资源简介

《课时备课工具——“导评用”案》
第
八
章：
第
5
单元
第
1
课时
共
3
课时
学
科
数学
课
型
新授课
课
题
8.6.1直线与直线垂直(1)
知识梳理
特殊到一般，具体到抽象的思维方法
空间两直线的位置关系
本节知识
线面垂直
转化划归的数学素养
教学重点
异面直线所成角
教学难点
异面直线所成角的求法
板书设计
直线与直线垂直
例1
2、异面直线所成角
例2
学习目标
1.会判断空间两直线垂直的位置关系.
2.理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角.
3.会证明两直线垂直.
4.通过对空间两直线垂直的学习,培养直观想象、逻辑推理的素养.
5.通过求异面直线所成角,培养逻辑推理、数学运算的素养.
核心情境
已知正方体ABCD-A1B1C1D1.阅读教材回答问题:图中直线AB与CD的位置关系是什么?直线AB与
CD所成的角是多少度?异面直线垂直的定义是什么?
学习任务一：空间中两条直线垂直
学习评价：回忆平面几何中垂直的证明，温故知新
教学过程：
例1.在正方体AC1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,
求证:DB1⊥EF.
解析
如图所示,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.
则OG∥B1D,EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,
∴GO⊥A1C1,
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°,∴DB1⊥EF.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结：
要证DB1⊥EF,应先构造DB1与EF所成的角,再证明这个角是直角即可.
学习任务二：求异面直线所成的角
学习评价：加深对异面直线所成角的理解。
教学过程：
例2.
如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小;
(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小
解析　(1)如图所示,连接AC,AB1.由六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体知,
四边形AA1C1C为平行四边形,∴AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.在△AB1C中,由AB1=AC=B1C,可知∠B1CA=60°,
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)如图所示,连接BD.由(1)知AC∥A1C1,
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
∵EF是△ABD的中位线,∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD,∴AC⊥EF,∴EF⊥A1C1,即A1C1与EF所成的角为90°.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结：求异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角:通过作平行线或平移其中一条直线,作出异面直线所成的角.
(2)计算角:在三角形中求角度.
(3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
学习任务三：直观想象、逻辑推理
学习评价：锻炼应用能力、操作能力
教学过程：
例3.如图,在三棱锥A-BCD中,AC⊥BD,E在棱AB上,
F在棱CD上,并使AE∶EB=CF∶FD=m(m>0),设α为异面
直线EF和AC所成的角,β为异面直线EF和BD所成的角,试求α+β的值.
解析
过点F作MF∥BD,交BC于点M,连接ME,
则CM∶MB=CF∶FD
=m,
又因为AE∶EB=CF∶FD=m,
所以CM∶MB=
AE∶EB,
所以EM∥AC,
所以α=∠MEF,β=∠MFE,AC与BD所成的角为∠EMF.
因为AC⊥BD,所以∠EMF=90°,
所以α+β=90°.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结：在数学中,我们常用类似的问题来启发我们的解题思路,这就是类比思维.它根据两类不同对象甲、乙之间的某些属性的相似,而从甲具有某种其他属性便猜想乙也具有这种属性.类比思维是创新思维的起始阶段,是提出新问题和获得新发现的一条重要途径.
堂测：
1.若空间中的三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c(　　).
A.一定平行
B.一定垂直
C.一定是异面直线
D.一定相交
解析
∵a⊥b,b∥c,∴a⊥c.
2.四面体ABCD中,E,F分别为AC,BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为(　　).
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析
取AD的中点H,连接FH,EH,在△EFH中,∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°,故选A.
如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成角的大小是　　　　.?
解析
连接AD1,则AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角,
连接CD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC=AD1=CD1,
∴∠CAD1=60°,即AC与BC1所成的角为60°.
4.
如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角.
　解析　因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.
课堂小结
课后作业
课堂反思《课时备课工具——“导评用”案》
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8.6.1直线与直线垂直(1)
知识梳理
特殊到一般，具体到抽象的思维方法
空间两直线的位置关系
本节知识
线面垂直
转化划归的数学素养
教学重点
异面直线所成角
教学难点
异面直线所成角的求法
板书设计
直线与直线垂直
例1
2、异面直线所成角
例2
学习目标
1.会判断空间两直线垂直的位置关系.
2.理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角.
3.会证明两直线垂直.
4.通过对空间两直线垂直的学习,培养直观想象、逻辑推理的素养.
5.通过求异面直线所成角,培养逻辑推理、数学运算的素养.
核心情境
已知正方体ABCD-A1B1C1D1.阅读教材回答问题:图中直线AB与CD的位置关系是什么?直线AB与
CD所成的角是多少度?异面直线垂直的定义是什么?
学习任务一：空间中两条直线垂直
学习评价：回忆平面几何中垂直的证明，温故知新
教学过程：
例1.在正方体AC1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,
求证:DB1⊥EF.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结：
要证DB1⊥EF,应先构造DB1与EF所成的角,再证明这个角是直角即可.
学习任务二：求异面直线所成的角
学习评价：加深对异面直线所成角的理解。
教学过程：
例2.
如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小;
(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结：求异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角:通过作平行线或平移其中一条直线,作出异面直线所成的角.
(2)计算角:在三角形中求角度.
(3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
学习任务三：直观想象、逻辑推理
学习评价：锻炼应用能力、操作能力
教学过程：
例3.如图,在三棱锥A-BCD中,AC⊥BD,E在棱AB上,
F在棱CD上,并使AE∶EB=CF∶FD=m(m>0),设α为异面
直线EF和AC所成的角,β为异面直线EF和BD所成的角,试求α+β的值.
任务解析/教师点评/设计意图：
方法总结：在数学中,我们常用类似的问题来启发我们的解题思路,这就是类比思维.它根据两类不同对象甲、乙之间的某些属性的相似,而从甲具有某种其他属性便猜想乙也具有这种属性.类比思维是创新思维的起始阶段,是提出新问题和获得新发现的一条重要途径.
堂测：
1.若空间中的三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c(　　).
A.一定平行
B.一定垂直
C.一定是异面直线
D.一定相交
2.四面体ABCD中,E,F分别为AC,BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为(　　).
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成角的大小是　　　　.?
4.
如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角.
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