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第二节
电势差
一、电势差
1.定义：在电场中，两点之间电势的差值，也叫作电压
2.表达式
则可知
【示例】
如图所示为空间中一条电场线
两点电势分别为、，将一正电点电荷从移至，电场力做功可表示为
3.电场力做功的两个表达式
①
从经典力学的角度可写为
②
从电势差的角度可写为
或
【典例1】在电场中A、B两点间电势差为UAB＝75
V，B、C两点间电势差UBC＝－200
V，则A、B、C三点的电势高低关系为（　　）
A．φA>φB>φC　
B．φA<φC<φB
C．φC>φA>φB
D．φC>φB>φA
【答案】C
【解析】
因为UAB＝φA－φB＝75
V>0，所以φA>φB，因为UBC＝φB－φC＝－200
V<0，所以φB<φC，又UAC＝UAB＋UBC＝75
V＋(－200)V＝－125
V<0，所以φA<φC，则φC>φA>φB，C正确。
【练习1】（多选）关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是（　　）
A.UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA
B.UAB和UBA是不同的，它们有关系UAB＝－UBA
C.φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量
D.电势零点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点
【答案】BD
【解析】
UAB表示A点相对于B点的电势差，UAB＝φA－φB，A错误；UBA表示B点相对于A点的电势差，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，B正确；电势是标量，正负号是相对于零电势点而言的，正号表示高于零电势点，负号表示低于零电势点，C错误；零电势点理论上是可以任意选取的，但通常取无穷远处或大地为零电势点，D正确。
【练习2】有一带电荷量q＝－3×10－6
C的点电荷，从电场中的A点移到B点时，克服静电力做功6×10－4
J，从B点移到C点时，静电力做功9×10－4
J。求：
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少？
(2)如果B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？
【答案】(1)200
V　－300
V　100
V
【解析】
(1)根据U＝
则UAB＝
V＝200
V
即φA－φB＝200
V
UBC＝
V＝－300
V
即φB－φC＝－300
V
UCA＝φC－φA＝100
V。
(2)若φB＝0，则φA＝200
V，φC＝300
V
EpA＝φAq＝200×(－3×10－6)
J＝－6×10－4
J
EpC＝φCq＝300×(－3×10－6)
J＝－9×10－4
J。
二、等势面
1.定义：在电场中电势相同的各点构成的面叫作等势面。
2.特点
①
等势面上各点电势相等，在等势面上移动电荷，电场力不做功
②
等势面一定跟电场线处处垂直
③
电场线总是由电势较高的等势面指向电势较低的
④
两个不同的等势面永不相交
⑤
在等差等势面密处电场强度较大，在等差等势面疏处电场强度较小
3.几种常见电场中等势面的分布
①
点电荷等势面的分布
②
等量同种点电荷等势面的特点
假设两点电荷连线和其中垂线的交点为。在两点电荷连线上，点的电势最小；在中垂线上，点电势最小。
③
等量异种点电荷等势面的特点
假设两点电荷连线和其中垂线的交点为。在两点电荷连线上，从左向右，电势降低；在中垂线上，电势均相等，中垂面为等势面。
④
匀强电场的等势面特点
等差等势面均匀分布。
【典例2】（多选）如图所示，真空中M、N处分别放置两等量异种电荷，a、b、c表示电场中的3条等势线，d点和e点位于a等势线上，f点位于c等势线上，df平行于MN。以下说法正确的是（　　）
A.d点的电势高于f点的电势
B.d点的电势与e点的电势相等
C.若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点，则静电力先做正功、后做负功
D.若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点，试探电荷的电势能增加
【答案】AB
【解析】
电场线从M指向N，而沿电场方向电势降低，所以d点的电势高于f点的电势，选项A正确；d点和e点在同一条等势线上，所以两点电势相等，选项B正确；若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点过程中，静电力方向与运动方向夹角为钝角，所以静电力一直做负功，选项C错误；若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点，过程始末试探电荷的电势相等，所以静电力做功为零，电势能不变，选项D错误。
【典例3】在维护和检修高压供电线路时，为了不影响城市用电，电工经常要在高压线上带电作业。为了保障电工的安全，电工全身要穿上用金属丝线编织的衣服。如图所示电工站在高压直流输电线的A供电线上作业，其头顶上方有B供电线，B供电线的电势高于A电线的电势。虚线表示电工周围某一截面上的等势线，c、d、e、f是等势线上的四个点。以下说法正确的是（　　）
A．在c、d、e、f四点中，c点的电场最强
