形是菱形，，，
又，，
平面，且，
．
由基本不等式．
当且仅当时取等号，即三棱锥的体积的最大值为．
7．在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是上一点，且三棱锥与四棱锥的体积之比为，与的延长线交于点，连接．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若三棱锥的体积为，求线段的长．
解：（Ⅰ）证明：平面，
，
底面是矩形，
，
平面，
平面平面；
（Ⅱ）三棱锥与四棱锥的体积之比为，
，
，
设，，
则，
得，
又，
，
得，
，
得，
即．

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