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函数的对称与周期
必备基础知识：
函数的周期性-----差为定值必有周期
若,则是周期为的函数；
若,则是周期为的函数;
若，则是周期为2的函数；
若，则；
若，则.
可简记为：系数为1差为周期，否则差二倍为周期
函数的对称性----和为定值必有对称
若,则函数关于直线
对称;
若,则函数关于点对称；
若,则函数关于点对称；
3.周期与对称的关系---二次对称必有周期
若图象有两条对称轴，则是周期函数，且周期为；
若图象有两个对称中心，则是周期函数，且周期为；
如果函数的图象有一个对称中心和一条对称轴，则函数是周期函数，且周期为.
特例：函数为奇函数等价于函数的图象关于原点对称，注意的应用；
函数为偶函数等价于函数的图象关于y轴对称.
注意：这里面提到的周期不一定是函数的最小正周期.这个知识点经常和函数的奇偶性联系到一起，已知.然后再推到函数的周期.
典型例题
例1
（2021年全国高考甲卷数学（文）12）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得：，
而，故.故选：C.
跟踪：（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
例2
.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=
.
【答案】-2
【解析】
跟踪：
【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，
；当
时，；当
时，
.则f(6)=
（
）
（A）?2
（B）?1
（C）0
（D）2
【答案】D
例3
（2021年全国高考甲卷数学（理）12）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【分析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．故选：D．
跟踪：
例4
（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2?x），若函数
y=|x2?2x?3|与y=f（
x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则
A．0
B．m
C．2m
D．4m
【答案】B
【详解】
试题分析：因为的图像都关于对称，所以它们图像的交点也关于对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为，因此选B.
跟踪：（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】：由题意得,函数和的图象都关于对称,所以两函数的交点也关于对称,对于每一组对称点和，都有.从而.故选B.
课后训练：
1.
(1996年高考)
(15)
设f(x)是(－∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于
(
)
(A)
0.5
(B)
－0.5
(C)
1.5
(D)
－1.5
答案：B
2.已知是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数，若当时，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，∴即
∵f(x)是周期为2的奇函数
∴
3.若定义在R上的偶函数满足，且当时，则方程的解个数是（
）
A．0个
B．2个
C．4个
D．6个
4.已知函数是R上的偶函数，若对于，都有，则的值为
A.
B.
C.1
D.2
【答案】C
【解析】由函数是上的偶函数及时得
5．已知函数是上的奇函数且满足，则
的值为
A.0
B
1
C.
2
D.4
【答案】A
【解析】∵
∴
∴5为函数的一个周期，∴
∴，1为函数的一个周期，∴
6.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．
7.（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知函数，则
A．在（0，2）单调递增
B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称
D．的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【详解】
由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
8.【云南省昆明市第一中学2016届高中新课标高三第二次双基检测文】
解析：因为函数的图像关于直线对称，所以，又由函数是定义在上的奇函数，得，所以.
9.【云南师大附中2014届月考（一）理】已知偶函数对满足，且当时，，则的值为
A．2011
B．2
C．1
D．0
解：由已知，可判断是以4为周期的周期函数，又∵是R上的偶函数，
，又当?时，，
∴，故选C．
10.【云南师大附中2014届月考（六）文】定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，且f（x）=﹣，f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）=　　　　　　．
解答：
解：∵，则，
所以f（x）=f（x+3），
即函数f（x）是以3为周期的周期函数，
令x=﹣1，则，故而，
由函数图象关于点对称，所以，
令，则，则f（﹣2）=1，
所以f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）=0，
故：f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（1）+f（2）=f（﹣2）+f（﹣1）=2．
故答案为：2
11.【云南省部分名校2014届高三第一次联考数学文】已知函数上的奇函数，对于时，
的值为(
C
)
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
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函数的对称与周期
必备基础知识：
函数的周期性-----差为定值必有周期
若,则是周期为的函数；
若,则是周期为的函数;
若，则是周期为2的函数；
若，则；
若，则.
可简记为：系数为1差为周期，否则差二倍为周期
函数的对称性----和为定值必有对称
若,则函数关于直线
对称;
若,则函数关于点对称；
若,则函数关于点对称；
3.周期与对称的关系---二次对称必有周期
若图象有两条对称轴，则是周期函数，且周期为；
若图象有两个对称中心，则是周期函数，且周期为；
如果函数的图象有一个对称中心和一条对称轴，则函数是周期函数，且周期为.
特例：函数为奇函数等价于函数的图象关于原点对称，注意的应用；
函数为偶函数等价于函数的图象关于y轴对称.
注意：这里面提到的周期不一定是函数的最小正周期.这个知识点经常和函数的奇偶性联系到一起，已知.然后再推到函数的周期.
典型例题
例1
（2021年全国高考甲卷数学（文）12）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（
）
A．
B．
C．
D．
跟踪：（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A．
B．
C．
D．
例2
.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=
.
跟踪：
【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，
；当
时，；当
时，
.则f(6)=
（
）
（A）?2
（B）?1
（C）0
（D）2
例3
（2021年全国高考甲卷数学（理）12）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
跟踪：
例4
（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2?x），若函数
y=|x2?2x?3|与y=f（
x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则
A．0
B．m
C．2m
D．4m
跟踪：（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0
B．
C．
D．
课后训练：
1.
(1996年高考)
(15)
设f(x)是(－∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于
(
)
(A)
0.5
(B)
－0.5
(C)
1.5
(D)
－1.5
2.已知是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数，若当时，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3.若定义在R上的偶函数满足，且当时，则方程的解个数是（
）
A．0个
B．2个
C．4个
D．6个
4.已知函数是R上的偶函数，若对于，都有，则的值为
A.
B.
C.1
D.2
5．已知函数是上的奇函数且满足，则
的值为
A.0
B
1
C.
2
D.4
6.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A．
B．
C．
D．
7.（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知函数，则
A．在（0，2）单调递增
B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称
D．的图像关于点（1，0）对称
8.【云南省昆明市第一中学2016届高中新课标高三第二次双基检测文】
9.【云南师大附中2014届月考（一）理】已知偶函数对满足，且当时，，则的值为
A．2011
B．2
C．1
D．0
10.【云南师大附中2014届月考（六）文】定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，且f（x）=﹣，f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）=　　　　　　．
11.【云南省部分名校2014届高三第一次联考数学文】已知函数上的奇函数，对于时，
的值为(
)
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
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