B．在c、d、e、f四点中，f点的电势最高
C．若将某电子由c移到f，其电势能将增大
D．将某电子在d点由静止释放，它会向e点所在等势面运动
【答案】C
【解析】
依据等差等势线的疏密表示场强大小可知，在c、d、e、f四点中，f点的电场最强，故A错误；沿着电场线方向，电势是降低的，因B供电线的电势高于A电线的电势，则在c、d、e、f四点中，c点的电势最高，故B错误；若将某电子由c移到f，即从高电势到低电势，其电势能将增大，故C正确；将某电子在d点由静止释放，在电场力作用下，它会向c点所在等势面运动，故D错误。
【练习3】（多选）如图所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在x轴上有A、B两点，则（　　）
A．A、B两点的场强方向与x轴同向
B．A、B两点的场强方向与x轴反向
C．A点的场强EA大于B点的场强EB
D．A点的场强EA小于B点的场强EB
【答案】AD
【解析】
由电场线与等势面的关系可知，电场线一定与等势面垂直，由电势较高的等势面指向电势较低的等势面，作出相对应的电场线的分布，如图所示。
则可知A、B两点处的场强方向与x轴同向。由电场线的疏密可知，A点处的场强EA小于B点处的场强EB。
【练习4】（多选）位于A、B处的两个带有不等量负电荷的点电荷在平面内电势分布如图所示，图中实线表示等势线，则（　　）
A.a点和b点的电场强度相同
B.正电荷从c点移到d点，电场力做正功
C.负电荷从a点移到c点，电场力做正功
D.正电荷从e点沿图中虚线移到f点，电势能先减小后增大
【答案】CD
【解析】
a点的等势面比b点的稀疏，故a点的电场强度比b点的小，而且两点场强方向也不同，A项错误.c点电势低于d点，正电荷从c点移到d点，即正电荷向高电势处移动，电场力做负功，B项错误.a点电势低于c点，从a到c，把负电荷移向高电势处，电场力做正功，C项正确.从e沿题图中虚线到f，电势先变低后变高，故沿此方向移动正电荷，电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，D项正确.
【练习5】如图所示，实线为一正点电荷的电场线，虚线为其等势面.A、B是同一等势面上的两点，C为另一等势面上的一点，下列判断正确的是（　　）
A.A点场强与B点场强相同
B.C点电势高于B点电势
C.将电子从A点沿虚线移到B点，电场力不做功
D.将质子从A点移到C点，其电势能增加
【答案】C
【解析】
A、B两点场强大小相等、方向不同，A项错误；A、B两点电势相等，均高于C点电势，B项错误；A、B在同一等势面上，将电子从A点沿虚线移到B点，电势能不变，电场力不做功，C项正确；由于φA＞φC，质子带正电，故由A点到C点，质子的电势能减少，D项错误。
判断电势能大小的方法
将正点电荷从点移至点，电势能如何变化？
①
通过做功判断
从点移至点，电场力做正功，电势能减小
②
通过电势判断
电势大小满足，根据电势能可知
【典例4】（多选）某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，沿图中虚线由M运动到N，以下说法正确的是（　　）
A.粒子是正电荷
B.粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
C.粒子在M点的电势能小于在N点的电势能
D.粒子在M点的动能小于在N点的动能
【答案】ABD
【解析】
带电粒子在电场中运动时，受到的静电力的方向指向运动轨迹的凹侧，由此可知，带电粒子受到的静电力的方向为沿着电场线向上，所以此粒子为正电荷，故A正确；由电场线的分布可知，电场线在N点较密，所以粒子在N点时受到的静电力大，在N点的加速度大，故B正确；从M点到N点的过程中，静电力对粒子做正功，所以粒子的电势能要减小，动能增加，即粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，在M点的动能小于在N点的动能，故C错误，D正确。
【练习6】（多选）如图所示，虚线A、B、C表示某电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，一电子从右侧垂直等势面A向左进入电场，运动轨迹与等势面分别交于a、b、c三点，则可以判断（　　）
A.三个等势面的电势大小为φA>φB>φC
B.三个等势面的电势大小为φC>φB>φA
C.电子由a到c电势能不断减小
D.电子由a到c动能不断减小
【答案】AD
【解析】
由等势面画出电场线如图所示
电子在c点受力和运动方向如图，并由此进一步得出电场线垂直等势面指向左，φA>φB>φC，A正确，B错误；从a至c静电力做负功，电势能不断增加，动能不断减小，C错误，D正确。
【练习7】如图所示，孤立点电荷＋Q固定在正方体的一个顶点上，与＋Q相邻的三个顶点分别是A、B、C，下列说法正确的是（　　）
A.A、B、C三点的场强相同
B.A、B、C三点的电势相同
C.A、B、C三点所在的平面为一等势面
D.将一电荷量为＋q的检验电荷由A点沿直线移动到B点的过程中电势能始终保持不变
【答案】B
【解析】
正点电荷的电场强度方向呈放射状，所以A、B、C三点电场强度大小相等，方向不同，故A错误；点电荷＋Q周围的等势面是以＋Q为球心的一簇球面，因为A、B、C三点与＋Q之间的距离相同，即A、B、C位于同一等势面上，但A、B、C三点所在平面不是等势面，故B正确，C错误；同理知，直线A、B不在同一等势线上，所以电荷从A点沿直线移到B点的过程中电势能会变化，故D错误.
