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8.2.3事件的独立性
高二数学 选修2-3
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
②两个互斥事件A、B的概率加法公式是什么？
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.
P(A B)=P(A)+P(B)
P(A)+P(?)=1
复习回顾
④条件概率计算公式:
复习回顾
俗话说：“三个臭皮匠抵个诸葛亮”。
我们是如何来理解这句话的？
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛亮吗？
问题提出
那么，臭皮匠联队赢得比赛的概率为
因此，合三个臭皮匠之力，把握就大过诸葛亮了！
设事件A：老大解出问题；事件B：老二解出问题；
事件C：老三解出问题；事件D：诸葛亮解出问题
则
你认同以上的观点吗？
①事件的概率不可能大于1
②公式 运用的前提：事件A、B、C彼此互斥.
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次无放回地抽取，问：最后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中奖”。
答:事件A的发生会影响事件B发生的概率
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中奖”。
答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
相互独立的概念
1.定义法:P(A∩B)=P(A)P(B)
2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率
B发生与否不影响A发生的概率
判断两个事件相互独立的方法
注意:
(1)互斥事件:两个事件不可能同时发生
(2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响
当事件的全集 和 独立，对于 和 ，有P(A∩B)=P(A)P(B)。
这时也称事件A，B独立。
[思考1]：判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙射中8环；
互斥
相互独立
相互独立
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合格”与“乙的成绩优秀”
思考与探究
[思考2]：甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛子里有2个白球,2个黑球,设从甲坛子里摸出一个球,得出白球叫做事件A,从乙坛子里摸出1个球,得到白球叫做事件B,
甲
乙
从甲坛子里摸出1个球,得到黑球
从乙坛子里摸出1个球,得到黑球
相互独立
相互独立
相互独立
A与B是相互独立事件.
例1.投掷一枚骰子和一枚硬币,计算骰子出现2或4点,硬币正面朝上的概率.
例2.同学甲的数学作业得优的概率是0.8,同学乙的语文作业得优的概率是0.7.今天同时留了数学和语文作业,计算甲的数学得优、乙的语文没得优的概率。
例题分析
　即两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。
2.推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率
P(A1A2…An)= P(A1)·P(A2)·…·P(An)
1.若A、B是相互独立事件，则有P(A∩ B)= P(A)·P(B)
应用公式的前提：
1.事件之间相互独立
2.这些事件同时发生.
相互独立事件的概率乘法公式
等于每个事件发生的概率的积.即：
例3 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
（2）其中恰有1人击中目标的概率
（3）至少有一人击中目标的概率
解：(1) 记“甲射击1次,击中目标”为事件A.
记“乙射击1次,击中目标”为事件B.
答：两人都击中目标的概率是0.36
则A与B相互独立.
P(A ∩ B)=P(A) ?P(B)=0.6×0.6＝0.36
例题分析
例3 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：
(2) 其中恰有1人击中目标的概率？
分析：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中, 乙未击中（事件 ），另外
答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.
根据互斥事件的概率加法公式和相互独立
事件的概率乘法公式，所求的概率是

甲未击中，乙击中（事件??B）。
B
A?
根据题意，这两
种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件??B与
互斥，
B
A
·
例3 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：
（3）至少有一人击中目标的概率.
解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是
解法2：两人都未击中的概率是
答：至少有一人击中的概率是0.84.
（4）至多有一人击中
目标的概率；
（5）目标被击中的概率。
牛刀小试
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学符号语言表示下列关系
① A、B、C同时发生概率；
② A、B、C都不发生的概率；
③ A、B、C中恰有一个发生的概率；
④ A、B、C中恰有两个发生的概率；
⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
(1)A发生且B发生且C发生
(2)A不发生且B不发生且C不发生
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学符号语言表示下列关系
① A、B、C同时发生概率；
② A、B、C都不发生的概率；
③ A、B、C中恰有一个发生的概率；
④ A、B、C中恰有两个发生的概率；
⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
牛刀小试
例4、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）“都抽到中奖号码”；
（2）“恰有一次抽到中奖号码”；
（3）“至少有一次抽到中奖号码”。
解: 记“第一次抽奖抽到中奖号码”为事件A， “第二次抽奖抽到中奖号码”为事件B，
变式:“至多有一次抽到中奖号码”。
明确问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？
解决问题
引例的解决
略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过
诸葛亮.
这种情况下至少有几个臭皮匠才能顶个诸葛亮呢？
已知诸葛亮解出问题的概率为0.9,
三个臭皮匠解出问题的概率都为0.1,
且每个人必须独立解题，问三个臭
皮匠中至少有一人解出的概率与诸
葛亮解出的概率比较，谁大？
探究:
此时合三个臭皮匠之力的把握不能大过诸葛亮!
分析:
例4：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是合格，则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响。
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。
互斥事件
相互独立事件

不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.
如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件
P(A∪B)=P(A)+P(B)
P（A ∩ B）= P(A)P(B)
互斥事件A、B中有一个发生，
相互独立事件A、B同时发生,
计算
公式
符号
概念
小结反思
记作:A∪B(或A+B)
记作:A ∩ B
作业布置
课本59页习题4的1、2、3
巩固练习
1、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨
的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互
之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都下雨的概率；
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
（3）其中至少有一方下雨的概率.
P=0.2×0.3＝0.06
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
P=1-0.56=0.44
解题步骤：
1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B.
2.理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥;
互独; 对立). 关键词 如“至多” “至少” “同时” “恰有”.
求“至多” “至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的概率.
3.寻找所求事件与已知事件之间的关系.
“所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件)
还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
4.根据公式解答
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次.
则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白).
从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是___
14
25
3
5
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率
分别是m, n . 则此题被解对的概率是_______
m+n- mn
4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 .
则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____
13
30
P(A+B)=P(A·B)+P(A·B) +P(A·B)=1- P(A·B)
6.在100件产品中有4件次品.
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为___
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C42
C1002
C41·C31
C1001·C991
C41·C41
C1001·C1001
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别
为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__.
(1-a)(1-b)

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