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第六章计数原理
第六章计数原理
6.2 排列与组合
6.2 排列与组合
知识解读
知识解读

知识点一排列
排列的定义:一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序_________一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
排列数的定义:
从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_________不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号_________表示
排列数公式的两种形式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且_________
(2)A＝.
全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：_________
排列相同的条件
两个排列相同的充要条件：
(1)两个排列的_________完全相同．
(2)元素的排列_________也相同．
知识点二组合
组合定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素_________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_________表示．
组合数公式
组合数
公式
乘积
形式
C＝，
其中m，n∈N*，并且_________

阶乘
形式
C＝
规定：C＝1.
组合数的性质
性质1：C＝C.
性质2：C＝C＋C.
知识点三排列与组合的关系
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系
组合数C与排列数A间存在的关系
A＝CA
知识归纳
知识归纳
排列数与组合数

定义
计算公式
性质
联系
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“A”表示
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)
(1)A＝n！；
(2)0！＝1
C＝
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“C”表示
C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)
(1)C＝C＝1；
(2)C＝C；
(3)C＝C＋C

课后小练
课后小练
1．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．
（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
（3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？
2．判断下列问题是否是排列问题.
（1）同宿舍4人，每两人互通一封信，他们一共写了多少封信？
（2）同宿舍4人，每两人通一次电话，他们一共通了几次电话？
3．有false个男生和false个女生，从中选取false人担任false门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
（1）有女生但人数必须少于男生；
（2）某女生一定要担任语文科代表；
（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.
4．（1）从false本不同的书中选false本送给false名同学，每人各false本，共有多少种不同的送法？
（2）从false种不同的书中买false本送给false名同学，每人各false本，共有多少种不同的送法？
5．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率.
6．从false，false，false，false，false这七个数字中任取三个不同的数字，分别作为函数false的系数false，false，false，求：
false可组成多少个不同的二次函数？
false其中对称轴是false轴的抛物线有多少条？
7．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.试问：
（1）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）
参考答案
1．（1）98(个)；（2）194(个)；（3）114个．
【详解】
解：（1）所作出的平面有三类．
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有false个．
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有false个．
③α，β本身，有2个．
故所作的平面最多有false＋false＋2＝98(个)．
（2）所作的三棱锥有三类．
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有false个．
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有false个．
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有false个．
故最多可作出的三棱锥有false＋false＋false＝194(个)．
（3）当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等．
所以体积不相同的三棱锥最多有false＋false＋false＝114(个)．
故最多有114个体积不同的三棱锥．
2．（1）是；（2）不是.
【详解】
（1）是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序排好.
（2）不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话.
3．（1）540；（2）840；（3）3360；（4）360.
【详解】
（1）先取后排，有false种，后排有false种，共有false种；
（2）除去该女生后先取后排：false种；
（3）先取后排，但先安排该男生：false种；
（4）先从除去该男生该女生的false人中选false人有false种，再安排该男生有false种，其余false人全排有false种，共false种.
4．（1）60；（2）125.
【详解】
（1）从false本不同的书中选出false本分别送给false名同学，
对应于从false个不同元素中任取false个元素的一个排列，
因此不同送法的种数是false.
（2）由于有false种不同的书，送给每个同学的false本书都有false种不同的选购方法，
因此送给false名同学每人各false本书的不同方法种数是false.
5．false
【详解】
甲、乙两单位从偶数中选出2个位置再排序，其余的全排列共有：falsefalse，
所以甲、乙两单位的演出序号都在偶数的概率为：false，
所以甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率为false.
6．false180个；false30条.
【详解】
解：false由二次函数的定义，false，则false有false种取法；在剩下的false个数字中取两个作为false和false，有false种．所以共有二次函数false（个）；
false要求对称轴是false轴，则false，在余下的6个数字中取两个作为false和false，有false条.
7．（1）576；（2）144
【详解】
解：可知从1到7的7个数字中，有3个偶数，4个奇数，
（1）五位数中，偶数排在一起的有：false个，
（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有：false个.

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