【练习8】某带电粒子仅在电场力作用下由A点运动到B点，电场线、粒子在A点的初速度及运动轨迹如图所示，可以判定（　　）
A.粒子带负电
B.粒子的加速度减小
C.粒子的动能增加
D.粒子的电势能增加
【答案】C
【解析】
粒子所受的电场力方向指向轨迹的内侧，与电场线的切线方向一致，可知粒子带正电，A错误；由电场线的疏密程度可知粒子在A点所受的电场力小于在B点所受的电场力，故粒子的加速度增加，B错误；由运动轨迹的弯曲方向知粒子在运动过程中，电场力对其做正功，则其动能增加，电势能减小，C正确，D错误.
【练习9】如图所示，一带电粒子仅在电场力作用下沿着图中曲线JK穿过一匀强电场，a、b、c、d为该电场的等势面，可以确定（　　）
A.该粒子带正电
B.电场方向垂直等势面向左
C.电场方向垂直等势面向右
D.从J到K运动过程中粒子的电势能减小
【答案】D
【解析】
根据受到的电场力方向指向轨迹内侧可知粒子受到的电场力水平向右，若粒子带正电，则电场方向水平向右，若粒子带负电，则电场方向水平向左，无论粒子带什么电，从J到K运动过程中电场力方向和运动方向的夹角都为锐角，电场力做正功，电势能减小，故D正确.
【练习10】如图所示，虚线a、b、c是电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相同，实线为一带正电的质点仅在静电力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点，下列说法中正确的是（　　）
A.三个等势面中，等势面a的电势最高
B.带电质点一定是从P点向Q点运动
C.带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时小
D.带电质点通过P点时的动能比通过Q点时小
【答案】D
【解析】
由等势面画出电场线如图所示
根据轨迹判断受力方向指向曲线内侧，由于是正电荷，可判断出c的电势最高，A错；带电质点运动方向无法判断，B错；等差等势面密集处场强大，带电质点在P点的场强大于在Q点的场强，在P点的加速度大于在Q点的加速度，C错；若从P向Q运动，电场力做正功，EkP【练习11】如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将另一点电荷从A点由静止释放，运动到B点时速度正好变为零，若此电荷在A点处的加速度大小为g，静电力常量为k，求：
(1)此电荷在B点处的加速度；
(2)A、B两点间的电势差(用k、Q和h表示).
【答案】(1)3g，方向竖直向上　(2)－
【解析】
(1)由题意可知，这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律得，在A点时：mg－k＝m·g.在B点时：k－mg＝m·aB，解得aB＝3g，方向竖直向上.
(2)从A到B的过程，由动能定理得mg(h－0.25h)＋qUAB＝0，解得UAB＝－.
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电势差
一、电势差
1.定义：在电场中，两点之间电势的差值，也叫作电压
2.表达式
则可知
【示例】
如图所示为空间中一条电场线
两点电势分别为、，将一正电点电荷从移至，电场力做功可表示为
3.电场力做功的两个表达式
①
从经典力学的角度可写为
②
从电势差的角度可写为
或
【典例1】在电场中A、B两点间电势差为UAB＝75
V，B、C两点间电势差UBC＝－200
V，则A、B、C三点的电势高低关系为（　　）
A．φA>φB>φC　
B．φA<φC<φB
C．φC>φA>φB
D．φC>φB>φA
【练习1】（多选）关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是（　　）
A.UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA
B.UAB和UBA是不同的，它们有关系UAB＝－UBA
C.φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量
D.电势零点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点
【练习2】有一带电荷量q＝－3×10－6
C的点电荷，从电场中的A点移到B点时，克服静电力做功6×10－4
J，从B点移到C点时，静电力做功9×10－4
J。求：
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少？
(2)如果B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？
二、等势面
1.定义：在电场中电势相同的各点构成的面叫作等势面。
2.特点
①
等势面上各点电势相等，在等势面上移动电荷，电场力不做功
②
等势面一定跟电场线处处垂直
③
电场线总是由电势较高的等势面指向电势较低的
④
两个不同的等势面永不相交
⑤
在等差等势面密处电场强度较大，在等差等势面疏处电场强度较小
3.几种常见电场中等势面的分布
①
点电荷等势面的分布
②
等量同种点电荷等势面的特点
假设两点电荷连线和其中垂线的交点为。在两点电荷连线上，点的电势最小；在中垂线上，点电势最小。
③
等量异种点电荷等势面的特点
假设两点电荷连线和其中垂线的交点为。在两点电荷连线上，从左向右，电势降低；在中垂线上，电势均相等，中垂面为等势面。
④
匀强电场的等势面特点
等差等势面均匀分布。
【典例2】（多选）如图所示，真空中M、N处分别放置两等量异种电荷，a、b、c表示电场中的3条等势线，d点和e点位于a等势线上，f点位于c等势线上，df平行于MN。以下说法正确的是（　　）
A.d点的电势高于f点的电势
B.d点的电势与e点的电势相等
C.若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点，则静电力先做正功、后做负功
D.若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点，试探电荷的电势能增加
【典例3】在维护和检修高压供电线路时，为了不影响城市用电，电工经常要在高压线上带电作业。为了保障电工的安全，电工全身要穿上用金属丝线编织的衣服。如图所示电工站在高压直流输电线的A供电线上作业，其头顶上方有B供电线，B供电线的电势高于A电线的电势。虚线表示电工周围某一截面上的等势线，c、d、e、f是等势线上的四个点。以下说法正确的是（　　）
A．在c、d、e、f四点中，c点的电场最强
B．在c、d、e、f四点中，f点的电势最高
C．若将某电子由c移到f，其电势能将增大
D．将某电子在d点由静止释放，它会向e点所在等势面运动
【练习3】（多选）如图所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在x轴上有A、B两点，则（　　）
A．A、B两点的场强方向与x轴同向
B．A、B两点的场强方向与x轴反向
C．A点的场强EA大于B点的场强EB
D．A点的场强EA小于B点的场强EB
【练习4】（多选）位于A、B处的两个带有不等量负电荷的点电荷在平面内电势分布如图所示，图中实线表示等势线，则（　　）
A.a点和b点的电场强度相同
B.正电荷从c点移到d点，电场力做正功
C.负电荷从a点移到c点，电场力做正功
D.正电荷从e点沿图中虚线移到f点，电势能先减小后增大
【练习5】如图所示，实线为一正点电荷的电场线，虚线为其等势面.A、B是同一等势面上的两点，C为另一等势面上的一点，下列判断正确的是（　　）
A.A点场强与B点场强相同
B.C点电势高于B点电势
C.将电子从A点沿虚线移到B点，电场力不做功
D.将质子从A点移到C点，其电势能增加
判断电势能大小的方法
将正点电荷从点移至点，电势能如何变化？
①
通过做功判断
从点移至点，电场力做正功，电势能减小
②
通过电势判断
电势大小满足，根据电势能可知
【典例4】（多选）某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，沿图中虚线由M运动到N，以下说法正确的是（　　）
A.粒子是正电荷
B.粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
C.粒子在M点的电势能小于在N点的电势能
D.粒子在M点的动能小于在N点的动能
【练习6】（多选）如图所示，虚线A、B、C表示某电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，一电子从右侧垂直等势面A向左进入电场，运动轨迹与等势面分别交于a、b、c三点，则可以判断（　　）
A.三个等势面的电势大小为φA>φB>φC
B.三个等势面的电势大小为φC>φB>φA
C.电子由a到c电势能不断减小
D.电子由a到c动能不断减小
【练习7】如图所示，孤立点电荷＋Q固定在正方体的一个顶点上，与＋Q相邻的三个顶点分别是A、B、C，下列说法正确的是（　　）
A.A、B、C三点的场强相同
B.A、B、C三点的电势相同
C.A、B、C三点所在的平面为一等势面
D.将一电荷量为＋q的检验电荷由A点沿直线移动到B点的过程中电势能始终保持不变
【练习8】某带电粒子仅在电场力作用下由A点运动到B点，电场线、粒子在A点的初速度及运动轨迹如图所示，可以判定（　　）
A.粒子带负电
B.粒子的加速度减小
C.粒子的动能增加
D.粒子的电势能增加
【练习9】如图所示，一带电粒子仅在电场力作用下沿着图中曲线JK穿过一匀强电场，a、b、c、d为该电场的等势面，可以确定（　　）
A.该粒子带正电
B.电场方向垂直等势面向左
C.电场方向垂直等势面向右
D.从J到K运动过程中粒子的电势能减小
【练习10】如图所示，虚线a、b、c是电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相同，实线为一带正电的质点仅在静电力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点，下列说法中正确的是（　　）
A.三个等势面中，等势面a的电势最高
B.带电质点一定是从P点向Q点运动
C.带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时小
D.带电质点通过P点时的动能比通过Q点时小
【练习11】如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将另一点电荷从A点由静止释放，运动到B点时速度正好变为零，若此电荷在A点处的加速度大小为g，静电力常量为k，求：
(1)此电荷在B点处的加速度；
(2)A、B两点间的电势差(用k、Q和h表示).
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